新人教版初中数学九年级上册全册知识梳理及练习（提高版）（家教补习复习专用）

1、新人教版九年级上册数学全册知识点及巩固练习题一元二次方程及其解法（一）直接开平方法知识讲解（提高） 【学习目标】1理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念 1一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条

2、件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一

3、个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、一元二次方程的解法1直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程： 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据： 平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类： 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解. 若，则；表示为，有两个不等实数根； 若，则x=O；表示为，

4、有两个相等的实数根； 若，则方程无实数根 形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是 .要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.【典型例题】 类型一、关于一元二次方程的判定 1判定下列方程是否关于x的一元二次方程： (1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1【答案与解析】(1)经整理，得它的一般形式 (a2+2)x2+(a-3)x-a(a+1)=0， 其中，由于对任何实数a都有a20，于是都有a2+20，由此

5、可知a2+20，所以可以判定： 对任何实数a，它都是一个一元二次方程(2)经整理，得它的一般形式 (m2-1)x2+(2-2m)x+(m3+1)=0， 其中，当m1且m-1时，有m2-10，它是一个一元二次方程；当m=1时方程不存在， 当m=-1时，方程化为4x=0，它们都不是一元二次方程【总结升华】对于含有参数的一元二次方程，要十分注意二次项系数的取值范围，在作为一元二次方程进行 研究讨论时，必须确定对参数的限制条件如在第(2)题，对参数的限定条件是m1例如，一个关于x的方程，若整理为(m-4)x2+mx-3=0的形式，仅当m-40，即m4时，才是一元二次方程(显然，当m=4时，它只是一个一

6、元一次方程4x-3=0)又如，当我们说：“关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a2-1=0”时，实际上就给出了条件“a-10”，也就是存在一个条件“a1”由于这个条件没有直接注明，而是隐含在其他的条件之中，所以称它为“隐含条件”类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2. 已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围【答案与解析】将原方程整理为一般形式，得(m2-8)y2-(3m-1)y+m3-1=0，由于已知条件已指出它是一个一元二次方程，所以存在一个隐含条件m2-80，即 m可知它的各项系数分别是a=m

7、2-8(m)，b=-(3m-1)，c=m3-1参数m的取值范围是不等于的一切实数【总结升华】在含参数的方程中，要认定哪个字母表示未知数，哪个字母是参数，才能正确处理有关的问题举一反三：【高清ID号：388447关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的系数与解练习1(3)】【变式】关于x的方程2x2-a+1x=xx-1-1的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.类型三、一元二次方程的解（根）3. （2016大庆）若x0是方程ax2+2x+c=0（a0）的一个根，设M=1ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（）AMN BM=N

8、 CMND不确定【思路点拨】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=c，作差法比较可得【答案】B；【解析】解：x0是方程ax2+2x+c=0（a0）的一个根，ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=c，则NM=（ax0+1）2（1ac）=a2x02+2ax0+11+ac=a（ax02+2x0）+ac=ac+ac=0，M=N，故选：B【总结升华】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键举一反三：【高清ID号：388447关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的系数与解练习2】【变

9、式】（1）x=1是x2-ax+7=0的根，则a= .（2）已知关于x的一元二次方程 有一个根是0，求m的值.【答案】（1）当x=1时，1-a+7=0,解得a=8. （2）由题意得类型四、用直接开平方法解一元二次方程 4.解方程(x-3)2=49【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得 x-3=7或x-3=-7 由x-3=7，得 x=10 由x-3=-7，得 x=-4 所以原方程的根为x=10或x=-4【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n0)的方程就可看作形如x2=k的方 程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个

10、形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根所以，(x+m)2=n可成为任何一元二次方程变形的目标举一反三：【变式】解方程： (1) （2014秋宝安区期末）（3x+2）2=4（x1）2； (2) （2014锡山区期中） （x-2）2=25.【答案】解：(1) 3x+2=2（x1），3x+2=2x2或3x+2=2x+2，x1=4；x2=0 (2) (x-2)=5 x-2=5或x-2=-5 x1=7,x2=-3. 一元二次方程及其解法（一）直接开平方法巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2015泰安模拟）方程x2+ax+1=0和x2xa=0有一个公共根，则a的值是（） A0 B1 C2 D

11、 32若是一元二次方程，则不等式的解集应是( ). A Ba-2 Ca-2 Da-2且a03（2016重庆校级三模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=2，则代数式6a3b+6的值为（）A9 B3 C0 D34已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是( )Aab B Ca+b Da-b5若，则的值为（ ）A1 B-5 C1或-5 D06对于形如的方程，它的解的正确表达式是（ ）.A用直接开平方法解得 B当时，C当时， D当时， 二、填空题7如果关于x的一元二次方程x2+px+q0的两根分别为x12，x21，那么p，q的值分别是 .8（2014秋东胜区校级期中）若关于

12、x的一元二次方程（m2）x2+3x+m24=0的常数项为0，则m的值等于 .9已知x1是一元二次方程的一个根，则的值为_10(1)当k_时，关于x的方程是一元二次方程； (2)当k_时，上述方程是一元一次方程11已知a是方程的根，则的值为 12已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 三、解答题13. （2016乌鲁木齐校级月考）一元二次方程a（x1）2+b（x1）+c=0化为一般形式后为2x23x1=0，试求a，b，c的值 14用直接开平方法解下列方程 (1)(2014沧浪区校级期中)（x+1）2=4； (2) (2015岳池县模拟)(2x-3)2=x215已知ABC中，ABc，BCa，A

13、C6，为实数，且，(1)求x的值；(2)若ABC的周长为10，求ABC的面积【答案与解析】一、选择题1【答案】C；【解析】方程x2+ax+1=0和x2xa=0有一个公共根，（a+1）x+a+1=0，解得x=1，当x=1时，a=2，故选C2【答案】D；【解析】解不等式得a-2，又由于a为一元二次方程的二次项系数，所以a0即a-2且a03.【答案】D【解析】关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=2，a（2）2+b（2）+6=0，化简，得2ab+3=0，2ab=3，6a3b=9，6a3b+6=9+6=3，故答案为：D4. 【答案】D；【解析】由方程根的定义知，把代入方程得，即，而，

14、.5【答案】B；【解析】本题主要考查的是利用一元二次方程的解来探索使分式有意义的值由，得，由分式有意义，可得3，所以当时，故选B6【答案】C；【解析】因为当n是负数时，在实数范围内开平方运算没有意义，当n是非负数时，直接开平方得，解得，故选C二、填空题7【答案】p=-3,q=2；【解析】 x2是方程x2+px+q0的根， 22+2p+q0，即2p+q-4 同理，12+p+q0，即p+q-1 联立，得 解之得：8【答案】m=-2； 【解析】由题意得：m24=0，解得：m=2，m20，m2，m=29【答案】1；【解析】将x1代入方程得m+n-1，两边平方得m2+2mn+n21. 10【答案】(1)

15、1 ； (2)-1.【解析】(1)k2-10， k1 (2)由k2-10，且k-10，可得k-111【答案】20；【解析】由题意可知，从而得，于是 12.【答案】2011.【解析】因为是方程的根，所以，所以，所以三、解答题13.【答案与解析】解：一元二次方程a（x1）2+b（x1）+c=0化为一般形式后为ax2（2ab）x（bac）=0，一元二次方程a（x1）2+b（x1）+c=0化为一般形式后为2x23x1=0，得，解得14.【答案与解析】 解：(1)两边直接开平方得：x+1=2，得x+1=2,x+1=-2,解得：x1=1,x2=-3 (2) 两边直接开平方得，得2x-3=x，x1=3,x2

16、=115.【答案与解析】 解：（1）代入中得， ， ，（2）由（1）知， ，一元二次方程的解法（二）配方法知识讲解（提高） 【学习目标】1了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法-配方法1配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：把原方程化为

17、的形式；将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式知识点二、配方法的应用1用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2用于求待定字母的值：配方法

18、在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值3用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值4用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好 【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1. （2016春石景山区期末）用配方法解方程：2x212x2=0【思路点拨】首先将二次项系

19、数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解【答案与解析】解：2x212x2=0，系数化为1得：x26x1=0，移项得：x26x=1，配方得：x26x+9=10，即（x3）2=10，开方得：x3=，则x1=3+，x2=3【总结升华】此题考查了解一元二次方程配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解举一反三：【高清ID号：388499关联的位置名称（播放点名称）：用配方

20、法解一般的一元二次方程例2、用配方法解含字母系数的一元二次方程例3】【变式】 用配方法解方程 （1）2x2+3=5x （2）【答案】（1） .（2）当时，此方程有实数解，；当时，此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明的值小于0【思路点拨】 本题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致【答案与解析】 ， ，即故的值恒小于0【总结升华】证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方式和一个常数的式子来证明 举一反三：【变式】试用配方法证明：代数式的值不小于【答案】 ， 即代数式的值不小于3. （2015春宜兴

21、市校级月考）若把代数式x2+2bx+4化为（xm）2+k的形式，其中m，k为常数，则km的最大值是【答案】；【解析】解：x2+2bx+4=x2+2bx+b2b2+4=（x+b）2b2+4；m=b，k=b2+4，则km=（b）2+（b）20，当b=时，km的最大值是故答案为：【总结升华】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形举一反三：【高清ID号：388499关联的位置名称（播放点名称）：配方法与代数式的最值提高练习】【变式】（1）2x2+6x-3的最小值是 ；（2）-x2+4x+5的最大值是 . 【答案】（1）； 所以2x2+6x-3的最小值是（2） 所以-x2+4x+5的最大值是

22、9.4. 分解因式：【答案与解析】【总结升华】这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式一元二次方程的解法（二）配方法巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2016新疆）一元二次方程x26x5=0配方组可变形为（）A（x3）2=14 B（x3）2=4 C（x+3）2=14 D（x+3）2=42用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A化为 B化为C化为 D化为3（2015河北模拟）把一元二次方程x26x+4=0化成（x+n）2=m的形式时，m+n的值为（）A8 B6 C3 D24不论x、y为何实数，代数式的值 ( ) A总小于2 B总不小于7

23、C为任何实数 D不能为负数5已知，则的值等于（ ） A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或26若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式 的关系是() A.=M B. M C. M D. 大小关系不能确定 二、填空题7（1）x2-x+ =（ ）2； （2）x2+px+ =（ ）2.8（2015忻州校级模拟）把代数式x24x5化为（xm）2+k的形式，其中m，k为常数，则4m+k=9已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_10将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_ _，所以方程的根为_11把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2

24、=n的形式是_ _；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_.12已知.则的值为 .三、解答题13. 用配方法解方程.（1）（2016安徽）解方程：x22x=4 （2）（2015大连）解方程：x26x4=0 14分解因式15（2015春龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y24y+1取得最小值，并求出最小值【答案与解析】一、选择题1.【答案】A【解析】x26x5=0，x26x=5，x26x+9=5+9，（x3）2=14，故选：A2【答案】C； 【解析】选项C：配方后应为3【答案】D；【解析】 x26x=4， x26x+9=4+9，即得（x3）2=5， n=3，

25、m=5， m+n=53=2故选D4【答案】D；【解析】5【答案】A；【解析】原方程化简为：（x2+y2）2-2(x2+y2)-8=0,解得x2+y2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A.6【答案】A . 【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2= b2-4ac=.故选A.二、填空题7【答案】（1）； （2）；. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8【答案】1； 【解析】x24x5=x24x+445=（x2）29， m=2，k=9， 4m+k=429=1故答案为19【答案】4； 【解析】4x2-ax+1=(2x-b)2化为4x

26、2-ax+1=4x2-4bx+b2, 所以 解得或 所以.10【答案】（x-1）2=5； 【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=.11【答案】；2或6.【解析】3x2-2x-3=0化成； 即，a=2或6.12.【答案】5；【解析】原式三、解答题13.【答案与解析】解：（1）配方x22x+1=4+1（x1）2=5x=1x1=1+，x2=1（2015大连）解方程：x26x4=0（2）解：移项得x26x=4，配方得x26x+9=4+9，即（x3）2=13，开方得x3=，x1=3+，x2=314. 【答案与解析】 15. 【答案与解析】 解：x2+4x+4y24y+1=x2+4x+

27、4+4y24y+14=（x+2）2+（2y1）24，又（x+2）2+（2y1）2的最小值是0，x2+4x+4y24y+1的最小值为4当x=2，y=时有最小值为4一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法知识讲解（提高） 【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判

28、别式： 当时，原方程有两个不等的实数根； 当时，原方程有两个相等的实数根； 当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： 把一元二次方程化为一般形式； 确定a、b、c的值（要注意符号）； 求出的值； 若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为： 当时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根： 当时，右端是零因此，方程有两个相等的实根： 当时，右端是负数因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一

29、元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方程两边不能同时除以含有未知数的

30、代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1解关于x的方程【答案与解析】(1)当m+n0且m0，n0时，原方程可化为 m0，解得x1(2)当m+n0时， ， ， ， ，【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论举一反三：【高清ID号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程-例2练习】【变式】解关于的方程；【答案】原方程可化为 2 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)4m； 【答案与解析】方程整理为， ， a1，b-2，c-13， ， ， ，【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解

31、.举一反三：【高清ID号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程-例5（3）】【变式】用公式法解下列方程： 【答案】 类型二、因式分解法解一元二次方程3（2016荆门）已知3是关于x的方程x2（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长为（）A7B10C11D10或11【思路点拨】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过因式分解法解方程求得该方程的两根，即等腰ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可【答案】D【解析】解：把x=3代入方程得93（m+1）+2m=0，解得

32、m=6，则原方程为x27x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰ABC的两条边长，当ABC的腰为4，底边为3时，则ABC的周长为4+4+3=11；当ABC的腰为3，底边为4时，则ABC的周长为3+3+4=10综上所述，该ABC的周长为10或11故选：D【总结升华】本题考查了一元二次方程的解，考查了解方程，也考查了三角形三边的关系举一反三：【变式】解方程（2015茂名校级一模）（1）x2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0 x-3=0，x+1=0 x1=3,x2=-1.（2）分解因式得：（x-1

33、）（x-1+2x）=0 x-1=0，3x-1=0 x1=1,x2=.4如果，请你求出的值【答案与解析】设， z(z-2)3 整理得：， (z-3)(z+1)0 z13，z2-1 ， z-1(不合题意，舍去) z3 即的值为3【总结升华】如果把视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程此题看似求x、y的值，然后计算，但实际上如果把看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设再求z值，从而求出的值实际就是换元思想的运用 易错提示:忽视，而得或一元二次方程的解法（三）-公式法，因式分解法巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2016天津）方

34、程x2+x12=0的两个根为（）Ax1=2，x2=6Bx1=6，x2=2Cx1=3，x2=4Dx1=4，x2=32整式x+1与整式x-4的积为x2-3x-4，则一元二次方程x2-3x-40的根是( ) Ax1-1，x2-4 Bx1-1，x24 Cx11，x24 Dx11，x2-43如果x2+x-10，那么代数式的值为( ) A6 B8 C-6 D-84若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+20的常数项为0，则m的值等于( ) A1 B2 C1或2 D05若代数式的值为零，则x的取值是( ) Ax2或x1 Bx2且x1 Cx2 Dx-16（2015广安）一个等腰三角形的两条边长

35、分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形周长是( ) A12 B9 C13 D12或9二、填空题7已知实数x满足4x2-4x+10，则代数式的值为_8已知yx2+x-6，当x_时，y的值是249若方程可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m_，n_10若规定两数a、b通过“”运算，得到4ab，即ab4ab，例如2642648 (1)则35的值为 ； (2)则xx+2x-240中x的值为 ； (3)若无论x是什么数，总有axx，则a的值为 11（2014秋王益区校级期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是

36、：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1，x=1；当y=4时，x2=4，x=2；原方程有四个根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2（1）在由原方程得到方程的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想（2）方程（x2+x）24（x2+x）12=0的解为 12（2016柘城县校级一模）三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x216x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是 三、解答题13. 用公式法解下列方程： （2） 14(2015春北京校级期中)用适当方法解下列方程： （1）（2x-3）2=25 (2)

37、x2-4x+2=0 (3)x2-5x-6=015(1)利用求根公式计算，结合你能得出什么猜想? 方程x2+2x+10的根为x1_，x2_，x1+x2_，x1x2_ 方程x2-3x-10的根为x1_，x2_，x1+x2_，x1x2_ 方程3x2+4x-70的根为x1_，x2_，x1+x2_，x1x2_ (2)利用求根公式计算：一元二次方程ax2+bx+c0(a0，且b2-4ac0)的两根为x1_，x2_，x1+x2_，x1x2_ (3)利用上面的结论解决下面的问题： 设x1、x2是方程2x2+3x-10的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值： ； 【答案与解析】一、选择题1.【答案】D【解析】

38、x2+x12=（x+4）（x3）=0，则x+4=0，或x3=0，解得：x1=4，x2=3故选D2【答案】B；【解析】 ， 的根是，3【答案】C 【解析】 ， 4.【答案】B； 【解析】由常数项为0可得m2-3m+20， (m-1)(m-2)0，即m-10或m-20， m1或m2，而一元二次方程的二次项系数m-10， m1，即m25【答案】C；【解析】且， 6【答案】A ； 【解析】x2-7x+10=0，x1=2，x2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12二、填空题7【答案】2； 【解析】用因式分解法解方程得原方程有两个等根，即，所以8【答案】5或-6； 【解析】此题把的值代入得

39、到关于的一元二次方程，解之即可如：根据题意，得，整理得，解得，9【答案】 1 ； -12 ； 【解析】， m1，n-1210【答案】(1)60；(2) ，；(3) 【解析】(1)3543560；(2) +24， ，；(3) ， 只有，等式才能对任何值都成立 11【答案】(1) 换元； 降次； (2) x1=3，x2=2【解析】解：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y24y12=0，解得y1=6，y2=2由x2+x=6，得x1=3，x2=2由x2+x=2，得方程x2+x+2=0，b24ac=142=70，此时方程无实根所以原方程的解为x1=3，x2=212.【答案】24或8【解析

40、】解：x216x+60=0，（x6）（x10）=0，解得：x1=6，x2=10，当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图：AB=AC=6，BC=8，AD是高，BD=4，AD=2，SABC=BCAD=82=8；当x=10时，如图，AC=6，BC=8，AB=10，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形，C=90，SABC=BCAC=86=24该三角形的面积是：24或8故答案为：24或8三、解答题13.【答案与解析】 （1） （2），即，令Aab，B，Cab ， ， ，14.【答案与解析】解：（1）直接开平方得：2x-3=5， 2x-3= 5或2x-3=-5 x1= 4，x2= -1（2）a=1,

41、b=-4,c=2, =b2-4ac=16-8=8. （3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0 x-6= 0或 x+1=0 x1= 6，x2= -1.15.【答案与解析】 (1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数 -1 ； -1 ； -2 ； 1. ； ； 3 ；-1. ； 1 ； ； .(2) ； ； ；. (3)，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解（提高） 【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理

42、】要点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当0时，一元二次方程没有实数根.【高清ID号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：根系关系】2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a0， 0.要点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立利用其可以解决以下问题：

43、(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题 2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程要点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用

44、未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.要点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1已知（m1）x|m|+1+3x20是关于x的一元二次方程，求m的值.【答案与解析】依题意得|m|+12，即|m|1，解得m1，又m10，m1，故m1.【总结升华】依题意可知

45、m10与|m|+12必须同时成立，因此求出满足上述两个条件的m的值即可.特别是二次项系数应为非零数这一隐含条件要注意.举一反三：【变式】若方程是关于的一元二次方程，求m的值【答案】 根据题意得 解得所以当方程是关于的一元二次方程时，类型二、一元二次方程的解法2解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)【答案与解析】 (1)原方程可化为：， 即(2x-6)2-(5x-10)20， (2x-6+5x-10)(2x-6-5x+10)0， 即(7x-16)(-3x+4)0， 7x-160或-3x+40， ， (2)， ， (x-3)5(x-3)-(x+3)0， 即(x-3)(4x-18)0， x-

46、30或4x-180， ，(3)， 即， 【总结升华】 (1)方程左边可变形为，因此可用平方差公式分解因式；(2)中方程右边分解后为(x-3)(x+3)，与左边中的(x-3)2有公共的因式，可移项后提取公因式(x-3)后解题；(3)的左边具有完全平方公式的特点，可用公式变为(2x+1+2)20再求解举一反三：【变式】解方程： (1)3x+15-2x2-10 x； (2)x2-3x(2-x)(x-3)【答案】(1)移项，得3x+15+(2x2+10 x)0， 3(x+5)+2x(x+5)0， 即(x+5)(3+2x)0， x+50或3+2x0， ， (2)原方程可化为x(x-3)(2-x)(x-3

47、)，移项，x(x-3)-(2-x)(x-3)0， (x-3)(2x-2)0， x-30或2x-20， ，类型三、一元二次方程根的判别式的应用3关于x的方程有实数根则a满足（ ）Aa1 Ba1且a5 Ca1且a5 Da5【答案】A；【解析】当，即时，有，有实数根；当时，由0得，解得且综上所述，使关于x的方程有实数根的a的取值范围是答案：A【总结升华】注意“关于x的方程”与“关于x的一元二次方程”的区别，前者既可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程，所以必须分类讨论，而后者隐含着二次项系数不能为0【高清ID号：388528 关联的位置名称（播放点名称）：一元二次方程的根的判别式】4 为何值时，关

48、于x的二次方程（1）满足 时,方程有两个不等的实数根； （2）满足 时,方程有两个相等的实数根； （3）满足 时,方程无实数根.【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】求判别式，注意二次项系数的取值范围.【总结升华】根据判别式及k0求解.类型四、一元二次方程的根与系数的关系5（2016凉山州）已知x1、x2是一元二次方程3x2=62x的两根，则x1x1x2+x2的值是（）ABCD【思路点拨】由x1、x2是一元二次方程3x2=62x的两根，结合根与系数的关系可得出x1+x2=，x1x2=2，将其代入x1x1x2+x2中即可算出结果【答案】D【解析】解：x1、x2是一元二次方程3x2=62x的两

49、根，x1+x2=，x1x2=2，x1x1x2+x2=（2）=故选D【总结升华】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是得出x1+x2=，x1x2=2本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键举一反三：【变式】已知关于x的方程有两个不相等的实数根、 (1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由【答案】(1)根据题意，得(2k-3)2-4(k-1)(k+1)，所以由k-10，得k1.当且k1时，方程有两个不相等的实数根； (2) 不存在如果方程的两个实数根互为相反数，则，解得当时，

50、判别式-50，方程没有实数根所以不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数类型五、一元二次方程的应用6（2015青岛模拟）随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，求甲店、乙店这两个月的月平均增长率各是多少？【答案与解析】解：设乙店销售额月平均增长率为x，由题意得：10（1+2x）215（1+x）2=10，解得 x1=60%，x2=1（舍去）2x=120%答：甲、乙两店这两个月的月平均增长率分别是120%、60%【总结升华】此题

51、考查了一元二次方程的应用，为运用方程解决实际问题的应用题型举一反三：【变式】某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2.求：(1)该工程队第一天拆迁的面积；(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数.【答案】（1）1000m2；（2）20%.一元二次方程全章复习与巩固巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 关于x的一元二次方程（a1）x2x|a|10的一个根是0，则实数a的值为（） A.1 B.0 C.1 D.1

52、或12已知a是方程x2+x1=0的一个根，则的值为（）A.B. C.1 D.13（2015德州）若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）Aa1Ba4Ca1Da14已知关于的方程有实根，则的取值范围是（ ）A B且 C D5如果是、是方程的两个根，则的值为（ ） A1 B17 C6.25 D0.256（2016台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）Ax（x1）=45Bx（x+1）=45Cx（x1）=45Dx（x+1）=457. 方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是() A0 B1 C2

53、D38. 若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且满足则k的值为（）A.1或 B.1 C. D.不存在二、填空题9关于x的方程的解是x1=2，x2=1（a，m，b均为常数，a0），则方程的解是 .10已知关于x的方程x2+2(a+1)x+(3a2+4ab+4b2+2)0有实根，则a、b的值分别为 11已知、是一元二次方程的两实数根，则(-3)(-3)_12当m=_时，关于x的方程是一元二次方程；当m=_时，此方程是一元一次方程. 13把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是_；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_.14（2015绥化）若关于x的一元

54、二次方程ax2+2x1=0无解，则a的取值范围是.15已知，那么代数式的值为_.16当x=_时，既是最简二次根式，被开方数又相同.三、解答题17. （2016南充）已知关于x的一元二次方程x26x+（2m+1）=0有实数根（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x220，求m的取值范围 18设(a，b)是一次函数y(k-2)x+m与反比例函数的图象的交点，且a、b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m、n为常数（1）求k的值；（2）求一次函数与反比例函数的解析式19. 长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国

55、务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售 (1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：打9.8折销售；不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠?20已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？(2)若工程

56、管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由.【答案与解析】一、选择题1【答案】A； 【解析】先把x0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a1舍去2【答案】D；【解析】先化简，由a是方程x2+x1=0的一个根，得a2+a1=0，则a2+a=1，再整体代入即可解：原式=，a是方程x2+x1=0的一个根，a2+a1=0，即a2+a=1，原式=1故选D3【答案】C； 【解析】 关于x的一元二次方程有实根， =b24ac=44a0，解之得a1故选C4.【答案】D； 【解析】0得，方程有实根可能是一元二次方程有实根，也可能是一元一次

57、方程有实根.5【答案】C；【解析】.6.【答案】A【解析】有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛场数为x（x1），共比赛了45场，x（x1）=45，故选A7【答案】C； 【解析】提示：先求公共根m=-1,再把这个公共根m=-1代入原来任意一个方程可求出a=2.8【答案】C； 【解析】由题意，得：.二、填空题9【答案】x1=4，x2=1【解析】解：关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=1，（a，m，b均为常数，a0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=22=4，x2=12=1故答案为：x1=4，x2=110.【答案】a1，【解析】 判别式2(a+1)2-

58、4(3a2+4ab+4b2+2) 4(a2+2a+1)-(12a2+16ab+16b2+8) -8a2-16ab-16b2+8a-4 -4(2a2+4ab+4b2-2a+1) -4(a2+4ab+4b2)+(a2-2a+1) -4(a+2b)2+(a-1)2 因为原方程有实根，所以-4(a+2b)2+(a-1)20，(a+2b)2+(a-1)20，又 (a+2b)20，(a-1)20， a-10且a+2b0， a1，11【答案】-6；【解析】 、是一元二次方程的两实数根， +4，-3 12【答案】-3；13【答案】；2或6.【解析】即.a=2或6.14.【答案】a1；15.【答案】-2；【解析

59、】原方程化为：.16.【答案】-5；【解析】由x2+3x=x+15解出x=-5或x=3,当x=3时，不是最简二次根式，x=3舍去.故x=-5.三、解答题17.【答案与解析】解：（1）根据题意得=（6）24（2m+1）0，解得m4；（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，而2x1x2+x1+x220，所以2（2m+1）+620，解得m3，而m4，所以m的范围为3m418. 【答案与解析】(1)因为关于x的方程有两个不相等的实数根，所以 解得k3且k0，又因为一次函数y(k-2)x+m存在，且k为非负整数，所以k1(2)因为k1，所以原方程可变形为，于是由根与系数的关系知a+b4，ab

60、-2，又当k1时，一次函数过点(a，b)，所以a+bm，于是m4，同理可得n-2，故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为与19. 【答案与解析】(1)设平均每次下调的百分率是x 依题意得5000(1-x)24050 解得x110%，x2(不合题意，舍去) 答：平均每次下调的百分率为10% (2)方案优惠：4050100(1-0.98)8100(元)；方案优惠：1.51001223600(元) 81003600 选方案更优惠.20. 【答案与解析】(1) 设甲队单独完成需x天，则乙队单独完成需要(2x10)天. 根据题意,有， 解得x1=3，x2=20. 经检验均是原方程的根，x1=3不符题