专题七：函数与导数问题进阶自己总结

1、 函数与导数问题进阶(教师版)常见题型及解法1.常见题型 # #一、小题：函数的图象函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)；分段函数求函数值；函数的定义域、值域(最值)；函数的零点；抽象函数；定积分运算(求面积)二、大题：求曲线y=f(x)在某点处的切线的方程;求函数的解析式讨论函数的单调性，求单调区间；求函数的极值点和极值；求函数的最值或值域；求参数的取值范围7证明不等式；函数应用问题 # 在解题中常用的有关结论(需要熟记)：(1)曲线yf(x)在xx处的切线的斜率等于f(x)，且切线方程为00y八x0)(x-x0)+f(x0)若可导函数yf(x)在xx处取得极值，则f(x)0。反之，

2、不成立。00(3)对于可导函数f(x)，不等式广(x)0(0)的解集决定函数f(x)的递增(减)区间。(4)函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是：VxeI广(x)0(0或广(x)0在I上恒成立若x?I，f(x)0恒成立，则f(x)0；若VxeI，f(x)0恒成立，则f(x)0minmax(8)右xe1，使得f(x)0，则f(x)0；右xe1，使得f(x)0，则f(x)0-00max00min(9)设f(x)与g(x)的定义域的交集为D,若xgDf(x),g(x)恒成立，则有TOC o 1-5 h zf(x)-g(x),0-min(10)右对xg/、xgI，f(x),g(x)恒成立则f(

3、x),g(x)-112212minmax右对xgI,3xgI,使得f(x),g(x)则f(x),g(x)-112212minmin右对xgi,3xg/，使得f(x)g(x)则f(x)g(x)-112212(11)已知f(x)在区间I上的值域为A,g(x)在区间I上值域为B，12若对xgI,3xgI,使得f(x)=g(x)成立，则AUB。112212(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程广(x)=0有两个不等实根x、x,且极大值大12于0,极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:lnx1+x吐口,1)x+12ln(x+1)1一x打)在区间8，8上有四个不同的根X1,X2X3X4，则x+x

4、+x+x=1234f(x8)=f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间-2,0上也是增函数.如图所示，那么方程f(x)=m(m0)在区间&8】上有四个不同的根兀1，x2,x3,x4，不妨设x2x3x4由对称性知現+x2=12x3+x4=4所以12341234，12，34.x+x+x+x=12+4=81234.【点评】本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.【例2】若x是方程lgx+x=3的解，1x是10 x+x=32的解，则x+x的值为()12321A

5、.2错误!未指定书签。B.3C.3D.3解析】作出yi二lgx，y2=3_x，y3二10 x的图象，y2=3_x,y=x交点横坐标为3，而【答案】c【点评】该题考查了指数函数、对数函数的图象及性质.综合了函数的图象、方程的解及曲线的交点等问题.指数函数、对数函数是两类重要的基本初等函数，高考中以它们为载体的函数综合题既考查双基，又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用.【例3】若函数f(x)=ax，x一a(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.【解析】设函数y=ax(a0且a1)和函数y二x+a，则函数f(x)-ax_x_a(a0且aD有两个零点，就是函数y

6、ax(a0且a1)与函数yx+a有两个交点，由图象可知：当0a15时，y，0；当0 x15时，y，0,时,时,因此，当x，15时，y取得最小值，ymin=2000元.【答】为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层.【点评】这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题.利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法.一、(单调性，用到二阶导数的技巧)例一、已知函数/(x),Inx若F(x)，f(初+a(aR)，求F(x)的极大值;x若G(x)，f(X)2-kx在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.f(x)+alnx+ax0得0 xei-a由F(x)ei-

7、a即F(x)在(0,e1-a)上单调递增，在(e1-a,+s)上单调递减1-a+ax=e1-a时，F(x)取得极大值F(e1-a=)=ea-1e-a2lnxG(x)=(lnx)2-kx的定义域为(0,+s),G，(x)=一kx2lnx由G(x)在定义域内单调递减知：G，(x)=k0在(0,+s)内恒成立令H(x)=2lnxk，则H，(x)=2(1lnx)由H，(x)=0得x=exx2.当xe(0,e)时H(x)0,H(x)为增函数当xe(e,+s)时H,(x)0,H(x)为减函数2.当x=e时，H(x)取最大值H(e)=ke22故只需k.ee二、交点与根的分布例二、已知函数f(x)=x3x.求

8、曲线y=f(x)在点M(t,f(t)处的切线方程；设a0，如果过点(ab)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：abf(a).解：(1)f，(x)=3x21.y=f(x)在点M(t,f(t)处的切线方程为yf(t)=广(x-t),即y=(3t21)x213.如果有一条切线过点(a，b)，则存在t，使b=21)a213.若过点(a，b)可作曲线y=f(x)的三条切线，则方程2t33at2+a+b=0有三个相异的实数根.记g(t)=2t33at2+a+b，则g，(t)=6t26at=6t(ta).当t变化时，g(t)，g，(t)变化情况如下表：t(8,0)0(0,a)a(a,+8)g,(t)+00

9、+g(t)Z极大值a+b极小值b一f(a)Z如果过(a，b)可作曲线y=f(x)三条切线，fa+b0,即g=0有三个相异的实数根，则bf(a)0即-abf(a).例三、已知aeR，函数f(x)=+lnx1,g(x)=(lnx1)ex+x?(其中eq2.718)x(I)求函数f(x)在区间(0,e上的最小值；（II）是否存在实数x0，o,e,使曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在,请说明理由。解1（1）fix）=y+Im-Ie二一/1（乂）=E+右-七严督k0*得攵=a.*2分若则FG在区间2町上单调递增此时函数无最小值+若0a务当工亡3）时f仏）Q*函

10、数/（町在区间佃严上葷调递増，所以当X时，函氨$g取得显小直加乩若。生gWirS）奁區厨（Q涎上单调递皱*所以当k口匚时函啟感幻取得最小恒十.烁上可知当W0时，函如g在区间（0严上无址小值；0I时.需数嵐工）碇区间（0，d上的城小（ft为In叭当壬e时,函致川幻在区何（匕刃上的最小值为半6分(D)VjfCi)=li-D*+工声E0g井当&壬（0町*严0,+Inx.-!0.g=（+liu,-l）e*+II0.imy工g）屜点二乱处的切蝮与y轴垂直第价乎方程gfW=0有实散解而心）、山即方无实数蛇奶牡砌cg】使曲线如在点x-吟赴的切线与y轴垂證,三、不等式证明作差证明不等式（2010湖南，最值、作

11、差构造函数）已知函数f（x）=ln（x+1）x.（1）求函数f（x）的单调递减区间；若x1，求证：1一1Wln(x+1)Wx.11=xx1x1x+1解:函数f（X）的定义域为（一1,+B）,f（x）=一0由f(x)0得：0,.*.f(x)的单调递减区间为(0,+8).x1证明：由(1)得xW(1,0)时，f(x)0,当xe(0,+8)时，f(x)1时,f(x)Wf(0),.ln(x+1)xW0,ln(x+1)Wx1令g(x)=m(xD+x1-】，则g(x)=1(x+1)2x(x+1)2：.1x0时，g(x),0,且g(0)=01.x1时，g(x)三g(0),即ln(x+1)+1三0 x+111

12、/.ln(x+1)三1,x一1时，1Wln(x+1)Wx.x+1x+1(2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易)已知定义在正实数集上的函数f(x)=2x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a,0.设两曲线y=f(x)，y=g(x)厶有公共点，且在该点处的切线相同.用a表示b，并求b的最大值；求证：当x,0时，f(x)三g(x).解：(i)设y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0，y0)处的切线相同.f(x)=x2a，g(x)=节，由题意f(x0)=g(x0)，广(x0)=g(x0)-x2+2ax=3a2lnx+b,TOC o 1-5 h z000a由得：x=a，或x

13、=3a(舍去).3a200 x+2a=，0 x0即有b=1a2+2a23a2lna=5a23a2lna.22令h(t)=123t2lnt(t,0)，则h(t)=2t(13lnt).于是2当t(13lnt)0，即0to；当t(13lnt)0，即t,e；时，h(t)0.故h(t)在e3)为增函数，在(e3+)为减函数,132于是h(t)在(o，+-)的最大值为h(e3)=2e3-设F(x)=f(x)g(x)=2x22ax3a2lnxb(x0)则F(x)=x+2a-3a2=(xa)(x3a)(x,0).xx故F(x)在(0a)为减函数，在(a，+oo)为增函数，于是函数F(x)在(0,+o)上的最小

14、值是F(a)=F(x0)=f(x0)g(x)=0.故当x,0时，有f(x)g(x)上0，即当x,0时，f(x)上g(x).变形构造证明不等式已知函数f(x)=-agR,x求f(x)的极值若Inxkx0在R+上恒成立，求k的取值范围已知x0，x0且x+xe，求证x+xxx12121212解：(1)Tf(x)，-,令f(x)，0得x，eax2xG(0,ea),f(x)0,f(x)为增函数，xg(ea,),f(x)0,f(x)为减函数 #x # #x #:,f(x)有极大值f(ea),e-a4分 x #lnx(2)欲使lnxkx0v在R+上恒成立，只需k在R+上恒成立x(x0),1lnxg(x)，x

15、2xG(0,e),g(x)0,g(x)为增函数，xg(e,+如,g(x)0,g(x)为减函数TOC o 1-5 h z111x,e时，g(e)，是最大值只需一k,即k一8分eeeVex+xx0由(2)可知g(x)在(0,e)上单调增，121ln(x+x)lnxxln(x+x)、xln(x+x)、121，那T12lnx，同理T12lnxx+xxx+x1x+x21211212,z、ln(x+x)、/、相加得(x+x)i2ln(xx),/.ln(x+x)ln(xx),12x+x12121212得:x+xxx.1212(2010辽宁文21,构造变形,二次)已知函数f(x)，(a+1)lnx+ax2+1

16、.讨论函数f(x)的单调性;设aW-2，证明：对任意t，x2G+-)，1W一/讣41珥一x2|.,a+12ax2+a+1解：(1)f(x)的定义域为(0,+g),f(x)，+2ax，.xx当aWO时，f(x)0,故f(x)在(0,+g)单调增加;当aW1时，f(x)0；2a2axw(:,+g)时,f(x)V0,2a故f(x)在(0,上1)单调增加，在(押上1,+g)单调减少.2a2a不妨假设xx由于aW2,故f(x)在(0,+g)单调减少.12所以f(x)_f(x)三4x_x等价于三4x4x,121212即f(x)+4xf(x)+4x.2211a+12ax2+4x+a+1令g(x)=f(x)+

17、4x，则g(x)+2ax+4=.xx设h(x)2ax2+4x+a+1,1aW1,对称轴为x,a8a(a+1)16结合图象知h(x)W8a(a+2)(a，1)aW0,于是g(x)W，(2x，1)2xW0.从而g(x)在(0,+g)单调减少，故g(x)Wg(x),12即f(x)+4xWf(x)+4x,故对任意x,xw(0,+g),f(x)一f(x)三4x一x1122121212四、不等式恒成立求字母范围恒成立之最值的直接应用已知函数f(x)(x一k)2ek。求f(x)的单调区间；若对于任意的x(0,+g)，都有f(x)W1，求k的取值范围.e1x解：f(x)(x2，k2)ek,令f(x)0,x=k

18、,k当k0时，f(x)与f(x)的情况如下:x(，g,，k)-k(-k,k)k(k,+g)f(x)+0一0+f(x)4k2e-10所以，f(x)的单调递增区间是(叫一k和(k,+8):单调递减区间是(k,k),当k0时，f(x)与f(x)的情况如下:x(8,k)k(k，-k)k(k,+8)f(x)0+0f(x)04k2e-1TOC o 1-5 h z所以，/(x)的单调递减区间是(-8,k)和(-k,+8):单调递减区间是(k,-k)。X111当k0时，因为f(k+1)=ek，所以不会有Vxe(0,+8),f(x).ee4k2当k0时，由(I)知f(x)在(0,+8)上的最大值是f(k)=,e

19、14k211所以Vxe(0,+8),f(x)等价于f(k)=，解一小k0.eee2综上：故当Vxe(0,+8),f(x)1时，k的取值范围是1，0.e2(2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧)已知函数f(x)=x+a+b(x丰0),其中a,beR.x(1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式;讨论函数fC)的单调性; # # # #若对于任意的ae,2，不等式fC)10在1,1上恒成立，求b的取值范围. # # #解:广E=1；，由导数的几何意义得f(2)=3，于是a一8由切点P(2,f(2)在直线y=3x,1

20、上可得2+b二7，解得b二9.8所以函数f(x)的解析式为f(x)=x-+9.xf(x)=1ax2当a,_、：a)_、：a(、；a,0)(0,、：a)、.：af(x)在(_x,_,：a),(W,+x)内是增函数，在(_a,0),(0,+x*)内是减函数.(ya,+s)一f()10恒成立，当且仅当14b39_4a即14f(1)10对任意的a；,2成立从而得b7，所以满足条件的b的由知，f(x)在；，1上的最大值为f(；)与f的较大者，对于任意的a2,2，不等式f(x)10在；，1上取值范围是(一.恒成立之分离常数(2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数)已知函数f(x)=ex_2_ax_1

21、,(其中aR,e为自然对数的底数).当a二0时,求曲线y=f(x)在(0,f(0)处的切线方程；当x三1时,若关于x的不等式f(x)三0恒成立，求实数a的取值范围.(改X20时，f(x)三0恒成立.aW1)解：(1)当a二0时，f(x)=ex_1,f(x)=ex_x,f(0)=0，f(0)=1,切线方程为y=x.(2)方法一x_2_ix1,0,2.申(x)在1,+2)上为增函数，0, #(x，1)ex，X+1g(x)=205g(x)=x2x,x2ex2在1，+)上为增函数,x33g(x)三g(1)=e_2,aWe_2-x2方法二f(x)=ex，ax1,f(x)=ex，x，a,设h(x)=ex，

22、x，a,h(x)=ex，1,x20,h(x)=ex一1三0,.h(x)=ex一x一a在1，+)上为增函数,.h(x)三h(1)=e，1，a.x22又0f(x)=exx2ax120恒成立,f(1)=e，a，：20,awe，：,222.h(x)2h(1)=e1a0,f(x)=exxa0,x23f(x)=ex一一ax一1在1，+)上为增函数，此时f(x)2f=e一a一220恒成立,22x22(改x20时，f(x)20恒成立.aWl)x2ex一解：先证明g(x)在(0,十)上是增函数，再由洛比达法则liT，1=limexx=1,g(x)xT0 xxT01(正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上f(x

23、)=ex-1x2，x-1，分两种情况讨论可得aW1)aW1.、1+Inx已知函数f(x)二x(I)若函数在区间(a，a+2)其中a0,上存在极值，求实数a的取值范围;k(II)如果当x1时，不等式f(x)恒成立，求实数k的取值范围;x+1”/、1+Inx小/、Inx解:(I)因为f(x)=，x0,则f(x)=-，xx2当0 x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0)上存在极值,a,1,1所以11解得c1,2I2 # #(x1)(1lnx)xk(II)不等式/(x)工x1,即为(X1)(1lnX)，k,x # # # #所以g1，h(x)0,h(x)在Q,+8)上单调递增,h(x)=h(1)=当

24、1x0得1x,1；令f(x),0，得1,x0，从而g(x)0，min故g(x)在+8)上也单调递增，所以g(x)L=gT函数f(x)在x=1处与直线y二一2相切.二2，所以kj2设函数f(x)=alnx-bx2.(1)若函数f(x)在x二1处与直线y=-2相切：求实数a,b的值；求函数f(x)在1,e上的最大值；e3当b二0时，若不等式f(x)三m+x对所有的ae0,J,xe1,e2都成立，求实数m的取值范围.解:(1)f(x)二a-2bx。f(1)=a-2b=0f(1)=-b一2，解得x # # #f(x)=lnx一2x2,f(x)=11-x2一x=xx # # # #1.f(x)在,1上单

25、调递增，在1,e上e # # # #单调递减，.f(x)maxf(1)(2)当b=0时,f(x)=alnx若不等式f(x)m+x对所有的ae0,23都成立，则alnxm+x对所 # # # #c3”0,xeV1,e2”2-有的ae都成立， #3,1即maInxx,对所有的a0,x1,e2都成立,2令h(a)aInxx,则h(a)为一次函数,m0,/.h(a)a0,3上单调递增,.h(a)2minh(0)x，mx对所有的xU,e2都成立.Q1xe2,:.e2x1,.m(x)e2.min(注：也可令h(x)aInxx,则mh(x)所有的x(1,e2都成立，分类讨论得mh(x)min3a0,J都成立

26、，：m(2a-e2)-e2，请根据过程酌情给分)2min2ae2对所有的恒成立之讨论字母范围7.(2007全国I,利用均值，不常见)设函数f(x)ex一e-x.证明：f(x)的导数f(x)三2；若对所有x三0都有f(x)三ax，求a的取值范围.解：(1)f(x)的导数f(x)ex+e-x.由于ex+e-x三2事exge-x2，故f(x)三2.(当且仅当x0时，等号成立).(2)令g(x)f(x)ax，贝yg(x)f0时，g2a三0，故g(x)在(0,+*)上为增函数，所以，x三0时，g(x)三g(0)，即f(x)三ax.若a2，方程g(x)0的正根为xlna“a2一4，i2此时，若x(0，xi

27、)，则g(x)0，故g(x)在该区间为减函数.所以，x(0,xi)时，g(x)g(0)0，即f(x)0时f(x)1，求实数k的取值范围. #解：(1)k0时，f(x)ex-x,f(x)ex-1.当x,(-g,0)时，f(x)0；当x,(0,+x)时，f(x)0.所以f(x)在(-g，0)上单调减小，在(0,+8)上单调增加故f(x)的最小值为f(0)|f(1)1,由于直线x+2y一30的斜率为-牙，且过点(1,1)，故V1即(2)f(x)ex-kx-1，f(x)ex-k当k0(x0)，所以f(x)在【0,+80(x0)，所以f(x)在【0,+8)上递增，而f(0)1，于是当x0时，f(x)1.

28、当k1时，由f(x)0得xInk当x,(0,lnk)时，f(x)0，所以f(x)在(0,lnk)上递减，而f(0)0，于是当x,(0,lnk)时，f(x)0，所以f(x)在(0,lnk)上递减,而f(0)1，所以当x,(0,lnk)时，f(x)1.综上得k的取值范围为(-8,1.近三年新课标导数高考试题20111、(2)下列函数中，既是偶函数又在(,8)单调递增的函数是B(A)yx3(b)y|+1(c)y=一xf(1)一一，+1(d)y=2x2、(9)由曲线y二伍，直线yx-2及y轴所围成的图形的面积为cTOC o 1-5 h z1016(A)(B)4(C)(D)6334、(21)(本小题满分

29、12分)已知函数f(x)里罕+b，曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0。x+1xlnxk(I)求a、b的值；(II)如果当x0，且x丰1时，f(x)+，求k的取值范围。x-1xa(-Inx)x2(21)解：(I)八x)(；+1)2解得a1，b1。(II)由(I)知f(x)兰+丄，所以f(x)-(兰+k)丄(2lnx+(k1)(x2D)。x+1xx1x1x2x2考虑函数h(x)2lnx+(k1)(x2一D(x0)，则h(x)(k1)(x2+2x # # #(i)设k0，由h(x)k(x2+D(x1)2知，当x丰1时,x2h(x)0。而h(1)0，故当x0，可得一1h(x

30、)0；1x21当x(1，+8)时，h(x)01x2lnxk从而当x0,且x丰1时，f(x)-(+)0，即f(x)x1x1lnxk71+匚.(ii)设0k1.由于当x0,故h(x)0,1k11而h(1)=0，故当x0，可得h(x)1.此时h(x)0,而h(1)=0，故当x0，可得h1x2(x)2x2+ax+b求(a+1)b的最大值。【解析】(1)f(x)f(1)ex-1f(0)x+2x2nf(x)f(1)ex-1f(0)+x令X1得：f(0)1f(x)广(1)ex-1x+*x2nf(0)=广(1)e-1=1。广(1)=e得:f(x)exx+2x2ng(x)八x)ex1+xg(x)ex+10nyg

31、(x)在X0，f(0)ox0,f(x)0，f(0)ox0得：f(x)的解析式为f(x)，ex-x+2x2且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(-8,0)(2)f(x)Jx2+ax+boh(x)，ex-(a+1)x-b0得h(x)，ex一(a+1)2当a+10ny，h(x)在x0矛盾当a+10时，h(x)0oxln(a+1),h(x)0oxln(a+1)得：当x，ln(a+1)时，h(x)，(a+1)-(a+1)ln(a+1)一b0min(a+1)b0)令F(x)，x2一x2Inx(x0)；则F(x)，x(1-2lnx)F(x)0o0 xe,F(x)0oxe当x，e时，F(x)=max2e当a，e-1,b，e时，(a+1)b的最大值为2【2013年】7、16、若函数f(x)=(lX2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=2对称，