北师大版（新）八上-4.2 一次函数与正比例函数【优质教案】

1、班海数学精批一本可精细批改的教辅 一次函数与正比例函数【教材与学情分析】这节课主要学习正比例函数的概念，同时为后续一次函数的学习打下基础。学生在小学已经学习了正比例的定义，并通过第二十章的学习，对函数的概念有了初步的认识，了解研究函数中两个变量关系的一般方法，具备学习本课的理论基础和相应的学习经验。【教学目标】1知识与技能目标：理解正比例函数的概念，能根据所给的条件写出正比例函数的表达式.2过程与方法目标：经历正比例函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符号意识；3情感与态度目标：（1）通过经历概念的建立、印证和拓展全过程，培养学生良好的数学思维品质；（2）在探索交流的过程中获得成功的体验，增

2、强自信心；【重点难点】教学重点：经历正比例函数概念的抽象过程，建立正比例函数的概念。教学难点：正比例函数概念的形成。【教法设计】在教学中结合学生的认知基础，设计合理的学习活动，为学生抽取函数模型形成概念搭建支架.【教学过程】教学环节教师活动学生活动设计意图一、复习导入小刚骑自行车去上学，行驶时间和路程的关系如下表：时间t/min1234517.5路程s/km0.20.40.60.813.5（1）当t=2min时，s=_，_；当t=5min时，s=_，_；（2）小刚行驶的时间和路程成正比吗？为什么？（3）s与t之间的函数关系式为_.学生独立解答并展示。在学习活动中学生回忆正比例和函数的相关知识，

3、并为正比例函数的学习做好准备.二、概念形成活动一：1.小亮每小时读20页书，若读书时间用字母t(h)表示，读过书的页数用字母m（页）表示，则用t表示m的函数表达式为_；2.小米去给学校运动会买奖品，每支铅笔0.5元。若购买铅笔的数量用n（支）表示，花钱的总数用w（元）表示，则用n表示w的函数表达式为_；3.拧不紧的水龙头每分钟滴100滴水，每滴水约0.05ml，设tmin后，水龙头滴水Vml，则用t表示V的函数表达式为_；在实际背景下建立函数模型.提供有代表性的典型事例，为概念的形成提供素材活动二：观察在前面活动中所获得的函数关系式：，这些函数都叫做正比例函数.下面这些不是正比例函数：，（1）

4、函数关系式有哪些共同之处？（2）如果用表示自变量，用表示因变量，表示自变量的系数，正比例函数关系式可以写成什么形式？学生独立思考后交流讨论。抽取共性，用数学语言和符号表示概念活动三：例1：下列函数中，哪些是正比例函数？请指出其中正比例函数的比例系数.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)例2：有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷/时的小麦收割机来收割.(1)求收割的面积y（公顷）与收割时间x(h)之间的函数关系式；(2)求收割完这块麦田需要的时间.学生独立解答并展示。通过概念辨析与应用，把新概念纳入到已有的概念体系中.三、巩固提升1.判断下列问题中哪两个量具有正比例关系

5、（1）向圆柱形水杯中加水，水的体积与高度；（2）正方形的面积与它的边长；（3）小丽录入一篇文章，她的打字速度与所用的时间；（4）人的体重与身高.2.填空（1）已知函数，当时，_；（2）已知函数，当时，_；（3）已知函数，当时，_；学生独立解答并展示。深化对正比例函数概念的理解。四、回顾反思1.本节课我们收获了哪些知识？2.我们在研究这些问题时，经历了怎样的过程？3.通过这个研究过程，你有什么感受和体会？学生独立思考后组内交流收获，最后由各小组选派代表展示.通过有意识地引导学生回顾学习过程，积累学习活动经验，加强学生对自己的学习过程的认知.五、课后作业必做题：P86页A组：1，2，3选做题：P8

6、6页B组：4课后完成。分层次布置作业，关注不同学生的需要。一次函数知识技能目标1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标； 2.会作出实际问题中的一次函数的图象.过程性目标1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活； 2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题教学过程一、创设情境1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？（一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的图象）.2.正比例函数ykx(k0)的图象是经过哪一点的直线？（正比例函数ykx(k0)的图象是经过原

7、点(0，0)的一条直线）.3.平面直角坐标系中，x轴、y轴上的点的坐标有什么特征？4.在平面直角坐标系中,画出函数的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方?二、探究归纳1.在画函数的图象时，通过列表，可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0)，这两点都在坐标轴上，其中点(0,-1)在y轴上，点(2,0)在x轴上，我们把这两个点依次叫做直线与y轴与x轴的交点.2.求直线y-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线.分析 x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标0由此可求x轴上点的横坐标值和y轴上点的纵坐标值解 因为x轴上点的纵坐标是0，y

8、轴上点的横坐标0，所以当y0时，x-1.5，点(-1.5,0)就是直线与x轴的交点；当x0时，y-3，点(0，-3)就是直线与y轴的交点.过点(-1.5,0)和(0，-3)所作的直线就是直线y-2x-3. 所以一次函数ykxb,当x0时，yb；当y0时，.所以直线ykxb与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是.三、实践应用例1 若直线y-kxb与直线y-x平行，且与y轴交点的纵坐标为-2；求直线的表达式.分析 直线y-kxb与直线y-x平行，可求出k的值,与y轴交点的纵坐标为-2,可求出b的值.解 因为直线y-kxb与直线y-x平行，所以k-1,又因为直线与y轴交点的纵坐标为-2,所

9、以b-2,因此所求的直线的表达式为y-x-2.例2 求函数与x轴、y轴的交点坐标，并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积.分析 求直线与x轴、y轴的交点坐标，根据x轴、y轴上点的纵坐标和横坐标分别为0，可求出相应的横坐标和纵坐标；结合图象，易知直线与x轴、y轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边就是直线与x轴、y轴的交点与原点的距离.解 当y0时，x2，所以直线与x轴的交点坐标是A(2,0)；当x0时，y-3,所以直线与y轴的交点坐标是B(0，-3).例3 画出第一节课中问题(1)中小明距北京的路程s（千米）与在高速公路上行驶的时间t（时）之间函数s570-95t的图象.分析 这是一题与实际

10、生活相关的函数应用题，函数关系式s570-95t中，自变量t是小明在高速公路上行驶的时间，所以0t6,画出的图象是直线的一部分.再者，本题中t和s取值悬殊很大，故横轴和纵轴所选取的单位长不一致.讨论 1.上述函数是否是一次函数？这个函数的图象是什么？2.在实际问题中，一次函数的图象除了直线和本题的图形外，还有没有其他的情形？你能不能找出几个例子加以说明.例4 旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李如果所带行李超过了规定的重量，就要按超重的千克收取超重行李费已知旅客所付行李费y（元）可以看成他们携带的行李质量x（千克）的一次函数为画出这个函数的图象，并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李？分析

11、 求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数，即行李费为0元时的行李数为此只需求一次函数与x轴的交点横坐标的值即当y0时，x30由此可知这个函数的自变量的取值范围是x30解 函数(x30)图象为：当y0时，x30.所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.例5 今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0 x5时，y0.72x,当x5时，y0.9x-0.9(1)画出函数的图象；(2)观察图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.分析 画函数图象时，应就自变量0 x5和x5分别画出图象

12、，当0 x5时，是正比例函数，当x5是一次函数，所以这个函数的图象是一条折线.解 (1)函数的图象是：(2)自来水公司的收费标准是：当用水量在5吨以内时，每吨0.72元；当用水量在5吨以上时，每吨0.90元.四、交流反思1.一次函数ykxb,当x0时，yb；当y0时，.所以直线ykxb与y轴的交点坐标是(0,b),与x轴的交点坐标是；2.在画实际问题中的一次函数图象时，要考虑自变量的取值范围，画出的图象往往不再是一条直线.五、检测反馈1.求下列直线与x轴和y轴的交点，并在同一直角坐标系中画出它们的图象.(1)y4x-1； (2).2.利用例3的图象，求汽车在高速公路上行驶4小时后，小明离北京的路程.3.已知函数y2x-4.(1)作出它的图象；(2)标出图象与x轴、y轴的交点坐标；(3)由图象观察，当-2x4时，函数值y的变化范围.4.一次函数y3xb的图象与两坐标轴围成的三角形面积是24，求b.5.某水