新人教版高中数学（必修五）（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（家教、补习、复习用）

1、新人教版高中数学（必修五）重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习正弦定理【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）. 【要点梳理】要点一、学过的三角形知识1.中（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、；（2）；（3）大边对大角，大角对大边，即； 等边对等角，等角对等边，即；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要点二、

2、正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：直角三角形中的正弦定理的推导证明：， ， ，即：， 斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：向量法（1）当为锐角三角形时过作单位向量垂直于，则+= 两边同乘以单位向量，得(+)=，即， ，同理：若过作垂直于得： ，（2）当为钝角三角形时设，过作单位向量垂直于向量，同样可证得：法二：圆转化法（1）当为锐角三角形时如图，圆O是的外接圆，直径为，则，（为的外接圆半径）同理：，故：（2）当为钝角三角形时如图，.法三：面积法任意斜中，如图作，则同理：，故，两边同除以即得：要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明（为的外

3、接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： = 1 * GB3 已知两个角及任意边，求其他两边和另一角； = 2 * GB3 已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边。要点三、解三角形的概念一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断

4、未知的边和角.要点四、正弦定理在解三角形中的应用利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；要点诠释：已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；(1)若A为锐角时：如图：(2)若A为直角或钝角时：判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：(1)两角是否相等？(2)三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：（1）两边是否相等？（2）三边是否相等要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方

5、法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.【典型例题】类型一：正弦定理的简单应用：【正弦定理 例1】例1已知在中，求和B.【答案】【解析】， ， ，又，【总结升华】1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式. 举一反三：【变式1】（2015 广东高考）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，则b=_.【答案】，又，故，所以 由

6、正弦定理得，所以b=1。【变式2】在中，已知，求【答案】根据正弦定理，得.【变式3】（2016 宝鸡一模）在， ，则A等于（ ） A. B. C. D. 【答案】由正弦定理可得： ， ， 故选B。例2在，求和， 【解析】由正弦定理得：，（方法一）， 或，当时，（舍去）；当时，（方法二）， ， 即为锐角， ，【总结升华】1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2. 在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：【正弦定理 例3】【变式1】在中， ，求和【答案】， ， 或当时，；当时，；

7、所以，或【变式2】在中, , 求和；【答案】 ， ， 或当时，；当时，（舍去）。【变式3】在中，, , 求.【答案】由正弦定理，得., ，即 类型二：正弦定理的综合运用例3.（2015 湖南高考文）设的内角的对边分别为。（I）证明：；(II)若，且为钝角，求。【答案】（I）略；(II) 【思路点拨】（I）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得，所以 ；(II)根据两角和公式化简所给条件可得，可得，结合所给角B的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.【解析】（I）由及正弦定理，得，所以。 （II）因为 有（）知，因此，又为钝角，所以，故，由知，从而，综上所述，【总结升华】本题主要考查

8、正弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力。举一反三：【变式1】在ABC中，已知a5，B105，C15，则此三角形的最大边的长为_【答案】在ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A180(BC)180(10515)60.据正弦定理beq f(asin B,sin A)eq f(5sin 105,sin 60)eq f(15r(2)5r(6),6).【变式2】（2016 浙江文）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知b+c=2acos B（）证明：A=2B；（）若cos B=，求cos C的值【答案】 （1）由正弦定理得，故，于是，又，故，所以或，因此，（舍

9、去）或，所以，.（2）由，得，故，.类型三：利用正弦定理判断三角形的形状例4.在中，若试判断的形状.【解析】由已知条件及正弦定理可得，为三角形的内角，或，所以为等腰三角形或直角三角形。【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。举一反三：【变式】在ABC中，试判断三角形的形状.【答案】利用正弦定理将边转化为角.又 0A，B，AB 即故此三角形是等腰三角形.【巩固练习】一、选择题：1在ABC中，已知a5eq r(2)，c10，A30，则B()A105B60C15

10、 D105或152在ABC中，aeq r(5)，beq r(15)，A30，则c等于()A2eq r(5) B.eq r(5)C2eq r(5)或eq r(5) D以上都不对3以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是()A在ABC中，abcsin Asin Bsin CB在ABC中，若sin 2Asin 2B，则abC在ABC中，若sin Asin B，则AB；若AB，则sin Asin B都成立D在ABC中，eq f(a,sin A)eq f(bc,sin Bsin C)4(2016 大连一模)在 中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足，那么的形状一定是（ ） A.等腰三角形 B.直角三

11、角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形5判断下列说法，其中正确的是()Aa7，b14，A30有两解Ba30，b25，A150只有一解Ca6，b9，A45有两解Db9，c10，B60无解二、填空题：6.（2015 北京高考文）在中，则 7(2015 福建高考文)若中，则_8. (2014 湖北高考文)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A，a1，b，则B9. （2016 白银模拟）已知中， ，则B等于 。 A. B. C. D. 三、解答题10、在中，已知,，解此三角形。11.在ABC中，已知，B=45.求A、C及c.12在中，若，求.13. 在中，求B及C.14在AB

12、C中，a4，A45，B60，求边b的值15在ABC中，若eq f(cos A,cos B)eq f(b,a)eq f(4,3)，试判断三角形的形状【答案与解析】1. 答案D解析：由正弦定理，得sin Ceq f(csin A,a)eq f(10sin 30,5r(2)eq f(r(2),2).ac，AC，C45或C135.B180(AC)，B105或15.故选D.2. 答案：C解析：由于sin Beq f(bsin A,a)eq f(r(3),2)，故B60或120.当B60时，C90时，c30.ceq r(a2b2)2eq r(5)；当B120时，C30，caeq r(5).3. 答案：B解

13、析：由正弦定理知A、C、D正确，而sin 2Asin 2B，可得AB或2A2B，ab或a2b2c2，故B错误4. 答案：C【解析】根据正弦定理可知, 或 ,即 即有为等腰三角形或直角三角形，故选：C。 5. 答案：B 解析：A中，由正弦定理得sin Beq f(bsin A,a)eq f(14f(1,2),7)1，所以B90，故只有一解，A错误；B中，由正弦定理得sin Beq f(bsin A,a)eq f(25f(1,2),30)1，所以B不存在，故无解，C错误；D中，由正弦定理得sin Ceq f(csin B,b)eq f(10f(r(3),2),9)1，因为bc，B60，且0C1，B

14、A，ABC为直角三角形余弦定理【学习目标】1.掌握余弦定理的内容及证明余弦定理的向量方法； 2.熟记余弦定理及其变形形式，会用余弦定理解决两类基本解三角形问题； 3.通过三角函数，余弦定理，向量的数量积等知识间的联系，理解事件之间的联系与辨证统一的关系. 【要点梳理】要点一、学过的三角形知识1.中（1）一般约定：中角A、B、C所对的边分别为、；（2）；（3）大边对大角，大角对大边，即； 等边对等角，等角对等边，即；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即，.2.中，（1），（2）（3），；，要点诠释：初中讨论的三角形的边角关系是解三角形的基本依据要点二、余弦定理及其证明三角形任意一边的

15、平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：余弦定理的推导已知：中，及角，求角的对应边.证明：方法一：向量法（1）锐角中（如图）， ，即： (*)同理可得：,要点诠释：（1）推导（*）中，与的夹角应通过平移后得到，即向量的起点应重合，因此与的夹角应为，而不是.（2）钝角三角形情况与锐角三角形相同。（3）对于直角三角形中时，, ，也满足余弦定理。方法二：解析几何方法利用两点间距离公式这里我们只讨论锐角三角形的情形，对于直角三角形和钝角三角形的情形的讨论相同。如图所示建立坐标系.则点，由、两点间的距离可知，即整理得到.余弦定理的变形公式：要点三、利用余弦定理解三角形1.利用余

16、弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； 已知三角形的三条边，求其三个角。要点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一.2.解斜三角形的基本问题：已知条件解法解的情况一边和两角（例如a,B,C)1利用A+B+C=180，求A2应用正弦定理求b,c唯一解两边和夹角（例如a,b,C）1应用余弦定理求边c2应用正弦定理求a,b中较短的边所对的角（该角一定是锐角）3利用A+B+C=180，求第三个角.唯一解三边（例如a,b,c)法一:1、应用余弦定理先求任意两个角2用A+B+C=180，求第三个角法二:1、应用余弦定理求a

17、,b,c中最长边所对的角2、应用正弦定理求余下两个角中的任意一个（该角一定是锐角）3、利用A+B+C=180，求第三个角唯一解两边及其中一边的对角（例如a,b,A)此类问题首先要讨论解的情况1应用正弦定理，求另一边的对角（即角B）2、利用A+B+C=180，求第三个角3、应用正弦或余弦定理求第三边两解、一解或无解要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解。要点三、利用正、余弦定理判断三角形的形状

18、余弦定理、正弦定理与三角形中的三角变换结合在一起，运用三角函数的变换公式进行三角函数式的变形转化，在三角形中，解决有关含有边角关系的问题时，可以运用余弦定理完成边角互化，通过变形转化成三角形三边之间的关系，判断三角形的形状.判断三角形形状有两条思考路线：其一是化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系式；其二是化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式，两种转化主要应用正弦定理和余弦定理.【典型例题】类型一：余弦定理的简单应用：例1（2016春 盐城校级期中）已知中，如果，那么此三角形最大角的余弦值是 。 【思路点拨】首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.【解析

19、】， 由正弦定理可知，令，所以边c对应的角最大 【总结升华】 1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】(2015 广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a=2，且bc，则b=（ ）A B2 C D3【答案】由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，所以，即b26b+8=0，解得：b=2或b=4，因为bc，所以b=2。故选：B【变式2】在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小【答案】设，根据余弦定理得：，；同理可得；【余弦定理376695 题一】【变式3】在中，若，则角等于（

20、）.A. B. C. D. 或【答案】， ， 类型二：余弦定理的综合应用例2（2015 陕西高考）的内角所对的边分别为，向量与平行.(I)求；(II)若求的面积.【答案】(I) ；(II) .【思路点拨】（I）先利用可得，再利用正弦定理可得tan A的值，进而可得A的值；（II）由余弦定理可得c的值，进而利用三角形的面积公式可得ABC的面积.【解析】(I)因为，所以由正弦定理，得，又，从而，由于所以(II)解法一：由余弦定理，得，而，得，即因为，所以，故面积为.解法二：由正弦定理，得从而又由知，所以故 ，所以面积为.【总结升华】本题考查平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式等

21、基础知识。举一反三：【变式1】（2016 北京高考文）在ABC中， ，a=c，则=_.【答案】 由正弦定理知，所以，则，所以，所以，即【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为，若，求角和【答案】根据余弦定理可得： ， ；由正弦定理得：.类型三：判断三角形的形状例3在ABC中，已知sinA=2sinBcosC, 试判断该三角形的形状【思路点拨】本题可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.【解析】由正弦定理及余弦定理，得，所以整理得，因为所以，因此ABC为等腰三角形【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关

22、系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。举一反三：【变式1】在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状是_【答案】等腰三角形解析：由题设和正、余弦定理得2，化简得a2b20，即ab.【余弦定理376695题六】【变式2】 三角形ABC中满足下列条件 ；试判断三角形的形状。【答案】利用余弦定理得，化简得，所以三角形为等腰三角形【巩固练习】一、选择题1在ABC中，已知A30，且3a12，则c的值为()A4B8C4或8 D无解2（2016 山东文）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=（ ）KA. B. C. D.3在不等边三角形中，a是最大的

23、边，若a2b2c2，则角A的取值范围是()A. B. C. D. 4已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若ac，且A75，则b()A2 B42C42 D. 5.在ABC中，若则ABC中最大角的度数为（ ）A120o B90oC600 D.150o6(2016 衡水校级一模)中三边上的高依次为,则为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不存在这样的三角形二、填空题7（2015 重庆文）设的内角A，B，C的对边分别为,且,则c=_.8(2015 北京)在ABC中，a=4，b=5，c=6，则 9在中，若，则的大小是_.三、解答题10在中，若，求.11. 在中，A=12

24、0O ,AB=5,BC=7,求AC12.（2016 北京理）在ABC中，.（1）求 的大小；（2）求 的最大值.13. 在ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos A.若a4，bc6，且bc，求b、c的值14.在ABC中，已知sin C，试判断三角形的形状15. (2015 新课标文) 已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC.（）若a=b，求cosB；（）若B=90，且 求ABC的面积.【答案与解析】1. 答案：C 解析：由3ab12，得a4，b4，利用余弦定理可得a2b2c22bccos A，即1648c212c，解得c4或c8.2.

25、答案：C解析：由余弦定理得: 因为 所以,因为 ,所以,又,所以,故选:C. 3. 答案：B解析：根据余弦定理：，A为锐角在不等边三角形中，a是最大边，A是最大角，ABC为锐角三角形，Aab,故C最大，cosC=A=120 o6. 答案：C解析：设三边分别为a,b,c,所以 设 因为，故能构成三角形，取大角A, 所以A为钝角，所以为钝角三角形。 7. 答案：4解析：由及正弦定理知：3a=2b,又因为a=2,所以b=3；由余弦定理得：，所以c=4;故填：4.8. 答案：1解析：由余弦定理可得由正弦定理和二倍角公式可得，故答案为：19.解析：a:b:c5:7:8设a5k，b7k，c8k，由余弦定理

26、可解得的大小为.10.解析：， 由余弦定理的推论得：，.11. 解析：得即解得，AC=3或AC=-8(舍)12. 解析：(1)由余弦定理及题设得又, ;(2)由(1)知 ，因为，所以当时，取得最大值.13. 解析：由余弦定理a2b2c22bccosA，即a2(bc)22bc2bccos A，1636bc，bc8.由可求得14. 解析：sin C，由正弦定理得c(cos Acos B)ab，再由余弦定理得，ccab，a3a2bac2bc2b3ab20，(ab)(c2a2b2)0，c2a2b2，故三角形为直角三角形.15. 解析：（）由题设及正弦定理可得b2=2ac，又a=b，可得b=2c，a=2

27、c.由余弦定理可得.（）由（）知b2=2ac，因为B=90，由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac，得.所以ABC的面积为1. 正弦、余弦定理在三角形中的应用 【学习目标】1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题；2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识.【要点梳理】要点一、正弦定理和余弦定理的概念正弦定理公式：（其中R表示三角形的外接圆半径）余弦定理公式： 第一形式：第二形式：要点二、三角形的面积公式 ；要点三、利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两

28、边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：若A为锐角时： 一解 一解 两解 无解若A为直角或钝角时：要点四、三角形的形状的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形 勾股定理：，互余关系：，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；要点五、解三角形时的常用结论在中，（1）在中（2）互补关系：，；（3）互余关系：，.【典型例题】类型一：利用正、余弦定理解三角形例1. 在中，已知下列条件，解三角形.（1）, , ； （2），.【思路

29、点拨】（1）题中利用正弦定理先求，再求和；（2）题中利用余弦定理求；求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理。【解析】（1）， 法一：，即， ，.法二：， 或，当时，；当时，（舍去）.（2）法一：，法二：又，即，有，.【总结升华】解三角形时，可以依据题意画出恰当的示意图，然后正确选择正、余弦定理解答；解三角形时，要留意三角形内角和为180、同一个三角形中大边对大角等性质的应用。举一反三：【变式1】 ABC中，已知c=1，b=，B=45，求C和a.【答案】，(舍)或由正弦定理得：.【变式2】在中, 求角；【答案】.【变式3】在中，若，求角和【答案】根据余弦定理：， ，。例2、(2015 浙江)在A

30、BC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.（1）求tanC的值；（2）若ABC的面积为3，求b的值。【答案】（1）2；（2）3.【思路分析】（1）根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系，再将式子作三角恒等变形即可求解；（2）根据条件首先求得sinB的值，再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解.【解析】（1）由及正弦定理得，cos2B=sin2C，又由，即，得cos2B=sin2C=2sinCcosC，解得tanC=2；（2）由tanC=2，C（0，）得，又，由正弦定理得，又，故b=3.【总结升华】对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路：边化角或角化成边

31、，但要根据结论的形式选择转成边或者角。举一反三：【变式】ABC中，A=45，a=2，求b和B，C.【答案】解法一 ：正弦定理由若C=60，则B=75，若C=120，则B=15，解法二：余弦定理若若解法三：正余弦定理若bca，所以BCA，所以B=75，C=60；若cab，所以CAB，所以B=15，C=120.类型二：正、余弦定理的综合应用例3已知ABC 中，试判断ABC的形状.【思路点拨】题目中给的是角与边的混合关系式，可用正弦定理化简成单一的角的关系；也可以用正弦定理、余弦定理化简成单一的边的关系，然后判断.【解析】方法一：用余弦定理化角为边的关系由得，整理得，即， 当时，为等腰三角形； 当即

32、时，则为直角三角形； 综上：为等腰或直角三角形。方法二：用正弦定理化边为角的关系由正弦定理得：即，即 或，即或故为等腰三角形或直角三角形。【总结升华】（1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断。（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角。（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可。一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中

33、给的是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理。（5），不要丢解。举一反三：【变式1】根据下列条件，试判断ABC的形状.（1）bcosA=acosB；（2）a=2bcosC【答案】（1）解法一：正弦定理由bcosA=acosB得2RsinBcosA=2RsinAcosB，即sin(B-A)=0，于是B=A，ABC为等腰三角形.解法二：余弦定理由bcosA=acosB得，即a2=b2，所以a=b，ABC为等腰三角形.（2）解法一：正弦定理由a=2bcosC得2RsinA=4RsinBcosC，有sin(B+C)=2sinBcosC，得出sin(B-C)=0，即B=C，ABC为等腰三角形

34、；解法二：余弦定理由a=2bcosC得，得b2=c2，即b=c，ABC等腰三角形.【变式2】在ABC中，根据下列条件决定三角形形状.(1)；(2).【答案】 (1)由，则该三角形为直角三角形；(2),，由正弦定理得：,中，, ,即，或,即：或，是等腰三角形或直角三角形.例4. （2016 四川理）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（ = 2 * ROMAN II）若，求.【答案】（I）略（ = 2 * ROMAN II）4【思路点拨】第一问，利用正弦定理，将边角进行转化，结合诱导公式进行证明；第二问，利用余弦定理解出,在根据平方关系解出，代入已知中，解出的值。

35、【解析】（I）根据正弦定理，可设则 代入中，有，变形可得 在中，由 ,有 所以 （ = 2 * ROMAN II）由已知，根据余弦定理，有 由（），所以故 举一反三：【变式】（2016 天津文）在中，内角所对应的边分别为a,b,c，已知.()求B；()若，求sinC的值.【答案】（）在中，由，可得，又由得 ， 所以 得 （）由得 则， 所以 例5锐角 中，a,b,c分别是角A,B,C的对边。若求的大小取最大值时，求的大小【思路点拨】在（1）中，将所给边的关系式化简变形后，根据结构形式可判断出应该用余弦定理。【解析】（1）， ， 故由余弦定理得A是锐角三角形的内角，所以（2）=当且仅当时取等号【

36、总结升华】对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性或二次函数的知识解决问题举一反三：【变式1】已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2+b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为答案：解析：ABC中， a2，且(2+b)(sinAsinB)(cb)sinC，利用正弦定理可得 4b2(cb)c，即 b2+c2bc4再利用基本不等式可得 42bcbcbc，bc4，当且仅当bc2时，取等号，此时，ABC为等边三角形，它的面积为bcsinA，故答案为：【变式2】在中，

37、三内角满足的方程有两个相等的根。求证：角B不大于（2）当角B取最大值时，判断的形状【答案】（1）由韦达定理得即，由正弦定理，有2b=a+c由余弦定理得（2）当角B取最大值时，且a=c，易知为正三角形【巩固练习】一、选择题1（2016 新课标理）在中，BC边上的高等于,则( ) A. B. C. D.2中，若，则有（ ）A. B. C. D.、大小不能确定3在ABC中，若a7，b3，c8，则ABC的面积等于()A12B. C28 D 4边长为的三角形的最大角与最小角的和是（ ）A B C D 5钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC（）A 5BC2D1二、填空题6. 在中,已知,则的度数

38、为 .7. (2016 新课标理) 的内角的对边分别为，若，则 8在ABC中，A60，AC4，BC，则ABC的面积等于9. 在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosCccosB2b，则10. 锐角ABC的面积为，BC4，CA3，则AB_.11在ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a24Sb2c2，则角A为_三、解答题12已知a3，c2，B150，求边b的长及S13(2015 江苏)在ABC中，已知AB2，AC3，A60.（1）求BC的长；（2）求sin2C的值.14. 已知的三角内角、有2B=A+C，三边、满足.求证：.15. （2016 浙江理）在ABC中，内角

39、A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.（I）证明：A=2B；（II）若ABC的面积，求角A的大小.【答案与解析】1. 答案：C解析：设边上的高线为，则，所以，由余弦定理，知，故选C.2. 答案：C 解析：，由正弦定理有，即，整理得即， 3答案：D.解析：由余弦定理可得cos A，A60，SABCbcsin A.故选D.4. 答案：B解析： 设中间角为，则为所求5. 答案：B解析：钝角三角形ABC的面积是，ABc1，BCa，SacsinB，即sinB，当B为钝角时，cosB，利用余弦定理得：AC2AB2BC22ABBCcosB1225，即AC，当B为锐角时，cosB

40、，利用余弦定理得：AC2AB2BC22ABBCcosB1221，即AC1，此时AB2AC2BC2，即ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC故选：B6.解析：，7.解析： ,且为三角形内角，所以 = ,又因为 所以. 8. 答案：解析：ABC中，A60，AC4，BC，由正弦定理得：，解得sinB1，B90，C30，ABC的面积故答案为：9. 答案：2解析：将bcosCccosB2b，利用正弦定理化简得：sinBcosCsinCcosB2sinB，即sin(BC)2sinB，sin(BC)sinA，sinA2sinB，利用正弦定理化简得：a2b，则2故答案为：210. 答案：解析：由三角形面积

41、公式得34sin C，sin C.又ABC为锐角三角形C60.根据余弦定理AB216924313.AB.11. 答案：45解析：a2b2c22bccos A，又已知a24Sb2c2，故Sbccos Abcsin A，从而sin Acos A，tan A1，A45.12. 解析：b2a2c2-2accosB(3)222-232(-)49b7， SacsinB3213. 解析：（1）由余弦定理知，所以(2)由正弦定理知，所以因为ABBC，所以C为锐角，则因此14.解析：且，, ，即， 又， ，即 ， ， , ，即，故.15. 解析：（1）由正弦定理可得 故 = 所以,又 ，故 ，所以 或B= ,因

42、此（舍去） 或 所以（II）由得，故有，因，得又，所以当时，；当时，综上，或解三角形应用举例【学习目标】1.能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；2.提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；3.掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.【要点梳理】要点一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系

43、；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.要点诠释：要点二、解三角形应用题的基本思路实际问题 画图 数学问题 解三角形 数学问题的解 检验 实际问题的解要点三、实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度

44、和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0360。如图，点的方位角是。方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度。如图为南偏西方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转）；如图为北偏东方向（指从正北开始向正东方向旋转）. 东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；要点四、解三角形应用中的常见题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1.测量距

45、离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.2.测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.3.测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高【典型例题】类型一：距离问题例1. 如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和(1)设计中CD是铅垂方向，若要求2，问

46、CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12，18.45，求CD的长(结果精确到0.01米)【答案】(1) 28.28米.(2) 26.93米.【思路点拨】(1)这是一道关于求两点之间的距离问题。题目条件告诉了边AC、CB的长以及以A、C为顶点的两个角，根据正切函数的定义及性质得到一个关于x的不等式，解之得到CD的长度。（2）根据三角形的内角和定理和正弦定理，解得CD的长。【解析】(1)设CD的长为x米，则tan，tan，tantan2，即，解得0，即CD的长至多为28.28米(2)设DBa，DAb，CDm，则ADB180123.43

47、，由正弦定理得，即，答：CD的长为26.93米【总结升华】1. 此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.2. 解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。3. 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选

48、择最佳的计算方式。举一反三：【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上间的距离，为此在山的一侧选取适当点，如图，测得，又测得两点到隧道口的距离，在一条直线上)，计算隧道的长.【答案】在中，由余弦定理得.答：隧道长约为409.2 m.类型二：高度问题【解三角形应用举例377493 例2】例2.某人在塔的正东沿着南偏西的方向前进40米后，望见 塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高.【思路点拨】画出空间图形后，先寻找可解的三角形，进而解目标所在三角形。【解析】如图所示，过B做于点E,由题意知在E点测得塔的最大仰角，在.由正弦定理，得在中，在中，（米）故所求塔高为米【总结升华】 注意仰角的概念。举一

49、反三：【变式1】(2015 湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD=_m. 【答案】.【解析】在ABC中，CAB=30，ACB=7530=45，根据正弦定理知，即，所以，故应填.【变式2】（2016 中山市模拟）如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC=15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC=45，根据以上数据可得cos=_。 【答案】DAC=15，D

50、BC=45，ADB=30，在ABD中，由正弦定理得，即，。在BCD中，由正弦定理得，即，。故答案为：。【变式3】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。【答案】方法一：用正弦定理求解由已知可得在ACD中，AC=BC=30， AD=DC=10，ADC =， 因为sin4=2sin2cos2，,得在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角，建筑物高度为15m。方法二：设方程来求解设DE= x，AE=h在RtACE中,(10+ x) + h=30在RtADE中,x+

51、h=(10)两式相减，得x=5,h=15在RtACE中,tan2=答：所求角，建筑物高度为15m。方法三：用倍角公式求解设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m ,AD=CD=10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=- 得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角，建筑物高度为15m。类型三：角度问题AB例3.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【思路点拨】（1

52、）要弄清方位角的概念，ABDC（2）画出示意图很关键，同时还要设好未知数，标注出来。【解析】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C,D两点 此时,甲、乙两船相距最近【总结升华】在解决测量问题的有关题目时，要搞清方位角、俯角、与仰角等的含义，合理构造三角形求解，即把实际问题数学化.举一反三：【变式1】（2016 益阳模拟）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50方向直线航行，30分钟后到达B处。在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B、C两点间的距离是（ ）A海里 B海里 C海里 D海里【答案】如图，已知可得，BAC=30，

53、ABC=105，AB=2，从而ACB=45。在ABC中，由正弦定理，得。故选A。【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A. B. C. D.【答案】B 【解三角形的应用举例377493 例3】【变式3】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45方向，距A为()km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75方向，距A为2 km的C处的缉私船奉命以km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.【解析】

54、设缉私船追上走私船需，则，.由余弦定理，得 ，由正弦定理，得，而，.，即， 答：缉私船向东偏北方向，只需便能追上走私船.【巩固练习】选择题BCA1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4米,则其跨度AB的长为( )A.12米 B.8米 C.米 D. 米 2.某人向正东方向走了x 千米后，他向右转150，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为( )A. B.或 C. D.33.（2016 河南模拟）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD=75，BDC=60，CD=40 m，并在点C测得塔顶A的仰角为30。则

55、塔高AB为（ ）m。 A20 B C D404.若在测量中，某渠道斜坡的坡度，设为坡角，那么为()A. B. C. D.5如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A mB mC m D. m6如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75、30，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()A240(1)m B.180(1)mC120(1)mD30(1)m填空题7.（2016 宜宾模拟）如图所示，在海岛A上有一座海拔千米的山峰上，山顶上设有一座观察站P，一

56、般轮船沿一固定方向匀速航行，上午1000时，测得此船在岛北偏东20且俯角为30的B处，到1010时，又测得该船在岛北偏西40且俯角为60的C处，则该船的航行速度为_千米时。 8. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73)9. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60已知山高BC100m

57、，则山高MNm解答题10如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150方向航行问航行几小时，两船之间的距离最短？11我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，ACD=45，ADC=75，目标出现于地面点B处时，测得BCD=30，BDC=15(如图所示)求炮兵阵地到目标的距离(结果保留根号)12一辑私艇发现在北偏东45方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若

58、要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和角的正弦值13.（2016 武汉校级模拟）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测。如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，BAC=60在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒。在A地测得该仪器至最高点H的仰角为30。 （1）求A，C两地的距离； （2）求这种仪器的垂直弹射高度HC（已知声音的传播速度为340米秒）14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行后达到海岛C.

59、如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?15.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1，sin 41)【答案与解析】1. 【答案】D 【解析】ABCx2. 【答案】B【解析】如图所示，设，由余弦定理可得，解之得，故选B3. 【答案】B【解析】BCD=75，BDC=60，CBD=45，在BCD中，由正弦定理得：，即，解得，又，。故选B。4.【答案】B【解析】由坡度为3：4知，由同角

60、的三角函数关系可求.故选B5【答案】A【解析】在ABC中，AC50，ACB45，CAB105ABC30，由正弦定理： ABm故选A.6. 【答案】C【解析】如图，由图可知，DAB15，在RtADB中，又AD60，DBADtan1560(2)12060在RtADB中，DAC60，AD60，DCADtan6060BCDCDB60(12060)120()(m)河流的宽度BC等于120()m故选：C7.【答案】【解析】在RtPAB中，APB=30，AB=1。在RtPAC中，APC=60，AC=3。在RtACB中，CAB=20+40=60，。则船的航行速度。故答案为。8.【答案】；【解析】过A点作AD垂