二次函数知识点好

1、二次函数秘籍一、二次函数概念：1一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。当 时，它是二次函数；当 时，它是一次函数；当 时，它是正比例函数。2. 二次函数（）的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数图像与性质1、二次函数基本形式：（，b=0,c=0） a 的绝对值越大，抛物线的开口越小；a 的绝对值越小，抛物线的开口越大的符号图像开口方 向顶点坐标对称轴增减性最值与坐标轴交点与x轴交点个数及距离向上轴即：直线X=0当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；时，有最小值X轴（0,0）Y轴（0,0）1个

2、距离：0向下轴即：直线X=0当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；时，有最大值X轴（0,0）Y轴（0,0）1个距离：02、二次函数基本形式： （，b=0,k0） 的符号图像开口方 向顶点坐标对称轴增减性最值与坐标轴交点与x轴交点个数及距离向上轴即：直线X=0当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；时，有最小值kX轴：无Y轴0个距离：不存在向下轴即：直线X=0当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；时，有最大值kX轴：无Y轴0个距离：不存在3、二次函数基本形式： （）的符号图像开口方 向顶点坐标对称轴增减性最值与坐标轴交点与x轴交点个数及距离向上直线X=h当时，随的增大而增大；当时

3、，随的增大而减小；当时，有最小值X轴：Y轴：(0, )1个距离：0向下直线X=h当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最大值X轴：Y轴：(0, )1个距离：04、二次函数基本形式：顶点式 （）的符号图像开口方 向顶点坐标对称轴增减性最值与坐标轴交点与x轴交点个数及距离向上直线X=h当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最小值X轴： 令y=0Y轴：令x=0向下直线X=h当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最大值X轴：令y=0Y轴：令x=05、二次函数基本形式：交点式 (注意：只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示)的符号图像开口方

4、 向顶点坐标对称轴增减性（对称轴h=x=）最值与坐标轴交点与x轴交点个数及距离向上将对称轴代入算出y 的值?直线X= 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当x= 有最小值?X轴：ABY轴：令x=02个向下将对称轴代入算出y 的值?直线X= 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当x= 有最大值?X轴：ABY轴：令x=0同上6、二次函数基本形式：一般式（，为常数，）配方！顶点式（1）配方：1.提取a（有负号要带），常数C不动；2.括号内加（减）一次项系数一半的平方；3整理成顶点式（2）图像与性质的符号图像开口方向顶点坐标对称轴增减性 (对称轴h=)最值与坐标轴交点与x轴交点个数及距

5、离向上最低点：直线当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最小值X轴： 令y=0解方程！Y轴：(0,c)2个向下最高点：直线当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最大值X轴：令y=0解方程！Y轴：(0,c)同上！（3）二次函数（）图象的画法：五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.（4）二次函数的图象

6、与系数a,b,c之间的关系1. 二次项系数：二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数：在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴“左同右异”的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则3. 常数项：决定了抛物线与轴交点的位置 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方

7、，即抛物线与轴交点的纵坐标为负4. a+b+c的值：当x=1时，函数取值； a-b+c的值：当x=1时，函数取值。三、二次函数的平移问题：（口诀：“变顶点式，左加右减，上加下减”）平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 例如，抛物线向上平移2个单位，向右平移3个单位可写为： 抛物线沿y轴上（下）平移m个单位，则平移后的抛物线可设为： 抛物线沿x轴左（右）平移n个单位，则平移后的抛物线可设为： 补充：平移过程中抛物线的形状和开口方向不变。（这两个因素都是由二次项系数a决定的。）两抛物线形状相同，则a的绝对值相同。两抛物

8、线的开口相同，则a的值相同。四：二次函数图象的对称：（找到顶点的对称点）对称变换顶点式： 顶点（h,k）一般式：关于轴对称 顶点（h,k）关于轴对称（开口不变） 顶点（h, k）关于原点对称 顶点（h,k）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 顶点（h, k）根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式回头看：；.图像特征如下：函数解析式

9、开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下(轴)(0,0)(轴)(0, )(,0)(,)()五、一般式、顶点式、交点式联系区别与用法：一般式顶点式交点式顶点将对称轴X= 代入算出y 的值?对称轴直线直线X=h直线X= 最值当时，有最值当时，有最小值当x= ，有最小值?与x轴交点令y=0 解方程！令y=0 解方程！A B与y轴交点(0,c)令x=0，解方程！令x=0，解方程！用法条件给出三个一般的点条件给出顶点（或对称轴）与另一个点条件给出X轴的两个交点或（x轴的一个交点与对称轴）易看出与y轴交点顶点、对称轴、最值与x轴交点、对称轴补充:对称式：当抛物线经过点、（关于对称轴对称的两点）时，可

10、以用对称式来求二次函数的解析式六、二次函数与一元二次方程：图象与轴的交点个数一元二次方程一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况方程有两个不等的实数根方程有两个相等的实数根方程没有实数根二次函数图象与轴交于两点图象与轴只有一个交点（即抛物线的顶点在x轴上）图象与轴没有交点. 当时，无论为任何实数，都有，图象落在轴的上方； 当时，无论为任何实数，都有，图象落在轴的下方。回头看：抛物线与轴两交点之间的距离（推导过程）：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故由韦达定理知：七、二次函数与不等式（1）二次函数与一元二次不等式判别式二次函数（a0）的图象根的情况有两相异实根：没有实根有两相同实根

11、的解集（即y0）X取一切实数的解集（即y0 必过一、三象限；k0 交y轴正半轴；b=0 过原点（0，0）；b0 交y轴负半轴）分类讨论： (1)轴（即x=0）与抛物线得交点为() (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). (3)抛物线与轴（即y=0）的交点：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离.(4)平行于轴的直线（y=k ,k为常数）与抛物线的交点 0个交点.k小于函数最小值，或k大于函数最大值。1个交点.直线过抛物线的顶点。k等于函数的最值。2个交点.k大于函数最小值，或k小于函数最大值。两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. (5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点的解的个数来确定：方程有两组不同的解时与有两个交点; 方程只有一组解时与只有一个交点；方程无解时与没有交点.九、二次函数的最值问题：开口向上，函数有最低点，当x取对称轴时，函数有最小值。开口向下，函数有最