《高等代数》教学指导与建议书

1、高等代数课程教学指导与建议书高等代数是数学专业和信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课。通过本课程的学习, 使学生掌握多项式和线性代数的基本知识和基础理论，熟悉和掌握抽象的、公理化的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辨证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力，提供进一步学习所必备的代数知识。高等代数是学生入学后最先接触到的用公理化方法处理问题的课程，以较高的抽象性和形式化为特点，这对于刚结束中学数学的学生来说，难以适应这种方法。因此，高等代数的教学，第一必须做好和初等数学的承上启下关系，使学生可以利用已有的数学知识，自然进入到新课程，以减轻学生不适应性和心理压力。第二，处理好

2、与相关课程的联系，使学生在高层次上理解多项式理论和线性代数的思想方法在数学中的位置，以开阔视野，提高兴趣。下面是我们的一些建议。一、基本内容要求本课程分两学期讲授。第一学期的内容主要以方程理论为主。一元高次方程和线性方程组是两类最基本的方程。因为没有求解一元高次方程的一般方法，因此在多项式理论中以讨论多项式的整除，最大公因式，因式分解，代数学基本定理为主要内容。这对初等数学中的对应问题来说是以更高层次来描述和讨论的。这中间不但介绍了基本理论，也介绍了一些基本方法。线性方程组是学生在初等数学中接触过的内容。但在初等数学中，学生接触的是最简单的形式，使用的也是最简单的方法。而高等代数在这部分内容中

3、，引入行列式理论，矩阵理论，n元向量的概念和理论用于最终求解线性方程组，以彻底解决线性方程理论相应问题。同时，n元向量的概念和理论，为下学期的线性空间理论，提供了一个例子。第二学期的内容是抽象的向量空间理论。向量空间理论是许多后继数学理论的基础。向量空间理论的抽象性，学生往往难以理解。这是学生在本课程中最感困难之处。因此本学期的教学中，必须要多讲些例题，多讲一些习题，让学生充分理解线性空间，线性变换的理论和方法。矩阵相似标准形的理论，是高等代数中的一个重要内容。这个问题的解决，在这一学期中的讨论是和线性变换结合起来的。因此，可以认为它是线性变换研究的自然结果。矩阵相似标准形理论和线性变换的联系

4、，是学生难以弄清楚的一个问题，也是本课程中的难点。本学期讲授的一个特殊向量空间是内积空间。通过内积空间的讨论，让学生看到用代数方法讨论几何问题的又一个实例。 二、教材选用及内容增删建议选用以苏州大学施武杰、戴桂生编著的由高教出版社出版的高等代数为教材，和以北京大学数学系主编的高等教育出版社出版的高等代数第三版为参考，并以杨子胥编写的山东科技出版社出版的高等代数习题解为学有余力的学生做进一步练习的习题指导材料。考虑到大众化教育模式的普及以及高等代数课程学时的相对减少，传统内容应适当删减。具体建议：多项式部分考虑只讲一元多项式，不讲多元多项式，让学有余力的同学可以自学。整数的整除性可只讲定义和相关

5、定理，单定理的证明可以不讲。不过刚进入大学的学生不习惯这一点，可能会有怨言，这一点必须先向他们交代清楚。分块初等矩阵的概念可以不介绍，同时在其后章节中个别有关定理的证明中也不采取利用分块初等矩阵的证明方式。最小多项式、核与不变只做简单介绍。若当标准形的理论推导。酉空间不做介绍。适当增加高等代数发展历史过程中的有趣实例和高等代数前言知识。适当介绍应用数学软件的功能。具体建议如下：介绍九章算术中解线性方程组的实例。介绍复数域与全体22矩阵构成的线性空间的一个子空间之间的一一对应关系。介绍一型和二型数学归纳法。介绍数学家笛卡儿（RDescartes,1596-1650）和费马（Pde Fermat,

6、1601-1665）以及代数中的几何类比，了解代数与几何的相互影响。介绍定理中的结构与形式，介绍证明定理的反证法。以矩阵的等价、向量组的等价等推广到一般等价关系和和集合的分类（近世代数）。介绍斐波那器那契数列的极限与矩阵的相似标准形之间的关系，体会相似标准形的应用。介绍若当标准形在矩阵分解中的应用和在矩阵方程中的应用。介绍函数逼近中的最小二乘法，以及与欧几里得空间中内积的关系。根据内积的性质证明许瓦兹不等式，最少介绍三种不同的内积对应常用的许瓦兹不等式。介绍相关的数学类计算机应用软件的主要功能，例如MatLab、Lingo等软件。三、教学方法建议考虑到一年级学生对大学的学习有些不习惯，不容易接

7、受抽象的和形式化的理论，根据高等代数课程的特点，具体在讲解定义和定理时，可注意以下几点。1.举特例加强对定义的印象，提高学生的兴趣和主动性在高等代数课程讲授过程中，每讲一个定义，都应举例以加强理解。有些定义还应多举例以增强印象，但若同类形的例子举几个的话，容易引起学生的疲劳感，所以应设法举各种特例。比如讲矩阵定义时，可举行矩阵、列矩阵、零矩阵、上下三角矩阵、对角矩阵等例子。讲矩阵相乘时，也应举两个特殊矩阵相乘的例子以及矩阵分块的特例，特别举乘积矩阵中某单个元素的来源、某行元素的来源、某列元素的来源。讲线性空间时，可举零空间、有限向量空间、有限维线性空间、无限维线性空间的例子，讲多项式构成的线性

8、空间、矩阵构成的线性空间、n维向量构成的线性空间、线性方程组的解空间等例子。讲数域时举有理数域、实数域、复数域、形如a+b EQ r(2) 的数构成的数域等。讲行列式计算时，可举有零行的，有零列的，上三角、下三角、对角行列式的例子。讲逆矩阵时，可举单位矩阵、对角矩阵和各种初等矩阵的例子。用初等变换把矩阵化成行最简形时也应举不同秩的矩阵的例子。讲n维向量组线性相关时可举一个向量的情形，有零向量的情形，部分向量线性相关的情形。讲矩阵的特征值和特征向量时可先举单位阵、对角阵、上三角矩阵、零矩阵的例子。讲矩阵的秩时，应举零矩阵、单位矩阵、各行元素均相同的矩阵的例子。总之照此思路对各种定义发掘特例，启发

9、学生举更多的特例，这样也能提高学生的兴趣和主动性。2.先讲例子和反例，后讲定义高等代数中有些定义描述起来不是很顺畅，逐字逐句讲起来学生不易接受，但实际含义并不复杂。此时应先举例，再用语言描述定义较好。另外这些定义往往有一些反例，即有一些不符何定义条件的对象容易混淆。所以举例时注意正反两方面的例子。例如讲排列的逆序时，1在前5在后，不是逆序；相反则是逆序。类似地还有线性相关与线性无关、特征值和特征向量、集合的影射、线性空间的直和、线性变换的核与象集、不变子空间、多项式的整除等，都容易举出正反两方面的例子。抽象化和形式化是数学的基本特征，现行的教材和教学过分强调这一点，忽视了丰富的数学思维过程，结

10、果挫伤学生的积极性。因此，应推广有些专家提出来的“在数学教学中要返璞归真，从源头讲起，讲清楚问题产生和发展的过程，讲明道理，再讲推理，然后再抽象化和形式化。”例如先讲向量的来源和应用，再讲向量的一般形式。3.定理证明时，注意先特殊，后一般代数学的一个特点是：不满足于研究个别的具体的问题，而是要研究一般的问题。高等代数中的定理证明常常针对n个要素或mn个要素甚至j1 j2 jn个要素，这种情况一年级学生不太习惯。可以先取m,n等于3或4的情形进行讨论。明白道理后再推广到一般情形，学生容易接受。比如，矩阵运算规律的证明、行列式性质的证明、矩阵可逆条件的证明、行列式若干定义等价的证明、向量组的个数和

11、向量的维数与线性相关性之间关系的证明、向量组等价与向量组的秩之间的关系的证明、矩阵的行秩等于列秩的证明、两个多项式互素的等价条件的证明、多项式因式分解唯一性定理的证明、关于二次型的惯性定理的证明、存在正交相似变换化二次型为标准型的证明等。4. 开发第二课堂利用第二课堂，定期举办讲座，介绍代数发展历史上的典型人物、典型事件、典型思想方法，介绍代数与相关学科的联系、应用前景；指导学生去发现实践中的数学问题，指导学生使用Matlab分析和解决问题；指导学生自主式学习、探究式学习。强调第一课堂与第二课堂相结合，激发学生学习高等代数的浓厚兴趣，使高等代数成为学生喜爱和重视的、教学质量较高的课程。5.注重

12、“研究性教学法”“研究性教学法”的基本要求是：积极开展科研，掌握所授课程的前沿知识，了解研究现状和发展趋势，教学过程中，能够把自己的研究实践经验、思维创新方法、学科前沿动态介绍给学生，适时适度提出一些问题供学生研究。简而言之，以坚实的科研推动教学。 “研究性教学法”有利于培养学生的探索精神和创新能力。6. 课堂精讲与自学相结合课堂精讲与自学相结合。课堂上,讲重点,讲知识的背景与形成过程,揭示知识的内在联系,充分调动学生的积极性、主动性；自学是指有些教材内容则采用学生自学为主,教师给出思考题,课后下班辅导及答疑。7.教考分离试题库中既有试题，也有相应的题解。试题库中的试题可以作为学生自学的参考资

13、料。而试题库系统同时可作为考试出题工具。试题容量应超过3千个，并逐渐增大题量。不必顾忌有些考题学生平时已做过，其实这也是某些学生做题的动力。 8.注意主讲课的课前教学设计与答疑讨论课的关系根据学生的实际情况和高等代数课的特点，课堂教学分主讲课和答疑讨论课两种形式，而后者是前者的重要补充和完善。就主讲课而言，一定要做好课前的教学设计，精心安排两个学时的教学内容，争取使整个教学过程最优化。虽然以教师讲授为主，但也要避免填鸭式的满堂灌，充分发挥学生的主体作用，处处注意调动学生的思维活动。例如，在教学时，注意阐明代数学中概念、公式和定理的提出过程，知识的形成和发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规

14、律的概括过程。使学生从中展开思维，积极主动地获取知识，最终达到启迪智慧、开拓思路、掌握代数思想方法的目的。另一课堂教学形式是答疑讨论课。因为高等代数课的内容很抽象，只靠主讲课，学生难以掌握，所以答疑讨论课就显得很有必要也很重要。同时这种授课方式还具有以下优点：第一，气氛比较宽松，讨论不拘形式，可以做到和每个学生面对面地交流讨论，真正做到全面了解学生的学习情况；第二，针对性强，根据学生个性的差异，可以解答来自不同角度、不同层面的问题；第三，通过答疑讨论课，使学生之间有更多的机会深入探讨和交流，这样可以互相启发，开阔思路，进一步活跃学习气氛，激发学习兴趣；第四，答疑讨论课可以使师生之间更好的沟通，

15、答疑是学生学习信息的反馈，也是主讲课效果的反馈，又是主讲课的补充和完善。通过答疑讨论，使教师能够有针对性的对学生实施能动的心理和智能的导引。9.重视与相关课程的联系在教学中讲述数学概念的发展史，激发学生的学习兴趣。在教学中注意介绍数学领域的最新成果，适当讲解高等代数的应用实例，把后续课程中的有关基本内容分解开来讲授。现代数学发展趋势是丰富多彩的，各个分支相互渗透，有机结合。在高等代数的教学中应注意与数学分析课、解析几何课等其他专业基础课程的教学内容联系起来，还要注意与后续开设的近世代数、泛函分析、计算机等课程的教学内容之间的联系，为学生以后继续学习这些课程打下良好的基础。鼓励学生阅读相关内容的材料。如九章算术，复数的矩阵模型，代数中的几何类比、若当标准型的应用等。10.重