必修二立体几何较难题汇总

1、1四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H,则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（A）丄B）丄2716如图，连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N，由于F、G分别是三角形的重心，所以M、N分别是BC、CD的中点，且AF:AM=AG:AN=2:3，所以FG:MN=2:3，又MN:BD=1:2，所以FG:BD=1:3，即两个四面体的相似比是1:3，所以两个四面体的表面积的比是1：9；故选C.如图，平面a平面B平面Y，两条直线I，m分别与平面a,B，y相交于点A，B，C和点D，E,F.已知AC=15cm，DE=5cm,AB:BC=1:3，求AB，BC,EF的长设平面a

2、|B,A、CWa,B、Deg直线AB与CD交于S,若AS=18,BS=9,CD=34,则CS二？68/3或68与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有多少个？七个你可以把它想象成一个三棱锥四个顶点各对应一个有四个，两条相对棱对应一个共三组相对棱因此有三个总共有七个如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,ABllDCPAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4少P(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD丄平面PAD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积解：(1)证明：在A5中，由于皿=4,皿=呂，朋=4怎,所以ADBD2=AB2故AD丄BD又平面丄平面CD，平面

3、门平面AB(JDA.D,匸平面,所以占口丄平面月口匚,又月Du平面倔D,故平面倔门丄平面曲D（2）过尸作P0丄血交丘于O,由于平面刃D丄平面曲CD,所以尸丄平面MUD因此尸。为四棱锥户-血血的高，又吨是边长为4的等边三角形TO=x4=2/3因此在底面四边形曲CD中，朋#DC，AE=2DC，所以四边形丛UD是梯形，4如85在RtAADE中，斜边占边上的高为4击此即为梯形也的高，所以四边形也的面积为（2008福建）（6）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.(15)如图，二面角Q-1卩的大小是60，线段ABua.Bel,A

4、B与1所成的角为30则AB与平面0所成的角的正弦值是吕19(本小题满分12分)1如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1AA证明：DC丄BC；求二面角A1-BD-C1的大小。【解析】(1)在RtADAC中，AD=AC，得：ZADC=45。，同理：ZADC=45nZCDC=90。，111得：DC丄DC。1乂DC】丄BD，DCBD=D，所以DC丄平面BCD。1而BCu平面BCD，所以DC丄BC。12）解法一：（几何法）由DC丄BC,CC丄BCnBC丄面ACCA111nBC丄AC。取AB的中点O，连接CO，OD。1因为AC=BC，所以CO丄AB，1111111从而CO丄BD，1因为面AB

5、C丄面ABD，所以CO丄面ABD,111又DC丄BD,所以BD丄面DCO，因为ODu平面DCO，所以BD丄OD。111由BD丄OD，BD丄DC.，所以ZCDO为二面角ABD-C.的平面角。1111设AA=2a，AC=BC=a，则CO=，CD=y2a，1121在直角COD，CO丄OD，CO=1CD,11121所以ZC1DO=30。因此二面角A1-BD-C1的大小为30。(2007)2、(北京市西城区2012年4月高三抽样测试)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB/平面MNP的图形的序号是()3、(吉林省吉林市2012届上期末)三棱锥PABC的

6、高PO=8,AC=BC=3,ZACB=30,M、N分别在BC和PO上，且CM=x,PN=2CM，试问下面的四个图像中哪个图像大致描绘了三棱锥NAMC的体积V与x的变化关系(x(0,3)()ABCD答案：AABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:APGH.平面a过正方形ABCD-ABCD的三个顶点B,D,A,a与底面ABCD的交线为L,111111111则L与BD的位置关系？11如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE,BD上各有一点P,Q，且AP=DQ。求证：PQ面BCEC4下列各图是正方

7、体或正四面体，P,Q,R,S分别是所在棱的中点，则四个点不共面的一个图是（）.ABCD空间三条直线其中一条和其他两条都相交那这三条直线中的两条能确定的平面个数是多少1、若三条直线只有一个交点，则可以确定一个或三个平面；2、若这三条直线有两个不同的交点，则可以确定一个或三个平面。3、若这三条直线有三个不同的交点，则可确定以一个平面。答案：一个或三个线面平行的判定定理证明线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。线面平行的定义是：若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。证明：设直线all直线b，a不在平面a内，b在平面a内。用反证法证明al

8、ia。假设直线a与平面a不平行，则由于a不在平面a内，有a与a相交，设aQa=A。则点A不在直线b上，否则aAb=A与alb矛盾。过点A在平面a内作直线clb，由alb得ale。而Aa，且Ac，即aAe=A，这与ale相矛盾。于是假设错误，故原命题正确。（反证法）DCC1例题2从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k的最大值.解答考察如图所示的正方体上的四条线段AC，BC1，D1B1，A1D，它们所在直线两两都是异面直线.又若有5条或5条以上两两异面的直线,则它们的端点相异且个数不少于10,与正方体只有8个顶点矛盾故K的最大值是4.练习1在正方体

9、的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少解答两端点都为顶点的共线三点组共有耳=28个；两端点都为面的中心共线2三点组共有=3个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有=18个，且22没有别的类型的共线三点组，所以总共有28+3+18二49个.例题3在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A上存在一点P使得AP+D/最短，求AP+D1P的最小值解答将等腰直角三角形AA.B沿A.B折起至AAB，使三角形AAB与四边形1111ABCD,共面，联结AD，则AD的长即为AP+DP的最小值，所以，11111AD=、：12+12一2x1x1xcos

10、135o=*21练习3已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1的对棱BB1、D1上有两个动点E、F，BE=D1F=X（0X丄）.设EF与AB所成的角为a，与BC所成的角为0，求a+卩2的最小值1兀解答当X=丄时，a+0=-.不难证明a+0=f（九）是单调减函数.因此a+卩的22最小值为-2例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：2r=2

11、a24V=一兀3P3迈=兀a3练习：同样可用体积法求出棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径分析可知，正四面体的内切球与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，24可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三故只要求出正四面体的高度即可.，所以，R二乎ar-告a例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥PABC的高为PO，M为P0的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分的体积比.分析：取BC的中点D，连接PD交AM于G，设所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF，由直线与平面平

12、行的性质定理得：EFIIBC,连接AE,AF,则平面AEF为合乎要求的截面.作OHIIPG,交AG于点H,则：OH=PGBCPDPG+GDAGDAGDAAD5=1+=1+=1+=；EFPGPGPGOHAO2故:VsA-PEFAPEF=VsA-PBCAPBC(EF4IBC4.于是:V=；于疋：一A_PEF=25V21A-EFBC例5已知正三棱锥SABC的高SO=3,底面边长为6过点A向它所对的侧面S/3C作垂线，垂足为O=y-4D=4,HLL设过点P且平行于底面的截面与SD的交点为o*4则=寻%=普*即口Str=SD-OD=-|73,J=4-故所求截面的面积为-g号AAHC=J3+8、如果空间三

13、条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交的直线有(1997,全国高中联赛)(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条朽0=/3心尸y322V3.解：在a、b、c上取三条线段AB、CC.AD,作一个平行六面体ABCDAFCD,在c上取线段ADf上一点P,过a、P作一个平面，与DD交于Q、与CC交于R则QRa,于是PR不与a平行，但PR与a共面.故PR与a相交.由于可以取无穷多个点P.故选D.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面（）（A）不存在（B）只有1个（C）恰有4个（D）有无数多个例一、（1991年全

14、国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为（A）4；（B）8；（C）12；（D）24分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现2Ci二24次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成12的等边三角形个数为24=8个.3例1在桌面上放着四个两两相切、半径均为r的球，试确定其顶端离桌面的高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径3分析如图1,可将四个球的球心提炼出一个正四面体，

15、其棱长恰为两球半径之和，即为2厂，因此，只要求出这个正四面体的高，再加上上、下两个半径，即得所求的高度.而所求的小球半径应是正四面体的外接球半径与r的差.解如图2,设四个球的球心分别为01,0?9。3,a,则5Q构成棱长为”为正四面体-设E,6G分别为0,0.0,图$与厶OQQ的中心，QE与OiG相交于F,0zG与QE相交于刃，则H也是此正四面体的中心.尸=寺0疥=孚厂,0屮=孕2厂=Z3r,由勾股定理可得：O、E=Jo、F2EF?2Z6故顶端离桌面的髙度为（迸卫+2）匕由GF=y0F-ysiaZG02F13，从而0円=3HEQ心=0申十HG二电HE、而0=OjE2尸；HE=r,0jH=从而夹

16、在这四个球所组成图形空療中与四个球均相切的小球的半径为（年一1）匕说明（1）本例能够解决的关键是将四个球的球心提炼出了一个正四面体，从而我们可以将有关计算转移到该正四面体内逬行.（2）正四面体的外接球半径是内切球半轻的3倍，它们分别是高的四分之三与四分之一.（2012重庆）9设四面体的六条棱的长分别为2和a，且长为a的棱与长为、的棱异面，则a的取值范围是（A）.（0,2）b.（o/3）c.（1,2）d.（i,叮3）（2010全国）（6）直三棱柱ABC-ABC中，若ZBAC二90。，AB二AC二AA，1111则异面直线BA与AC所成的角等于（C）11（A）30（B）45（C）60（D）90.C【

17、命题意图】本小题主要考查直三棱柱ABC-ABC的性质、异面直线所成111的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA到D,使得AD二AC，则ADAC为平行四边形，ZDAB就是111异面直线BA与AC所成的角，又三角形ADB为等边三角形,:上DAB=60。1111过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线a,使a与棱AB,AD,AA1所在直线所成的角都相等，这样的直线a可以作（D）A）1条B）2条C）3条D）4条（2010重庆）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（D）（A）只有1个（B）恰有3个（C）恰有4个（D）有无穷多个11如图，M是正方体ABCD-ABCD的棱DD的中点，给出下列命题11111过M点有且只有一条直线与直线AB、BC都相交;11过M点有且只有一条直线与直线AB、BC都垂直;11过M点有且只有一个平面与直线AB、BC都相交;11过M点有且只有一个平面与直线AB、BC都平行.11其中真命题是：A.BCD.3、如图：在正方体ABCD-ABCD中，E