新必修二 8.4.1 平面 (教案+习题)含答案

1、 8.4.1平面(含答案)【学习目标】1利用生活中的实物对平面进行描述；理解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.重点掌握平面的基本性质.能利用平面的性质解决有关问题.【要点梳理】要点一、平面的基本概念平面的概念：“平面”是一个只描述而不定义的原始概念，常见的桌面、黑板面、平静的水面等都给我们以平面的形象几何里的平面就是从这些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的.要点诠释：“平面”是平的(这是区别“平面”与“曲面”的依据)；“平面”无厚薄之分；“平面”无边界，它可以向四周无限延展，这是区别“平面”与“平面图形”的依据.平面的画法：通常画平行四边形表示平面.要点诠释：表示平面的平行四

2、边形，通常把它的锐角画成45，横边长是其邻边的两倍；(2)两个相交平面的画法：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，把被遮住的部分的线段画为虚线或者不画；3.平面的表示法:用一个希腊字母表示一个平面，如平面a、平面0、平面Y等；用表示平面的平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD；(3)用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面AC或者平面BD；点、直线、平面的位置关系：点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形语言符号语言文字语言(读法)AaAea点A在直线a上AaA纟a点A不在直线a上*Aea点A在平面a内*A*/7A电a点A不在平面a内.：aaHb=A直线a、b交于A点，/

3、aua直线a在平面a内*a，血/ana=0直线a与平面a无公共点*a込Aana=A直线a与平面a父于点A*anB=l平面a、B相交于直线l要点二、平面的基本性质平面的基本性质即书中的三个公理，它们是研究立体几何的基本理论基础基本事实1:文字语言表述：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；也可以简单说成：不共线的三点确定一个平面。符号语言表述：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面a，使得Aea，Bea，Cea；图形语言表述：要点诠释：基本事实1的作用是确定平面，是把空间问题化归成平面问题的重要依据.它还可用来证明“两个平面重合”特别要注意公理2中“不在一条直线上的三点”这一条件.“有且只有

4、一个”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”，“只有一个”说明“唯一”所以“有且只有一个”也可以说成“存在”并且“唯一”与确定同义.基本事实2：文字语言表述：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；符号语言表述：Ael，Bel，Aea，Beanlua；图形语言表述：要点诠释：基本事实2是判断直线在平面内的依据证明一条直线在某一平面内，只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”基本事实3：文字语言表述：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；符号语言表述：！三二一工=二一F=且二(

5、3)图形语言表述:要点诠释：基本事实3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上的依据.推论：利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”可以得到以下三个结论：过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；过两条相交直线，有且只有一个平面；过两条平行直线，有且只有一个平面.(2)作用：确定一个平面的依据.要点三、证明点线共面所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题.证明点线共面的主要依据：(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内(基本事实2)；经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(基本事实1及推论).证明点线共面的常用方法：(1

6、)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面B,最后证明平面a、B重合；(3)反证法.具体操作方法：证明几点共面的问题可先取三点(不共线的三点)确定一个平面，再证明其余各点都在这个平面内；证明空间几条直线共面问题可先取两条(相交或平行)直线确定一个平面，再证明其余直线均在这个平面内.要点四、证明三点共线问题所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上.证明三点共线的依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线也就说一个点若

7、是两个平面的公共点，则这个点在这两个平面的交线上.对于这个公理应进一步理解下面三点：如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上.证明三点共线的常用方法方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点.根据基本事实3知，这些点都在交线上.方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上.要点五、证明三线共点问题所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点1证明三线共点的依据是基本事实32证明三线共点的思路：先证两条直线交于一

8、点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题【经典例题】类型一、平面的概念及其表示例1下面的说法中正确的是（）平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面【总结升华】平面与平面图形既有区别又有联系平面没有角度、绝对平展、无边界，是一种理想的图形平面可以用三角形、正方形、梯形、圆等平面图形来表示但平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们是有大小之分的，不能说三角形、正方形、梯形等是平面举一反三：【变式1】下列命题：（1）书桌面是平面；（2）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；（3）有一个平面的长是50m,宽

9、是20m；（4）平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为（）A1B2C3D4例2.平面a内的直线a、b相交于点P,用符号语言概述为“anb=P，且Pa”，是否正确？【总结升华】用符号语言来叙述时，必须交代清楚所有元素的位置关系，不能有半点遗漏立体几何中的三种语言（文字语言、符号语言、图形语言组成立体几何语言，我们必须准确地把握它们.其中文字语言比较自然、生动，能将问题研究的对象的含义更明确地叙述出来.图形语言给人以清晰的视觉形象，有助于空间想象力的培养；而符号语言更精练、简洁.三种语言的互译有助于我们在更广阔的思维领域里寻找解决问题的途径，有利于对思维广阔性的

10、培养.举一反三：【变式1】根据下列符号表示的语句，说明点、线面之间的位置关系，并画出相应的图形：（1）Aa,Ba；（2）lua,mna=A,A电l；（3）PGl,P纟a,qgl,qga.类型二、平面的确定例3判断下列说法是否正确,并说明理由：（1）一点和一条直线确定一个平面；（2）经过一点的两条相交直线确定一个平面（3）两两相交的三条直线确定一个平面；（4）首尾依次相接的4条线段在同一平面内【总结升华】基本事实1及3个推论都是确定平面的依据，对涉及这方面的应用问题，务必分清它们的条件.立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系问题，要有一定的空间想象能力.对于问题中的点、线，要注意它们各种不

11、同的位置关系，以及由此产生的不同结果.例4.在空间内，可以确定一个平面的是()两两相交的三条直线B.三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点【总结升华】要准确理解“确定”的含义，即为“有且只有”其包含存在性和唯一性两个方面.解题时结合空间几何体来考虑会更直观、快速.类型三、平面的基本性质的应用例5.如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由.直线AC1在平面CC1B1B内；设正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的中心分别为O、O,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO；由点A、O、C可以确定一

12、个平面；由点A、B1确定的平面为ADC1B1；由点A、CB1确定的平面与由点A、CD确定的平面是同一个平面.例6.已知直线ab,直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.【总结升华】在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内确定一个平面的方法：直线和直线外一点确定一个平面；两条平行线确定一个平面；两条相交直线确定一个平面.重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.举一反三：【变式】(1)空间两两相交的四条直线能确定几个平面？证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.例7.

13、如下图，已知AABC的三个顶点都不在平面a内，它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面a于点P、Q、R.求证：P、Q、R在同一条直线上.求证:【总结升华】多点共线中的这条线一定是两个平面的交线，因此这类问题实际为两平面的相交问题.举一反三:【变式1】已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB,AD,BC,CD上的点,P.求证：B,D,P在同一直线上.例&如下图，在三棱锥S-ABC的边SA、SC、AB、EF、GH、AC三条直线交于一点.举一反三:【变式1】如下图，已知空间四边形ABCD（即四个点不在同一平面内的四边形）中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB

14、CGCD求证：直线EF、GH、AC相交于一点.【巩固练习】1.“直线a经过平面a外一点P”用符号表示为（）A.Pea,a/aB.aHa=pC.Pea,PgaD.Pea,aua经过同一条直线上的3个点的平面（）.A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数个D.不存在下列说法正确的是（）空间四边形的对角线可能相交四个角都是直角的四边形一定是平面图形两两相交的三条直线一定共面在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中（）.A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是

15、（）三个平面共线有两个平面平行且都与第三个平面相交三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交三个平面两两相交.平面a与平面0相交于直线l，直线aua，直线bu0，aHb=M，则Ml.8.在空间四边形ABCD中，点E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上，若直线EH与FG相交于点P,则点P与直线BD的关系是.经过一点可作个平面，经过两点可作个平面，经过三点可作个平面.有不共面的四点，经过其中三个点可作个平面.三个平面把空间分成7部分时它们的交线有条.画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，再画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并且说明理由.12.如图，已知nP=EF,Aea面ABC分

16、别与a,卩的交线.C,Bep，BC与ef相交，在图中画出平13.三个平面a，P，Y两两相交于三条直线，即anP=c，YnP=a，Yna=b，已知直线a和b不平行.求证：a、b、c三条直线必过同一点.8.4.1平面答案【经典例题】类型一、平面的概念及其表示例1.【答案】D举一反三：【变式1【答案】A(1)说桌面可以看作平面，但不是平面。只有(4)正确例2.【答案】不正确【解析】不正确.应表示为：aua,bua,且aQb=P.相交于点P的直线a、b都在平面a内，也可以说，平面a经过相交于点P的直线a、b.题中的符号语言只描述了直线a、b交于点P,点P在平面a内，而没有描述直线a、b也都在平面内，下

17、图也是题中的符号语言所表示的情形.举一反三：【变式1】根据下列符号表示的语句，说明点、线面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)Awa,Ba；(2)lua，mna=A，A电l；(3)PWl，p纟a，qgl，qwa.【解析(1)点A在平面a内，点B不在平面a内；直线l在平面a内，直线m与平面a相交于点A,且点A不在直线l上;直线l经过平面a外一点p和平面a内一点Q.图形分别如下图(1)、(2)、(3)所示.类型二、平面的确定例3.【答案】不正确正确不正确不正确【解析(1)不正确如果点在直线上，可以确定无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由基本事实1知，有且只有一个平面，

18、或直接由公理的推论1知，有且只有一个平面.正确.经过同一点的两条直线是相交直线，由公理的推论2知，有且只有一个平面.不正确.3条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如下图(1)、(2)所示.前者，由公理的推论2知.可以确定1个或3个平面；后者，由公理的推论2及公理1知，能确定一个平面.不正确.四边形中三点可确定一个平面，而第4点不一定在此平面内，如上图(3)，因此这4条线段不一定在同一平面内.例4.【答案】D【解析】A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外

19、两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；对于C来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面,因此排除C；只有选项D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理2知其确定一个平面.所以应选D.类型三、平面的基本性质的应用例5.【解析(1)错误因为点A电平面CCBB,所以AC不在平面CCBB内.正确.因为点OW直线AC,直线ACu平面AAC1C，所以点0丘平面AACC.同理，点O占平面AAC1C，所以直线OOu平面AAC1C.同理，直线OOu平面BBDD.故OO为平面AACC与平面BB1D1D的交线.错误.因

20、为点A、O、C在同一直线上，故不能确定一个平面正确.因为点A、C、B1不共线，故可确定一个平面，又ADBC，所以点DW平面AB1C1，故由点A、q、B1确定的平面为ADC1B1.正确.因为点ACB确定的平面为平面ADC1B1，而由点A、C、D确定的平面也是平面ADC1B1，故它们确定的是同一个平面.【总结升华】正确地运用三个公理和有关概念的推理是解决此类题目的依据.例6.已知直线ab,直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.证明：证法一：如下图所示.由已知ab,所以过a,b有且只有一个平面a.设anl=A,bnl=B，AAG，BEa，且AGl,BEl,lua.即过a,b,l有

21、且只有一个平面.证法二：由已知可设anl=A,bnl=BVanl=A,.过l与a有且只有一个平面P.ab,.过a,b有且只有一个平面a,；.BGa,beP,aua,auP.又B纟a,平面a与P重合.即ab,anl=A,bnl=Bn过a,b,l有且只有一个平面.【总结升华】在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内确定一个平面的方法：直线和直线外一点确定一个平面；两条平行线确定一个平面；两条相交直线确定一个平面.重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.举一反三：【变式】【答案】（1）1或6；（

22、2）略【解析（1）当四条直线相交于1点时，有1或6个平面。当四条直线不共点且两两相交参考（2）问，有1个平面。（2）分两种情形，有三条交于一个点，没有三条交于一个点.已知：直线AB、BC、CD、DA两两相交,CD、DA共面.证明：如图（左），AB、BC、CD、DA两两相交，且无三条直线相交于一点.设AD、BC交于点M，AB、CD交于点N.AB、CD确定一个平面a.又.CeCD，BeAB，DeCD，AeAB.A、B、C、DEa.由基本事实2，知AD、BCEa.故AB、BC、CD、DA四条直线共面.如图（右），AB、BC、CD、DA两两相交，且有三直线交于一点D.ABnCD=C.AB、CD确定一个

23、平面B.又AeAB，DeCD，.A、DeB，BeAB，DeCD，:B、DeB.ADuB，BDcB（基本事实2）.AB、BC、CD、DA四直线共面.例7.如下图，已知ABC的三个顶点都不在平面a内，它的三边AB、BC、AC延长后分别交平面a于点P、Q、R.求证：P、Q、R在同一条直线上.证明：由已知AB的延长线交平面a于点P，根据基本事实3,平面ABC与平面a必相交于一条直线，设为L.VPE直线AB，PE平面ABC.又ABna=p，pe平面a，P是平面ABC与平面a的公共点.平面ABCna=l，apel，同理，QEl，REl.点p、Q、R在同一条直线l上.【总结升华】多点共线中的这条线一定是两个平面的交线，因此这类问题实际为两平面的相交问题.举一反三:【变式1】已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB，AD，BC，CD上的点，且直线EF与GH交于点P.求证：B，D，P在同一直线上.【解析】PeEFGHPeEFnPe平面ABDPeGHnPe平面BCDnPe平面ABDD平面BCD=BDnPeBD例8.如下图，在三棱锥S-ABC的边SA、SC、AB、BC上分别取点E、F、G、H，若EFnGH=P，求证:EF、GH、AC三条直线交于一点.证明：VEESA，SAu平面SAC，FESC，SCu平面SAC，.EFu平面SAC.VGEAB，ABu平面ABC，HEBC，BCu平面