二次型与二次曲面

1、二次型与二次曲面-二次型矩阵的初等变换法矩阵的初等变换法定理：对每个实对称矩阵4,存在初等矩阵P1 ,P2，,P使得Pt PtPtAPP P = diag（d ,d，,d ）s 2112 s12 n方法：先将二次型的对应矩阵4写出，然后将单位矩阵写在 4的下面，构成一个&）x n阶矩阵，当列进行初等变换后， 对行向量也进行相同的初等变换，则当4变成对角阵时，I 就成了所作的变换矩阵。如=例：用初等变换法将下列二次型x2 + 2x2 + 5x2 + 2xx + 2xx + 8x x1 1 1)1 00 )1 00)1 2 41 130 13A1 4 5(2 )-(1)1 340 34=T-J1

2、0 0（3）-（1）1 -1 -11 -1 -10 1 0010010V 0 1 /1231 21 32 3化为标准形。解：1 00 )1 00)010010(3)- 3(2)0 3 -50 0 -5-1 -1 21 -1 20 1-30 1-310 0 1 J10 0 1 J化为标准形。f 0 2 1)f 2 0 1)f 1 2 1)2 1 11 2 1201皿f A)111(2 顷 1 1 1111解： =TT1 0 00 1 00100101 0 01 0 0:0 0 1)0 0 1)(0 0 1J例：用初等变换法将下列二次型Q)=，2 1 ：，11 1 1Jf1 -1 2 令P =0

3、1 -3,当作坐标变换x = Py后，得到k 0 01 /Q )=咋+ y 2 5 y:即为标准形。_L匕0f0 2 r TOC o 1-5 h z f012、例：用初等变换法将下列二次型Q=冲100 xJJ 化为标准形。012)r112;r212;100100100解：)200(2 )+(1)200200e j1001001000101101101001j01j(001j惯性定理和二次型的规范形设Q (口)为复二次型，它的秩为，其标准形为d y 2 + d y 2 + + d y 21 12 2r r其中 d g C,d，0,i -1,2, r，令1.y -乙,. i - 1,2, ,rVy

4、 - z , i - r +1, , n.I I规范形则 Q (a ) - z2 + z2 + + z2定理：任意一个复系数二次型总可以经过一个适当的可逆线 性替换化为规范形，且规范形是唯一的。定义：称形如z 2 + z 2 + + z 2 - z 2 - - z 212p p+1r的二次型为实二次型的规范形。称P为二次型的正惯性指数， r-p为负惯性指数，正、负惯性指数的差p-(r-p)=2p-r叫符合 差。定理（惯性定理）任意一个实系数的二次型，总可以经过一个 适当的可逆线性替换，化成规范形，且规范形是唯一的，即 正、负惯性指数由二次型唯一确定。Q(a)x = Pz z12 + z； +Q

5、 (a)x = Tu u2 + u2 +12(1)(2 )证明：只证P的唯一性。设Q J ）为实二次型。+，一一 一专+ U 2 U 2 U 2假设p更q，不妨设p V q,由z = Ptx, u = T-1x，.不妨设z = a x + a x +ii1 1i 2 2u = b x + b x +ii1 1i2 2+ a x , i = 1,2, , n + b x , i = 1,2, , n考虑齐次线性方程组a x + a x +11 112 2+ ax- 0a0% 土 ap2七 +. . 气11 x1+ bq+12 2+ a x = 0. . ._ _ . Jipn n1c、x +.+ b x = 0q+1n n n - q个方程5 +. b 2 X + bn nxn= 0,方程组有非零解，设为x = （x（0），x（0），x（0） 0,则 012n，Z0 = PTX0 =(0, ,0, z 1, , z 丰 0u T-ix = Cu ,. , u ,0, . ,0 丰 0分别代入和(2)，有Q(x0 ) 0,矛盾.推论 对任意的实对称