2022年二阶变系数线性微分方程的一些解法

1、第九节 二阶变系数线性微分方程 的一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数 线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍,而对于变 系数线性方程,要求其解一般是很困难的；本节介绍 处理这类方程的二种方法 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶,从而 求得方程的解,这种方法也可用于二阶变系数线性方 程的求解； 考虑二阶线性齐次方程 dy px 2 dx dy qxy 0 dx 9.1 设已知其一个非零特解 y,作变量替换,令 y uy1 9.2 其中 uux 为未知函数,求导数有 dyy1duudy1dx dx dx 求二阶导数有 dx dy y1d u 2 du dy1 u d y

2、1 dx dx dx dx 代入 9.1 式得 精品资料 第 1 页,共 20 页y 1d u （2 dy1 pxy 1） du dy1 dx dx dx dx px dy1 dx qxy 1u09.3 这是一个关于 u 的二阶线性齐次方程,各项系数是 x 的已知函数,由于 y1 是9.1 的解,所以其中 dy1 px 2 dy1 qxy 10dx dx 故9.3 式化为 2y 1 d u 2 dy1 dx dx pxy 1 du 0 dx 再作变量替换,令 dy z 得 dx y 1 dz 2 dy1 pxy 1z 0dx dx 分别变量 1 dz 2px dx z y1 两边积分,得其通解

3、 z C2 y1 e pxdx e pxdx 其中 C 为任意常数 积分得 uC2 12y1 dxC1代回原变量得 9.1 的通解 y y1CC2 12y1 e pxdx dx 精品资料 第 2 页,共 20 页此式称为二阶线性方程的刘维尔 Liouville 公式； 综上所述,对于二阶线性齐次方程,如已知其一个 非零特解,作二次变换,即作变换 yy1zdx 可将其降为一阶线性齐次方程,从而求得通解； 对于二阶线性非齐次方程,如已知其对应的齐次方 程的一个特解,用同样的变换,由于这种变换并不影 响方程的右端,所以也能使非齐次方程降低一阶； 例 1. 已知 y sin x 是方程 d y 2 d

4、y y0 的 2x dx x dx 一个解,试求方程的通解 解 作变换 y y1zdx 就有 dyy1z dy1 dx dxzdx dy y1 2 dz 2 dy1 z dy1 zdx 2dx dx dx dx 代入原方程,并留意到 y1是原方程的解,有 dz y 1 2 dy1 dy1z 0 dx dx dx 即 dz ctanx z dx 积分得 z C1 2sin x 于是 y y1zdx sin x C1 2 dxC2 x sin x 精品资料 第 3 页,共 20 页 sin x x C1ctanx C2 1 x C 2sinxC1cosx这就是原方程的通解； 常数变易法 在第三节求

5、一阶线性非齐方程通解时,我们曾对其 对应的齐次方程的通解,利用常数变易法求得非齐次 方程的通解；对于二阶线性非齐次方程 dy px 2 dx 其中 px,qx 应的齐次方程 d 2y 2px dx dy pxy fx 9.4 dx ,fx 在某区间上连续,假如其对 dy qxy 0 dx 的通解 y C1yCy2已经求得； 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程 的通解； 设非齐次方程 9.4 y u1y1u y2具有形式 9.5 的特解,其中 u1u1x ,u2ux 是两个待定函数, 对 y 求导数得 精品资料 第 4 页,共 20 页 yu1y1u2y 2y1u y2u2由于用 9.5

6、 代入 9.4 ,可确定 u1,u2的一个方程, 为了同时确定这两个函数,仍须添加一个条件,为计 算便利,我们补充一个条件： y u y2u 20这样 yu1y 1u2y 2 y u 1y 1u 2y 2u1y 1u2y2代入方程 9.3 整理得 ,并留意到 y1,y2是齐次方程的解, u y 1u y fx y 2 u2 0f x 与补充条件联列得方程组 y1u1 y1 u1 y2 u2 y2 由于 y1,y2线性无关,即 y 2 常数,所以 y 2 y1y2 y 2y1 y1 y1 0 y1 设 wx y1y 2y2y 1,就有 wx 0所以上述方 程组有唯独解； 解得 u 1 y2 f

7、x y 2f x y1y2 y 2 y1 w x u 2y1f x y1f x y1 y2 y 2y1 w x 精品资料 第 5 页,共 20 页积分并取其一个原函数得 u1 y2f x dx w x u y1 f x dx w x 就所求特解为 y1 f x dx w x y y1 y 2 f x dxy2 w x 所求方程的通解 y2 f x dxy2w x y Y y C1y1C2y2y1 y1 w x f x dx 上述求特解的方法也适用于常系数非齐次方程情 形； 例 1. 求方程 dy 1 dy x 的通解 2dx x dx 解 先求对应的齐次方程 2dx d y 1 dy 0 x

8、dx 2 的通解,由 d y 1 dy dx x dx 精品资料 第 6 页,共 20 页1d dy 1 dx dx x ln x ln dy dx 得 ln dy dx C 即 dy Cx 得通解 yCx C 2dx x 和 所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是 1； 为求非齐次方程的一个解 y 将 C1,C2换成待定函数 u1,u2,且 u1,u2中意以下方程 2 x u1 1 u2 02xu1 0 u2 x 解上述方程得 u 1 12积分并取其一原函数得 u于是原方程的一个特解为 u 2 1x 21 1x,u2 x32 6y u1x u21 2 x 323 x 63 x 3从而原方程的

9、通解为 y C1x C2 2x 3 3第十节 数学建模 二 微分方 精品资料 第 7 页,共 20 页程在几何,物理中的应用举例 一,镭的衰变 例 1. 镭,铀等放射性元素因不断地放出各种射线 而逐步削减其质量,称为放射性物的衰变；由试验得 知,衰变速度与现存物质的质量成正比,求放射性元 素在时刻 t 的质量； 解 用 x 表示该放射性物质在时刻 t 的现存物质, 就 dx 表示 x 在时刻 t 的衰变速度, 于是“衰变速度与 dt 现存质量成正比”可表示为 dx kx dt 这是一个以 x 为未知函数的一阶方程,它就是放射 性元素衰变的数学模型； 其中 k0 是比例常数, 称为 衰变常数,因

10、元素的不同而异；方程右端的负号表示 当时间 t 增加时,质量 解这个方程得通解 x kt Ce x 削减,即 t 0 时, dx 0； dt 如已知当 t t 0时, xx0,即 x t t 0 x0代入方程可得 Cx0e kt 0得特解 x x0e k t t 0 精品资料 第 8 页,共 20 页它反映了某种放射性元素衰变的规律； 二,正交轨线 已知曲线族方程 Fx,y,C ,其中包含了一个参数 C,当 C 固定时就得到一条曲线,当 C 改 变就得整族曲线,称为单参数曲 线族；例如 yCx 为一抛物线族； 图 6-3 假如存在另一族曲线 Gx,y,C 0,其每一条曲线 都与曲线族 Fx,y

11、,C 0 的每条曲线垂直相交,即不 同族中的曲线在交点处的切线相互垂直；就称 Gx,y,C 0 为 Fx,y ,C0 的正交轨线； 将曲线族方程 Fx,y,C 0 对 x 求导与 Fx,y,C 0 联列并消去常数 C,得曲线族上任一点的坐标 x,y 和曲线在该点的斜率 fx,y,y 0 y所中意的微分方程 这就是曲线族 Fx,y,C 0 所中意的微分方程； 由于正交轨线过点 x,y ,且在该点与曲线族中过 该点的曲线垂直,故正交轨线在点 x,y 处的斜率 k 1y 精品资料 第 9 页,共 20 页于是可知曲线族 Fx,y,C 0 的正交轨线中意方程 fx,y, 1 0 y 这是正交轨线的数学

12、模型,其积分曲线族 通解 , 就是所要求的正交轨线； 2例 2 求抛物线族 yCx 的正交轨线； 解 对 yCx 关于 x 求导,得 2y 2Cx 与原方程联列 2y Cx 消去 C y 2Cx 图 6-4 得微分方程 y 2y x 将 1 代入 y得所求抛物线的正交轨线微分方程 y 1 2y y x 即 ydy x dx 22 y C 22积分得 2 x 4精品资料 第 10 页,共 20 页即抛物线族 y Cx 2的正交轨线是一个椭圆族,如 图 6-4 ； 三,追迹问题 例 3. 开头时,甲,乙水平 距离为 1 单位,乙从 A 点沿垂 直于 OA 的直线以等速 v0 向正 比行走；甲从乙的

13、左侧 O 点 出 发,始终对准乙以 nv0n1的速度追赶,求追迹曲线方程, 并问乙行多远时,被甲追到； 图 6-5 解 如图 6-5 建立坐标系,设所求追迹曲线方程为 y yx 经过时刻 t ,甲在追迹曲线上的点为 px,y ,乙在 点 B1,v 0t ；于是有 tan y v0t 1y x 10.1 由题设,曲线的弧长 OPx 012 y 为 dxnv 0t 解出 v0t 代入 10.1得 1 xy y 1nx01y2 dx 两边对 x 求导,整理得 精品资料 第 11 页,共 20 页1 xy 1 n12 y 这就是追迹问题的数学模型； 这是一个不显含 y 的可降阶的方程,设 y p,y

14、p代入方程得 1 xp 1 n1p 2 p2 1 ln 1x n或 dp 2 dx n1 x 1p两边积分得 lnp 1lnC 即 p 1 p 2 n C1 1 x 将初始条件 y x0p x 00代入上式,得 C11,于是 y 1y y2 n1 10.2 1 x 21 y ,并化简得 两边同乘 y 12 y 1 x 10.3 10.2 与10.3 两式相加,得 y 1 2 n 1 1x n 1 x y 1 n 1 x 2 n1n 1 n n n11 积分,得 精品资料 第 12 页,共 20 页x n 1 n C2n1,所求追迹 代入初始条件 y x00得 C2 n2曲线方程为 y n 1

15、n 1 nn1 n 1 x 2 n1n 1 x n1n2n 1 甲追到乙时,即曲线上点 P 的横坐标 x1,此时 y nn1nn1个单 2即乙行走至离 A2点 位距离时即被甲追到； 四,弹簧振动 下面我们争辩机械振动的简洁 模型弹簧振动问题,争辩 图 6-6 悬挂重物的弹簧的振动,并假定弹簧的质量与重物的 质量相比较可以忽视不计； 如图 6-6 ,一弹簧上端固定,下端与一质量为 m 的 物体连接,弹簧对物体的作用力 复原力 与弹簧的伸 长度成正比 比例常数为 k; 物体在运过程中所受的 精品资料 第 13 页,共 20 页阻力与速度成正比 比例常数为 ；此外,物体仍 与 一个连杆连接,连杆对物

16、体的作用力 强迫力 为 Ft ；下面建立物体运动方程 数学模型 ； 如图 6-6 ,物体的平稳位置为原点,向下方向为 Ox 轴的正向, 以 xxt 表示物体在时刻 t 的位置, 由于物体共受到三个力的作用； 1 复原力：一 kx 负号表示复原力与位移 x 方 向相反 ； 2 阻力： dx dt 负号表示阻力与速度 dx 的方向 dt 相反 ； 3 强迫力： Ft 由牛顿其次定律 F ma 得 m dx Ft kx dx 2 dt dt 2 或 d x dt m dx k dt m x Ft m 这就是物体运动的数学模型振动方程； 为便利起见,记 2 0 , k m m 0 , Ft ft ,就

17、上述方程可写成 m d 2x 2 dx xft 2 10.4 dt dt 1. 自由振动,当 ft 0 时称为自由振动； 精品资料 第 14 页,共 20 页分两种情形争辩 1 当 0 时称为无阻尼自 由振动,其运动方程为 dx 2 2x0 dt 图 6-7 其通解 x C1cost C2sint Asin （ t ） 其中 A 2 C1 2 C2 , tan C1 C2 A 及初相角, 这是简谐振动 , 如图 6-7 ,这里振幅 可由物体的初始位置和初始速度准备； 2 当 0 时称为有阻尼自由振动, 其运动方程 为 dx dx 2 2x0 dt dt 2 其特点方程为 r r 0 下面就其根

18、的三种情形分别争辩： 大阻尼情形 ,其根为 r 2 2特点方程有两个不相等的实根,由于它们都 是负数,可令 r 1 1,r 2, 10, 2 0 所以方程的通解为 xC1e1t C2e2 t 精品资料 第 15 页,共 20 页图 6-8 这里的位移 图 6-9 x 不是周期函数,因而物体不作任何振 动,当 t 时 x0,即随时间的无限增加而趋于 平稳位置,如图 情形 6-8当 C1C20,1C1 2C20的 临界阻尼情形 ,特点方程有二重根, r r 2,此时通解为 x t （ C1Ct ）e这是位移 x 也不是周期函数,物体也不作任何振动, 当 t 时 x0,即随时间无限增加而趋于平稳位

19、置,如图 6-9当 C10,C2 C10的情形 ； 0 小阻尼情形 ,特点方程有一对共 轭复根 r i 2222t 此时通解为 x t Ae cos 这里 A, 都是任意常 数, 可由振动的初始条件准备；由 精品资料 第 16 页,共 20 页上式看到,振幅 Ae t 随时间的增加而削减, 其削减的快慢程度由系数 2m准备；当 t x0,即随时间 t 时,振幅 Ae t 0,于是 无限增加而趋于平稳位置；这种情形称为有阻尼的衰 减振动,如图 6-10 所示 图 6-10 2. 强迫振动 设外力 ft asin 0t 我们只考虑无阻尼的强迫振动,其振动方程为 d2x xasin 0t 2a2sin 2 dt 它的通解为 x Asin t 0 t ,当0 时 2t cost ,当 0 xAsin （t ） 2时； 由解的形式可以看出,振动由两种运动所合成,一 种是自由