上海交通大学线性代数期末考试题07081线代(B)A卷

1、A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页线性代数考试题及答案一单项选择题(每题3分，共18分)1.设A=(a)的特征值为1,2,3,ij33A是行列式IAI中元素a的代数余子式,ijijA-卷第 #页共6页A卷第1页共6页A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页2111b.11c.d.6。(0012.已知P=010,A=、100a.(aaa111213aaa212223iaaa313233，若PmAPn=A，则以下选项中正确的是(c.d.m=4,n=4。3.n维向量2(3sn)线性无关的充要条件是11则丨AI-i(A,A,A)=2233A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页A-卷第 #页共6页A卷第1页

2、共6页ab.a，a,a12sc.a，a,.a12sd.a，a,.a12s中任意两个向量都线性无关；中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。4.设A，B是正定矩阵,则以下矩阵中一定是正定矩阵为(其中k,k2为任意常数)a.A*+B*；b.A*B*；c.A*B*；d.kA*+kB*。125.已知矩阵A=2，伴随矩阵A*0,且A*x=0有非零解,a.b.a=2或a=4:c.d.存在不全为零的数k,k，k，使ka,ka,ka0:ss12s1122A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页A-卷第 页共6页A卷第1页共6页6.设a，卩是非齐次线性方程组EA)x=b的两

3、个不同的解，则以下选项中一定是A对应特征值九的特征向量为b.a;cd.。填空题（每题3分，共18分）0107.设行列式D2000038.9.A是D中元素a的代数余子式，则A=ijijiji1j1设A是实对称可逆矩阵，则将fXtAX化为fYtA-1Y的线性变换为.设矩阵A14有特征值6,2,2,且A能相似于对角阵，则x=10.已知a0是n维实列向量，矩阵AEkaaT,k为非零常数，则A为正交矩阵的充分必要条件为k111111.设Aaaa，b1123ia21a22a2?31其中a互不相同，i1,2,3，i则线性方程组ATxb的解是12.若实二次型f(x,x,x)x2,2九xx+2x2,4x2为正定

4、二次型,1则九的取值范围为231122o3三计算题（每题8分，共48分）xxxx+y12n1nxxx+yx12n1n13.计算n阶行列式：D-*xx+yxx12n1nx+y1x2xn1xnA-卷第 页共6页A卷第1页共6页14已知线性方程组xx112xx113xax+xb123A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页(1)试问：常数a,b取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解?2)当方程组有无穷多解时，求出其通解。r11ar115设A1a1，P1a11丿一2丿已知线性方程组AxP有解但不唯一。试求:A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页(1)a的值；(2)正交矩

5、阵Q，使得QtAQ为对角矩阵。A-卷第 页共6页A卷第1页共6页100100,0016.设矩阵A的伴随矩阵A*=10100-308丿且ABA-1=BA-1+3E。求矩阵B。A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页17已知线性空间R3的基i，2，3到基卩i,2，卩3的过渡矩阵为P，且1,01,221、a=0，a=1，a=2；P=32-21231丿0丿2丿430丿试求：基卩1,2,3；在基巴巴巴与卩1，卩2,卩3下有相同坐标的全体向量。A-卷第 页共6页A卷第1页共6页18.设A为三阶实对称矩阵，且满足A2，A-2E0已知A对应特征值九=1的特征向量有a0,1,o,

6、a1,o,1。12试求：矩阵A，An。其中n为自然数。A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页A-卷第 页共6页A卷第1页共6页四证明题(每题8分，共16分)19.设A为n阶矩阵，已知秩r(A)r(A2)。试证：(1)线性方程组Ax=0,A2x=0同解；r(A)=r(A3)。20.设,是n维非零实向量，卩=k+k,k,为使得卩0的任意常数。123112212以下结论若正确，请证明；若不正确，请举出反例。若与正交，且与也正交，则与P正交。31323若与线性无关，且与也线性无关，则与P线性无关。31323参考答案(线代)一选择题bdcadb二填空题7.11；8.X=A_1Y；9.x=_2；210.k=

7、11.(100；12.Xg(_2,2)。|2三计算题n(n_)、13.D=(_1)2yn_1(y+乙x)。ii=1A-卷第 页共6页A卷第1页共6页110114.(1)A0110a=2,b=1无穷多解；a丰2唯一解；a=2,b丰1无解(4分)x111,111x=0k-12、x、0,、1,2)keR8分)15.解：(1)方程组AX=P有解但不唯一，所以r(A)=r(A)3，故a=-2。(2分)(2)特征值为九1=3，2=-3，九3=0。,1111263,1,300Q=0-2，QTAQ=0-30,63,000丿111,263丿16.由IA*1=1AIn-1，有IA|3=8，得IA1=2。1000、

8、-16000、B=6(2E-A*)-1=60100,0600,-1010,6060,030一6丿用A*，A左右乘方程的两端，得(2E一A*)B=6E17.(1)设A=(a,a,a),B=(P,卩，卩)，则B=AP，故161235112311P=11，P=8，P=-212321丿(2)设所求向量的坐标为x(4分)8分)(2分)(4分)8分)2分)则Ax=APx，即A(P-E)x=0，4分)121110-11(P-E)=31-2,011,43-1丿、000丿因为A为可逆矩阵，得(P-E)x=0，由A-卷第 页共6页A卷第1页共6页6分)A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页A-卷第 #页共6页A卷第

9、1页共6页8分)2分)-2,特征向量a(1，0,-1)t,4分)A1、0，1丿，1=1_2一1033、0T丿6分)00(，2)n01八10、1，1丿1+(，2)n0J-(，2)n1-(-2)n01+(，2)n8分)故ak(a，a+a)=k(2,1,3)t12318.(A一E)(A+2E)0，特征值i、i、2,A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页A-卷第 #页共6页A卷第1页共6页又r(A)r(A2),四证明题19.证：(1)因为A2xA(Ax)0，所以Ax=0的解都是A2x=0的解,故它们的解空间相同，因此它们同解。(2)A3xA(A2x)0，所以A2x0的解都是A3x0的解。反之，若存在a0，使A3a0，但A2a0。则由A3xA2(Ax)0，知Aa是A2x=0的解；A(Aa)=A2