圆中常用的辅助线作法

1、 专题训练圆中常用的辅助线作法?作法一作半径或直径作半径（或直径）：构造等腰三角形或直角三角形如图9-ZT3,ABC是OO的内接三角形，/C=30,OO的半径为5,若点P是OO上的一点，在厶ABP中，PB=AB,贝yPA的长为（）图9ZT1A.52.如图9ZT2,ABC内接于OO,/A=60,BC=6.3,则BC的长为（）A.3.如图2nB.4nC.8nD.9ZT3,ABC内接于O12n23,则OO的面积为（）A.4.如图2nB.4nC.8nD.9ZT4,ABC内接于O12nO,5.如图的长是A图9ZT49ZT5,OO的半径为6,点A,B,C在OO上，且/ACB=45,则弦AB连接过切点的半径

2、或直径：见切线，连切点，得垂直6.如图9-ZT6,两个同心圆的半径分别为4cm和5cm,大圆的一条弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为（）C.6cmD.8cm7.如图9ZT7,AB为OO的直径，PD切OO于点C,交AB的延长线于点D,且/D=2/A.求/D的度数；若CD=2,求BD的长.图9ZT7?作法二作弦心距：解决弦长的计算与证明问题&一条排水管的截面如图9ZT8所示，已知排水管的半径0A=1m,水面宽AB=1.2m,某天下雨后，水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽为（）图9ZT8A.1.4mB.1.6mC.1.8mD.2m如图9ZT9所示，AB是OO的直径，弦CD交AB于点P,A

3、P=2,BP=6,/APC=30,则CD的长为（）图9ZT9A.15B.2.5C.215D.8?作法三构造直径所对的圆周角：见直径想直角如图9-ZT10,四边形ABCD内接于OO,AB为OO的直径，点C为弧BD的中点.若/DAB=40,则/ABC=.图9ZT10B如图9ZT11,OO的直径AB=12cm,C为AB延长线上一点，CP与OO相切于点P,过点B作弦BD/CP,连接PD.(1)求证：点P为BD的中点;若/C=ZD,求四边形BCPD的面积.图9ZT11?作法四判定直线与圆相切(作半径或作垂直)有交点？作半径，证垂直如图9ZT12,在RtAABC中，/ABC=90,以AB为直径作半圆O交A

4、C于点D,E为BC的中点，连接DE.求证：DE是半圆O的切线；若/BAC=30,DE=2,求AD的长.图9ZT12如图9ZT13,点E是厶ABC的内心，AE的延长线交BC于点F,交厶ABC的外接圆OO于点D,连接BD,过点D作直线DM,使/BDM=ZDAC.求证：直线DM是OO的切线.图9ZT13,PC=4,求弦CE的长.图9ZT14无交点？作垂直，证半径如图9ZT14,点O在/APB的平分线上，OO与PA相切于点C.求证：直线PB与OO相切；(2)PO的延长线与OO相交于点详解详析1.解析D连接OB,OA,OP,OB与AP交于点D.由垂径定理的推论可知OB丄AP.运用“圆周角的度数等于它所对

5、弧上的圆心角度数的一半”可知OAB为等边三角形，再运用解直角三角形的知识可求出AP的长为53.故选D.解析B方法一：过点B作直径BD，连接CD,OC,则/BCD=90v/A=60./D=/A=60/BOC=120a/DBC=30/BD=2CD.vBC=63，由勾股定理可求得CD=6,.R=6，贝U1BC=nn8nR=12080=4n故选B.方法二：连接OB,OC,过点O作BC的垂线OD，垂足为D，则BC=2BD.v/A=60./BOC=120/OBC=30vBC=63,.BD=33,由勾股定理，得OB=6,.R=一亠ndR120nX6丄匸、丄6，则lBC=面=他=4冗故选B解析B方法一：过点B

6、作直径BD,连接CD,则/BCD=90v/A=60a/D=60，./DBC=30,.BD=2CD.vBC=23,由勾股定理可求得CD=2,.r=2,则SGO=n2=4n故选B.方法二：连接OB,OC,过O作BC的垂线OD,垂足为D,贝UBC=2BD.v/A=60./BOC=120./OBC=30,.BO=2OD.vBC=2_3,.r=OB=2,则So=n2=4n故选B.答案58解析方法一：连接OB.在厶OAB中，OA=OB,./OAB=/OBA.又v/OAB=32,1a/OBA=32./AOB=1802X32=116又v/C=寸/AOB（同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半），./C=58方法二

7、：过点A作直径AD，连接BD，则/ABD=90a/C=ZD=9032=58同弧所对的圆周角相等）答案62解析C如图，连接OC,OA.大圆的一条弦AB与小圆相切，1aOCXAB,aAC=BC=AB.在RtAOC中，OA=5cm,OC=4cm,aAC=、/OA2OC2=3cm,aAB=2AC=6cm.解：(1)连接OC.tOA=OC,a/A=/OCA,a/COD=/A+ZOCA=2/A./D=2/A,a/COD=ZD.PD与OO相切于点C,1aOCXPD，即/OCD=90a/D=-x90=452(2)由(1)可知/COD=ZD,aOC=CD=2.由勾股定理，得OD=,22+2=22,aBD=ODO

8、B=222.&解析B如图，作OE丄AB于点E，交CD于点F，连接OC./AB=1.2m,OE丄AB,OA=1m,aAE=0.6m,aOE=0.8m.水管水面上升了0.2m,aOF=0.80.2=0.6(m),aCF=OC2OF2=0.8m,aCD=1.6m.故选B.9.解析C作OH丄CD于点H，连接OC,如图,/OH丄CD,HC=HD.tAP=2,BP=6,.AB=8,.OA=4,.OP=OAAP=2.在RtOPH中，/OPH=30OH=OP=1.在RtOHC中，/OC=4,OH=1,CH=OC2OH2=15,CD=2CH=215.故选C.答案70解析连接AC，/AB为OO的直径，/ACB=9

9、0点C为弧BD的中点，/CAB1=-ZDAB=20/ABC=70解：(1)证明：连接OP,TCP与OO相切于点P,OP丄CP.TBD/CP,OP丄bd,点p为bd的中点.(2)连接AD,AB是直径，/ADB=90=ZOPC.vBD/CP,/C=ZDBA.又C=ZD，/DBA=ZD,DP/BC,.四边形BCPD是平行四边形，DB=PC,COP=BAD(ASA),CO=AB=12cm,CB=OA=6cm.OP=6cm,CP=CO2OP2=6,3cm./BD/CP,CB=OB,PE=OE=3cm,四边形BCPD的面积是6-,3X3=18.3(cm2).解：(1)证明：如图，连接BD,OD,OE.AB

10、为半圆O的直径，/ADB=ZBDC=90在RtBDC中，E为斜边BC的中点,DE=BE.在厶OBE和厶ODE中，55 OB=OD,OE=OE,BE=DE,OBEAODE(SSS),/ODE=ZABC=90即OD丄DE.又OD是半圆O的半径，DE是半圆O的切线.在RtABC中，/BAC=301-BC=2AC./BC=2DE=4,AC=8.又/C=90/BAC=60DE=BE=EC,DEC为等边三角形，即DC=DE=2,AD=ACDC=6.证明：如图，作直径DG,连接BG.MD点E是厶ABC的内心，AD平分/BAC,/BAD=/DAC./G=/BAD,/BDM=/DAC,/BDM=/G./DG为OO的直径，/GBD=90/G+ZBDG=90,/BDM+/BDG=90即ZMDG=90直线DM是OO的切线.解：证明：过点O作OD丄PB于点D,连接OC./