ch4李亚普诺夫稳定性分析

1、第四章 线性系统的稳定性1.2.3 .夫稳定性定义夫稳定性判据第一法夫稳定性判据第二法201-17-1绪论：稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：1 、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输入有界输出稳定(BIOB)IO)。2 、稳定性：指系统在零输入条件下通过其状态变化所定义的稳定性。状态稳定。外部稳定性只适用于线性系统，稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统

2、本身的结构和参数有关，与输入输出无关。201-17-2有界输入有界输出稳定：( BIBO稳定Bounded Input , Bounded Outpu t Stability )零初始条件下，若输入u(t)有界，则输出y(t)也有界,称为BIBO稳定。有界输入有界状态稳定：(BIBS Bounded Input ,Bounded Se Stabrlrty )任意初始条件下，若输入u(t)有界，则状态x(t)有界，称为BIBS 稳定。201-17-3系统的稳定性：稳定性：（古典意义下的稳定，下的渐近稳定）一个自动控制系统当受到外界干扰时，它的平衡状态被破坏，但在扰动消除后它, 仍有能力自动地回复

3、到平衡状态继续工作，系统的这种性能，称为稳定性。稳定性的数学表示法：系统在受外界干扰后，系统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收敛性，用数学方法表示为：lim x(t ) tx(t ) 为系统被调量偏离其平衡位置的大小，为 任意小的规定量。201-17-4研究系统稳定性的方法：茨稳定性判据1） 古典控制理论：乃稳定性判据夫稳定性：第一法（间接法）2 ）现代控制理论：第二法（直接法）201-17-5线性、非线性；定常、时变系统等线性定常系统向量和矩阵的范数向量的范数 x1 向量x ,其范数|x|为一实数，具有性质： xn (1) 若x0则 |x|0; 当x=0, 则 |x|=0(2)

4、|x|=| |x| , 为任意标量.(3) 对于两个向量x, y有 |x+y|几种常见的向量范数：|x|+|y| . (三角不等式)n|1 范数i11n|2 范数i 1n上的点到原点的距离。201-17-61p ) pn(| x |( x,1 p ) ,p 范数pii1 max | xix|1in1np ) p )(x的范数也定义：|ippi1矩阵的范数矩阵A=aijnm，其范数|A|满足:(1) 当A0时，|A|0；当A=0时，|A|=0 ；|A|=| |A|为任意向量；(2)(3)(4)|A+B|A |+| B| ；|AB|A | B| ；201-17-7几种常见的矩阵范数： nm | a

5、ij | ,i1j1A1范数112nm(22范数Aa ),ij2i1j11nm(| ai 1 j 11 p )|P ) P(A,ijpmij| A | max(| a| )1i nj 1或：| A | max | aij |i , j201-17-8二次型及其正定性1、二次型函数Vx)(： pki如果 pik，则称P为实对称矩阵。1）正定性：当且仅当x=0时，才有V ( x；) 对0任意非零X，恒有V ( x ) 0，则V ( x )为正定。V ( x ) 02）负定性：当仅当X=0时，才有；对任意非零恒x, 有V ( x ) ，0 则V ( x为) 负定。201-17-9 p11p12p1n

6、 x1 ppp x V ( x 21222n 2 xT Px2, ,n ppp x n1n 2nn n 3）半正定和半负定V ( x ) 0, 则VX为() 半正定。x 0 ，恒有如果对任意如果对任意x 0 ，恒有 V ( x ) 0则, VX为() 半负定。4）半(正) 定和半( )负定间的关系为Vx)( 正定，则为Vx)( 负定；为Vx)( 半正定，则为Vx)( 半负定； 5）不定性如果无论取多么小的零点的某个邻域，VX可() 为正值也可为负值，则为Vx)( 不定。2、二次型函数正Vx)(负( 定) 性判定：准则201-17-10V ( x ) x T Px1） 二次型为正定，或实对称矩阵

7、P为正定的充要条件是P的所有主子行列式均为正，即：p1121 p11 p21p1n p12 p22p2 n P pppn1nn n 2p12220, p 0, 0如果P1112npp则P为正定，即Vx)(正定。2） 二次型V ( x ) x T P为x 负定，或实对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足；i 0(i为奇数i0（ i为偶数）i=1，2，3，n,。201-17-1例试证明下列二次型是正定的。V (V ( x )可写为解：1）二次型 2 x1 1014 1 1 xV ( x ) x TPx1 2 23 2 x3 12）利用准则， 2 11101 214 11011410 0,0,

8、0因为矩阵P 的所有主子行列式均为正值，所以V ( x ) 是正定的。201-17-12第一节夫稳定性定义1.平衡状态2.夫稳定性定义（4种）稳定、渐近稳定、围渐近稳定、不稳定201-17-13一、平衡状态平衡状态：对所有时间，t 如果满足xe f ( xe ) 0，称xe为系统的平衡状态或平衡点。说明：稳定性针对平衡状态而言。1、对于线性定常系统： xeA为非奇异阵时，x= f (xe ) Ax 00是其唯一的平衡状态。A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。xe 0，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标3、对任意原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状

9、态空间原点。4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态201-17-14二、夫意义下的稳定（4 种）1 、稳定： （系统的响应是有界的）设 xe 为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域S ( ) 或任意正实数 0 ，都可以找到另一个正实数 ( , t0 )或球域S ( ) ，当初始状态满足 ( , t0 )时，对由此出发的x0 xex0X的运动轨迹有下是稳定的。 ，则称平衡状态x在e夫意义x xe稳定几何表示法：201-17-15 x0 xe表示初始偏差都在以 为半径，说明1 ：S ( )里。其中2以平衡状态 Xe为中心的球域

10、 (1x x范数)20ene 为半径，以平x xe表示平衡状态偏差都在以衡状态 Xe 为中心的球域S ( ) 里说明2 ：稳定性针对平衡状态而言，反映的是平衡状态临域的局部稳定性，即小范围稳定性。说明3 ：系统做等幅振荡时，在平面上描出一条封闭曲线，只要不超过 S ( ) ，就是稳定的，而古典则认为不稳定。201-17-162 、渐近稳定：（响应有界并回到平衡状态）设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是稳定的，且当t趋向于无穷大时，有：x xe 0limt即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。渐近稳定几何表示法：古典的稳定性，就是意义下的渐近稳定。说明：稳定和渐近稳定，两者有很大的

11、不同。对于稳定而言，不会跑出球域 S ( )，至于在球域内如何变只要求状态轨迹化不作任何规定。而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。201-17-173 、围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性，即：limx xe 0t对所有点都成立，称平衡状态xe为围渐近稳定的。其渐近稳定的最围是整个状态空间。必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。（假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是围渐近稳定的。201-17-184 、不稳定：

12、（系统的响应是的）如果对于某一实数 0 ，不论 取得多么小，由内S( )出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S ( ) ，则称平衡状态xe是不稳定的。不稳定几何表示法：说明：虽然不稳定的轨迹超出了 S ( )，但并不一定趋向于无穷远处，有可能趋向于 S ( )外的某个极限环。201-17-19经典控制理论中的稳定性与Lyapunov意义下的稳定性的关系：在经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统；而在Lyapunov意义下是稳定的，但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。201-17-20经典控制理论线( 性系统）不稳定 Rs)e(0临界情况 R=0s)e(稳定 R0，且k0所以系统稳定的k值范围为0k6根据201-17-43p23 p13 p 12本节小结：1、2、第二法判稳思路：寻找函数第二法稳定性定理稳定性定理3： V ( x )是正定的，V ( x ) 是负定的。稳定性定理4： V ( x )是正定的，V ( x ) 是半负定的。不稳定性定理5：