线性代数考研笔记

1、第一章 行列式性质 1行列式与它的转置行列式相等。性质 2互换行列式的两行（列） ，行列式变号。推论如果行列式的两行（列）完全相同，则此行列式等于零。性质 3行列式的某一行 （列）中所以的元素都乘以同一个数?，等于用数 ?乘以此行列式。 第 ?行（或者列） 乘以 ?，记作 ?( 或 ?)。推论行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面。第?行（或者列）提出公因子 ?，记作 ? ?(或 ? ?)。性质 4行列式中如果两行（列）元素成比例，此行列式等于零。性质 5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，例如第?列的元素都是两数之和，则 ?等于下列两个行列式之和：?(? +?

2、)?1?1?1?1?11121112|?|11121?1?|?21?22?2122()?2122? +?2?2?=2?= | +2?2?2? |?|?1 ?2 ? ?( ?+)?1?2?1?2?性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。?1? |2? |?11?1?1?11?1?+ ?1?1?1?1? + ?2?+2?212?2?2?()?212?2?=| ? |? ?(? +?+)? ?|? + ?1?1?定义在 ?阶行列式，把（ ?,?）元 ? 所在的第 ?行和第 ?列划去后，留下来的 ?- 1阶行列式叫做（ ?,?）元 ? 的余子式，?

3、记作? ；记 ? = (-1)?+? ， ? 叫做（ ?,）元 ? 的代数余子式。?引理 一个 ?阶行列式，如果其中第?行所有元素除（ ?,?）元 ? 外都为零，那么这行列式等于? 与它的代数余子式的?乘积，即 ?= ?定理 3 ( 行列式按行按列展开法则) 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即?= ? ? + ? ? + ? + ? ?(?= 1,2， ? ，?)，或 ?= ? ? + ? ? + ? + ? ?(?= 1,2， ? ，?)?1 ?1?2 ?2?1? 1?2? 2?推论行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。

4、? + ? + ?+? =0()()?和? ? + ? ? + ? + ? ? = 0? ?1 ?1?2 ?2?1? 1?2? 2?范德蒙德行列式11?1?12?222Dn = |?= (?- ?)?12? |? ? 1?-1?-1?-1?1?2?克拉默法则?11?1+ ?12?2+ ?+ ?1?= ?1?+ ?+ ?+?= ?2112222? ?2 ? ? ?1?1+ ?2?2 + ?+ ? = ?如果线性方程组的系数行列式不等于零，即1/10a11?a1nD=?0，an1?ann那么，方程组有唯一解 ? =?1 ，2， ? ，?)是把系数行列式矩阵D中第 ?列的元1，?=2 ，? =? 其

5、中 ?(?=1?2?a11?a1 ，j-1b1a1， j+1?a1n素用方程组右端的常数项代替后所得到的?阶行列式，即 Dj = | ? |an1?an ，j-1bnan，j+1?ann定理 4如果非齐次线性方程组的系数行列式D 0 ，则非齐次线性方程组一定有解，且解是唯一的。定理如果非齐次线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。?定理 5如果齐次线性方程组的系数行列式D 0 ，则齐次线性方程组没有非零解如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零定理 ?第二章 矩阵级其运算定义 1由 ?个数 ?， ? ，?)排成的 ?行 ?列的数表，称为 ?行?列矩阵；?(?= 1，2

6、?11?12?1?= 2122?2? ?1?2?为 (?， ?)元的矩阵可简记作（? ）或（ ? ）以数 ? mn ?矩阵 ?也记作 ? ?。行数和列数都等于 ?的矩阵称为 ?阶矩阵或 ?阶方阵。 ?阶矩阵 ?也记作 ? 。?特殊定义：两个矩阵的行数相等，列数也相等时，就称它们是同型矩阵同型矩阵 ?和 ?的每一个元素都相等，就称两个矩阵相等， ?= ?；元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作?；注意不同型的零矩阵是不同的。特殊矩阵?阶单位矩阵 ，简称 单位阵 。特征：主对角线上的元素为1，其他元素为0；10?0?= 010?00?1对角矩阵， 特征：不在对角线上的元素都是0，记作 ?= diag(?

7、，? ，?1,?2?)?001?0?0?=2?00?定义 2 矩阵的加法设有两个 ?矩阵 ?= （ ? ）和 ?= （ ? ），那么矩阵 ?与 ?的和记作 ?+ ?，规定为?11+ ?11?12+ ?12?1?+ ?1?+ ?= ?21+ ?21?22+ ?22?2?+ ?2? +?+ ?2?+ ?1?1?2注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算；矩阵加法满足运算律（设 ?， ?，?都是 ?矩阵）2/10i.）?+ ?= ?+ ?ii.）(?+ ?) + ?= ?+ (?+ ?)定义 3数与矩阵相乘?11?12?1?21222?= ?= ?1?2?数乘矩阵满足下列运算规律

8、（设?， ?都是 ?矩阵， ， 为数）（ i.）()?= ( ?)；ii.）(+ ) ?= ?+ ?；iii.）(?+ ?) = ?+ ?iv.）?= ?定义 4 矩阵与矩阵相乘设 ?= （ ? ）是一个 ?矩阵，?= （ ? ）是一个 ?矩阵，那么规定矩阵?与矩阵 ?的乘积是一个 ? ?矩阵 ?=?），其中 ? = ? + ? ? + ? + ? =? ?11?22?并把此乘积记作?= ? ? (?= 1， 2， ? ， ?； ?= 1， 2， ? ， ?)，?=1?注意： 只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘；矩阵的乘法性质（不满足交换律）i.

9、）（?） ?= ?（ ?）ii.）(?) = (?)?= ?( ?)iii. ）?( ?+ ?) = ?+ ?，（ ?+ ?） A = BA+ CAiv.）?= ?= ?()()? ?+? ?（ v.）?= ?=?； ? ? = ? ，(? ) = ?= ?矩阵的转置定义 5把矩阵?的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做?的转置矩阵，记作? 。性质：（ i.）TT= ?；(? )（ ii.）(?+ ?)T = (?)T + (?)T（ iii.）T=T(?)?（ iv. ）T=T T(?)? ?定义 6由?阶方阵 ?的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称方阵 ?的行列式，记作 |?|或

10、det A ；（ ?， ?为 ?阶方阵， ?为数）（ i.）?|?|=?（ ii. ）|?= ?| |?（ iii. ）|?| = |?|= |?| ?|伴随矩阵3/10?1121?1定义： ?1222?2|=?的各个元素的代数余子式 ?1?2?性质 ： ?| |= ? ?=?定义 7对于 ?阶矩阵 ?，如果有一个 ?阶矩阵 ?，使 ?=?= ?，则说矩阵 ?是可逆的，并把矩阵?称为 ?的逆矩阵，简称逆阵 。定理 1若矩阵 ?可逆，则|? ?-?1 ?定理 2若 | ?| ?， 则矩阵 ?可逆，且? =|?|?为矩阵 ?的伴随阵。其中 ?-?= |?| ?是可逆矩阵的 充分必要条件是 | ?|

11、 ?推论若 ?= ?(或?= ?)，则 ?= ?-?方阵的逆阵满足下述运算规律：（ i.）若?可逆，则 ?-?亦可逆，且 ( ?-?) -? = ?（ ii.）若?可逆，数 0，则 ?可逆，且 ( ?) -1 = 1 ?-1iii.）若?， ?为同阶矩阵且均可逆，则 ?亦可逆，且 (?)-? = ?-?-?分块矩阵的运算法则i.）分块矩阵的加法 ? 矩阵的加法ii.）数与分块矩阵相乘 ? 数与矩阵相乘（ iii.）分块矩阵与分块矩阵相乘? 矩阵与矩阵相乘（ iv.）分块矩阵的转置 :设?T?T111?11?1?=? ? ?= ?T?T?1?1?v.）设?为?阶矩阵，若 ?的分块矩阵只有在对角线

12、上有非零子块，其余子块都为非零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即?1?=?2其中 ?(?= 1， 2 ， ? ， ?)都是方阵，那么称?为分块对角矩阵|?| = |? | ? | ? | ?|?12?克拉默法则对于 ?个变量、 ?个方程的线性方程组?11 ?1 + ?12 ?2 + ? + ?1?= ?1?21 ?1 + ?22 ?2 + ? + ?2? = ?2? ? ?1?1 + ?2?2 + ? + ?= ?如果它的系数行列式? 0，则它有唯一解?1?T?1111?2? =? = (? + ? + ?+ ? )( 其中?= 1，2， ? ，?) ? ?=2?(?)?1 1?2 2? ?

13、3(3?)4/10第三章矩阵的初等变换与线性方程组定义 1下面三种变换称为矩阵的初等行变换 ：（ i.）对调两行（对调?，?两行，记作 ?）；?（ ii.）以数 ? 0乘某一行中的所有元素（第?行乘 ?，记作 ?）；（ iii.）把某一行所有元素的?倍加到另一行对应的元素上去（第?行的 ?倍加到第 ?行上，记作 ?+ ?；?把定义 1 中的“行”换成“列” ，即得矩阵的初等列变换 的定义（所用的记号是把“?”换成“ ?”）矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换如果矩阵 ?经有限次初等行变换变成矩阵?，就称 ?与 ?行等价，记作?；如果矩阵 ?经有限次初等列变换变成矩阵?，就称 ?与 ?列

14、等价，记作?；如果矩阵 ?经有限次初等变换变成矩阵?，就称 ?与 ?列等价，记作?；矩阵之间的等价关系具有下列性质：i.）反身性 ? ?；ii.）对称性 若? ?，则 ? ?；iii.）传递性 ? ?， ? ?，则 ?；行最简形矩阵，特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。定理 1 设 ?与 ?为 ?矩阵，那么：（ i.）?的充分必要条件是存在?阶可逆矩阵 ?；使 ?= ?；（ ii.）?的充分必要条件是存在?阶可逆矩阵 ?；使 ?= ?；（ iii.）? ?的充分必要条件是存在?阶可逆矩阵 ?及 ?阶可逆矩阵 ?，使 ?= ?；推论方阵 ?可逆的充分必要条件是

15、?行变换三个应用：(1)?-?(?， ?) (?， ?)?= ? ?= ? ? 求 ?(2)?-?(?， ?) (?， ?)?= ?(3)?-?(?， ?) (?， ?)?= ? ?= ? ?定义 3在? ?矩阵 ?中，任取 ?行与 ?列（ ? ?， ? ?），位于这些行列交叉处的2?中?个元素，不改变它们在所处的位置次序而得的 ?阶行列式，称为矩阵 ?的?阶行列式。定义 4设在矩阵 ?中有一个不等于 0 的 ?阶子式 ?，且所有 ?+ 1 阶子式（如果存在的话） 全等于 0，那么 ?称为矩阵 ?的最高阶非零子式 ，数 ?称为矩阵 ?的秩，记作 R(?)；并规定零矩阵的秩序等于 0定理2()若

16、 ?，则 ? = ?(?)推论若可逆矩阵 ?，?使 ?= ?，则 ?( ?) = ?(?)矩阵秩的基本性质0 ?(? ) ?，?；R(? ) = R(?)若 ?，则 R( ?) = R(?)若 ?， ?可逆，则 ?(?)= R(?)max?( ?) ，?( ?) ?(?， ?) ?( ?) + ?(?)，特别地，当 ?= ?为非零列向量时， 有 R(?) R(?， ?) R( ?) +?(?+ ?) ?(?) + ?(?)5/10?( ?) min?(?) ，?( ?)若 ? ? = ?，则 ?( ?) + ?(?) ? ? ?定理 3 ?元线性方程组 ?= ?（ i.）无解的充分必要条件是?

17、( ?) ?(?， ?)（ ii.）有唯一解的充分必要条件是?(?)= ?(?， ?)= ?（ iii.）有无限多解的充分必要条件是()? = ?(?，?) ?求解线性方程组的步骤（ i.）对于非齐次线性方程组，把它的增广矩阵?化成行阶梯形，从?的行阶梯形可同时看出( )( )?和? 。若()? ?(?)，则方程组无解。（ ii.）()( )?化成行最简形。若? = ? ，则进一步把 ?化成行最简形。而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵（ iii.）设?(?) = ?( ?) = ?，把行最简形中 ?个非零行的非零首元所对应的未知数取作非自由未知数，其余 ?- ?个未知数取作自由未知数，并令自由

18、未知数分别等于?， ?， ? ， ?，由 ?(或?)的行最简形，即可写出含12n-?-?个参数的通解。定理 4?元齐次线性方程组 ?= ?有非零解的充分必要条件( )是 ? 0?， ? ?， ?， ?施瓦茨不等式222， ? ?维向量 ?的长度 （或范数 ）。定义 2 令 ?= ?， ?= x1+ x2+ ? + xn?=1 时，称 ?为 单位向量 。向量的长度具有下述性质：i.非负性当 ? 0时， ?0 ；当 ?= 0 时， ?= 0 ；ii.齐次性?=| ?| ?；三角不等式 ?+ ? ?+ ?当 ?，?= 0时，称向量 ?与 ?正交。定理 1 若 ?维向量 ?， ?， ， ?是一组两两相

19、交的非零向量，则?，?， ，?线性无关；12?12?定义 3设 ?维向量 ?， ?， ， ?是向量空间 V（ V ? Rn ）的一个基，如果 ?， ?， ，?两两正交，且都是单12?12?位向量，则称 ?， ?， ， ?是 V的一个规范正交基。12?， ?， ， ?规范正交化：?1= ?1?2= ?2-?1， ?2 ?1?1 ， ?1?， ?， ?， ?= ?-? -1? ?1 -2?2- ?-1? ?-1?， ?， ?， ?12?-112?-1单位化8/10? =111?， ? =?， ? ?=?1?11?1?11?定义 4 如果 ?阶矩阵 ?满足 AT A = ? （即 A-1 = AT

20、）那么称 ?为正交矩阵 ，简称 正交阵 。方阵 ?为正交阵 的充分必要条件是 ?的列向量都是单位向量 ，且 两两正交 ；定义 5 若 ?为正交矩阵，则 ?= ?称为 正交变换定义 6 设 ?是 ?阶矩阵，如果 ?和 ?维非零列向量 ?使关系式 ?= ?成立，那么，这样的数?称为矩阵 ?的特征值 ，非零向量 ?称为 ?的对应于特征值 ?的特征向量 。?-?特征方程为：?= ? ( ?- ?) ?= ? | ?- ?| = ? ?- ? = 0?-?| ?-?|是矩阵 ?的特征多项式 ，记作 ?(?)设 ?阶矩阵 ?= (?， ?，? ?，不难证明) 的特征值 ?12?i.）ii.）?；1+?2+

21、 ? + ?= ?11 + ?22 + ? +?|1?2 ?=?定理 2设 ?，?， ? ，? 是方阵 ?的?个特征值， ?，?， ? ，? 依次是与之对应的特征向量，如果?，?，12?12?12，?， ?，? 线性无关。? ，? 各不相等，则 ?12?定义 7-1?，则称 ?是 ?的相似矩阵 ，或说矩阵 ?与 ?相似。对 ?进设 ?， ?都是 ?阶矩阵，若有可逆矩阵 ?，使 ? ?=行运算-1?称为对 ?进行 相似变换 。可逆矩阵 ?称为把 ?变成 ?的相似变换矩阵。?定理 3 若 ?阶矩阵 ?与 ?相似，则推论 若 ?阶矩阵 ?与对角阵1=2相似，则?与 ?的特征多项式相同，从而?与 ?的

22、特征值亦相同。?，?， ? ， ?即是 ?的 ?个特征值。12?(n )定理 4 ?阶矩阵 ?与对角阵相似（即?能对角化）的充分必要条件是?有 ?个线性无关的特征向量。推论如果 ?阶矩阵 ?的 ?个特征值互不相等，则?与对角阵相似。定理 5对称阵的特征值为实数。定理 6设 ?，?是对称阵 ? 的两个特征值， ?， ?，则 ?与 ?1212 是对应的特征向量。若?1 ?12正交；2定理 7-?，其中 是以 ?的 ?个特征值为对角元的对角阵。设 ?为 ?阶对称阵， 则必有正交阵 ?，使 ?= ? ?=推论设 ?为 ?阶对称阵， 是 ?的特征方程的 ?重根，则矩阵 ?-?的秩 ?( ?-?) = ?

23、-?，从而对应特征值 恰有?个线性无关的特征向量。对称阵 ?对角化的步骤：（ i.）求出 ?的全部互不相等的特征值 ?， ?， ?， ?，它们的重数依次为 ?，? ?(?1+ +?2 ? + ?= ?)12?12（ ii.）对每个 ?重特征值 ?，求方程 (?- ?)个线性无关的特征向量。再把它们正交化、单?= 0的基础解系，得?位化，得 ?个两两正交的单位特征向量。因?+ +? ? + ? = ?，故总共可得 ?个两两正交的单位特征向量。?12?（ iii. ）把这 ?个两两正交的单位特征向量构成正交阵-?中?，便有 ? ?= ? ?= ?。注意 ?中对角元的排列次序应与列向量的排列次序相对应。9/10定 义 8含有 ?个 变量 ?，?， ? ，? 的二 次齐次 函数 ?(?，?， ?，?22212?12?) = ?11?1 + ?22 ?2 + ? + ?+2?12 ?12 + 2?13 ?1?3+ ? + 2?称为 二次型 ，?-1 ?-1，?取 ?则 2?，于是 ?(?， ?， ? ，?2+ ?12 ?1?2 + ? + ?1?1?+ ?21 ?