新人教版高中数学（选修2-2）（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（提高版）（家教、补习、复习用）

1、新人教版高中数学（选修2-2）重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习变化率与导数【学习目标】（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；【要点梳理】知识点一：平均变化率问题1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间上的平均变化率为：要点诠释： 本质：如果函数的自变量的“增量”为,且,相应的函数值的“增量”为,则函数从到的平均变化率为 函数的平均变化率可正可负，平均变

2、化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.即递增或递减幅度的大小。对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S（m）从t1秒到t2秒的平均变化率即为t1秒到t2秒这段时间的平均速度。高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。3.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出和作商：对所求得的差作商，即。要点诠释：1. 是的一个“增量”，可用代替，同样。2. 是一个整体符号，而不是与相乘。3. 求函数平均变化率时注意，两者都可正、可负，但的值不能为零，的值可以为零。

3、若函数为常函数，则=0.知识点二：导数的概念定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作要点诠释： 增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数。 时，y在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。即存在一个常数与无限接近。 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。知识点三：求导数的方法：求导数值的一般步骤： 求函数的增量：； 求平均变化率：； 求极限，得导数：。也可称为三步法求导数。【典型例题】类型一：求平均变化率例1 函数在区间1，1+x内的平

4、均变化率为_。【解析】 ， 【总结升华】 由于平均变化率是函数值增量与自变量增量之比，所以求函数在给定区间x0，x0+x上的平均变化率问题，就是求的值。本例的关键是对进行分子有理化。举一反三：【变式1】 求函数y=2x2+5在区间2，2+x上的平均变化率；并计算当时，平均变化率的值。【答案】 ，函数在区间2，2+x上的平均变化率为。当时，即平均变化率的值为9.【变式2】 （2015春 松山区校级月考）在曲线上取点P（2,6）及邻近点Q ，那么 为（ ）A. B. C. D. 【答案】 ， 故选C【变式3】已知函数，分别计算在区间3，1，0，5上函数及的平均变化率【答案】函数在3，1上的平均变化

5、率为在3,1上的平均变化率为函数在0，5上的平均变化率为在0，5上的平均变化率为类型二：利用定义求导数值例2 用导数的定义，求函数在x=1处的导数。【解析】 。【总结升华】 利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。举一反三：【变化率与导数 383113 例1】【变式1】（1）求函数 在x=1处的导数.（2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数 【答案】 (1) , ，即.所以 函数 在x=1处的导数为6 .（2） 依照定义，f(x)在的平均变化率，为两增量之比，需先求，再求：，即为f(x)=在附近的平均变化率。 再由导数定义得： 【变式2】已知函数，

6、求函数在x=4处的导数.【答案】（1） ，【变式3】（2015春 宝鸡校级月考）已知函数可导，且 ，则 等于（ ）A.1 B. C. D. 【答案】 A类型三：实际问题中导数的应用例3. 设一个物体的运动方程是：，其中是初速度，时间单位为，求：时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）。【解析】 【总结升华】 t=2s时的瞬时速度就是t=2s附近平均速度的极限，亦即速度在t=2s时导数。举一反三：【变式1】 质点按规律s (t)=at2+1做直线运动（位移单位：m，时间单位：s）。若质点在t=2 s时的瞬时速度为8 m / s，求常数a的值。【答案】 s=s(2+t)s(2)=a(2+t)2+1

7、a221=4at+a(t)2，。在t=2 s时，瞬时速度为，即4a=8。a=2。【变式2】如果一个质点从固定点A开始运动，关于时间t的位移函数是求（1）t=4时、物体的位移是s(4);（2）t=4时、物体的速度v(4);（3）t=4时、物体的加速度a(4).【答案】(1) (2) t=4时，v(4)=48 (3) t=4时 a (4) = 24【变式3】 枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是a=5105 m / s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6103 s。求枪弹射出枪口时的瞬时速度。【答案】 运动方程为。因为 ，所以 。当t0时，。由题意知，a=5105 m / s2，t

8、0=1.6103 s，所以at0=8102 m / s=800 m / s即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m / s【巩固练习】选择题1（2015春 保定校级月考）函数在一点的导数是（ ）A.在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B.一个函数C.一个常数，不是变数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率。 2.（2015春 淄博校级月考）在曲线的图象上取一点（1,3）及邻近一点，则 为（ ） A. B. C. D. 3.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为 （ ）A从时间到时，物体的平均速度 B时间时该物体的瞬时速度C当时间为时该物体的速度 D从时间到时位移的平均变化率4

9、. 已知函数，下列说法错误的是（ ）A. 叫函数增量B. 叫函数在上的平均变化率C. 在点处的导数记为D. 在点处的导数记为5一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为，则t=2 s时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）A2 B1 C D6 设，若，则a=（ ）A2 B2 C3 D不确定7（2015秋 泗县校级期末）若在可导，且，则=（ ） A. B.2 C.3 D. 8在地球上一物体作自由落体运动时，下落距离其中为经历的时间，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. 01s时间段内的速率为 B. 在11+ts时间段内的速率为C. 在1s末的速率为 D. 若t0，则是1

10、1+ts时段的速率；若t0，则是1+ts1时段的速率二、填空题9已知函数yx32，当x2时，eq f(y,x) .10.如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则= ；= .11 一质点的运动方程是, 其中最小速度是 。三、解答题12已知函数, 求函数在x=4处的导数.13.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时，原油温度（单位：）为计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。14 已知函数y=log2x+1。（1）求函数在2，2.1上的平均变化率；（2）若自变量从x

11、0增加到x0+x，该函数的平均变化率又是多少？（x00）15. 已知曲线，用定义求：处的导数；【答案与解析】1 【答案】 C 2. 【答案】B【解析】y=（1+x）2+211=x2+2x，=2+x.选B。3 【答案】 C【解析】 f(4)=sin4,4, sin40,即函数在点(4,f(4)处的斜率为正值. 切线的倾斜角为锐角.4. 【答案】 C 【解析】 正确的写法应该是5 【答案】 C 【解析】 。故选C。6 【答案】 A 【解析】 ，a=2，故选A。7 【答案】 D 【解析】因为，即， ，所以，故选D。 8 【答案】 C 【解析】 ，即s（t）在t=1 s时的导数值。由导数的物理意义，得

12、9.8 m / s是物体在t=1 s这一时刻的速率。故选C。9. 【答案】 【解析】10. 【答案】 2， 2 【解析】 由图可知：f(0)=4,f(4)=2; f(x)=-2x+4,带入可得。11. 【答案】 【解析】由于12. 【答案】【解析】 ，13. 【解析】在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义所以 同理可得:在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,说明在第附近,原油温度大约以的速率下降在第附近,原油温度大约以的速率上升.14【 答案】0.7 【解析】（1）x1=2，x2=2.1，x=x2x1=0.1，函数在2，2.1上的平均变化率 。（2）x1=x0，x2=x0+

13、x， 函数的平均变化率 。15. 【答案】【解析】y0，当趋近于0时，上式的极限为，即 。导数的几何意义【学习目标】1理解导数的几何意义。2理解导数的全面涵义。3掌握利用导数求函数图象的切线的斜率。4会求过点（或在点处）的切线方程。【要点梳理】（根据课标要求进行适当的深化与拓展。）要点一、导数几何意义平均变化率的几何意义曲线的割线函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。事实上，。换一种表述：曲线上一点及其附近一点，经过点、作曲线的割线， 则有。要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。2.导数的几

14、何意义曲线的切线图1如图1，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？我们发现,当点沿着曲线无限接近点P即x0时,割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.定义：如右图，当点沿曲线无限接近于点，即时，割线的极限位置直线叫做曲线在点处的切线。T也就是：当时，割线斜率的极限，就是切线的斜率。即：。要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关。（2）切线斜率的本质函数在处的导数。（3）曲线的切线的斜率的符号可以刻画函数的增减性。若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。，切线与轴正向夹角为锐角，瞬时递增；，切线与轴正向夹角为钝角，瞬时递减；，切线与轴

15、零度角，瞬时无增减。 （4）曲线的切线可能和曲线有多个公共点；为什么要用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线？”过去我们定义圆的切线就是“与圆有且只有一个公共点的直线”，这个定义符合圆、椭圆等一类曲线，那么，能否对任何曲线C都用“与C有且只有一个公共点”来定义C的切线呢？如图1-1-2-1的曲线C是我们熟知的正弦曲线y=sin x的一部分，直线2显然与曲线C有唯一公共点M，但我们不能说直线2与曲线C相切；而直线1尽管与曲线C有不止一个公共点，但我们可以说直线1是曲线C在点N处的切线。要点二、曲线的切线（1）用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤： 求出切点的

16、坐标;求出函数在点处的导数得切线方程（2）在点处的切线与过点（x0，y0）的切线的区别。在点处的切线是说明点为此切线的切点；而过点（x0，y0）的切线，则强调切线是过点（x0，y0），此点可以是切点，也可以不是切点。因此在求过点（x0，y0）的切线方程时，先应判断点（x0，y0）是否为曲线上的点，若是则为第一类解法，若不同则必须先在曲线上取一切点，求过此切点的切线方程，再将点（x0，y0）代入，求得切点的坐标，进而求过点（x0，y0）的切线方程。要点三、导数的概念导函数定义：由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f

17、(x)的导函数.记作：或，即: 要点诠释： 函数在点处的导数、导函数之间的区别与联系。（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。（2）函数的导数，是指某一区间内任一点x而言的，也就是函数f(x)的导函数。 （3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值。导函数也简称导数，所以 所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导数函数值。导函数求法：由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量。（2）.求平均变化率。（3）.取极限，得导数。要点四、导数的定义的几种形式：割线的极限即为切线，即为导数，从

18、这个几何意义上看导数式可以有多种表达形式，如：；（或：；）。要点诠释：只要是时，极限式所表示的是割线的斜率（或其若干倍），就能表示为导数式。【典型例题】类型一、求曲线的切线方程【导数的几何意义 385147 例1】例1曲线的方程为，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线的斜率，以及切线的方程. 【解析】 利用导数的几何意义，曲线在点P（1，2）处的切线的斜率等于函数在处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程.由得，所以曲线在点处的切线斜率为，过点P的切线方程为，即.【总结升华】 求曲线上一点处切线的步骤：求函数y=f(x)在点处的导数，即曲线y=f(x)在处切线的斜率。由点斜式写出直线方程

19、：；如果y=f(x)在的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：.举一反三：【变式1】（2014 西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 【答案】A 【解析】已知曲线的一条切线的斜率为， ，则切点的横坐标为1，故选A.【变式2】已知：曲线上一点，求：点处的切线方程。【答案】 对于函数，则点处的切线的斜率：，切线方程：。【变式3】（2014春 东港区校级期末）已知函数的图象在点处的切线方程是 ，则的值等于（ ） A.1 B. C.3 D.0【答案】【解析】由已知点在切线上，所以， 切点处的导数为切线斜率，所以，即，故选

20、C。例2已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和yf(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和yf(x)相切且切点异于点P的直线方程yg(x)【解析】(1)y3x23.则过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率k1f(1)0，所求直线方程为y2.(2)设切点坐标为(x0，3x0)，则直线l的斜率k2f(x0)33，直线l的方程为y(3x0)(33)(xx0)又直线l过点P(1，2)，2(3x0)(33)(1x0)，3x02(33)(x01)，解得x01(舍去)或x0.故所求直线斜率k33，于是：y(2) (x1)，即yx.【总结升华】

21、 求曲线的切线时，要注意区分不同的说法：通常情况下，求曲线在某点处的切线时，该点即为切点；求曲线经过某点的切线时，该点不一定是切点。同时本题也说明了曲线的切线与曲线可能有超过一个以上的公共点.举一反三：【导数的几何意义 385147 例2】【变式1】求曲线经过点的切线方程.【解析】 本题要分点是切点和不是切点两类进行求解.若点是切点，由得，则，于是切线方程为，即；若点不是切点，设切点为：则切线率，所以解之得，所以，所以切线方程是，即.【变式2】已知曲线。（1）求曲线过点A（1，0）的切线方程；（2）求满足斜率为的曲线的切线方程。【答案】（1）设过点A（1，0）的切线的切点坐标为，因为，所以该切

22、线的斜率为，切线方程为。 将A（1，0）代入式，得。所以所求的切线方程为y=4x+4。（2）设切点坐标为，由（1）知，切线的斜率为，则，。那么切点为或。所以所求的切线方程为或。【变式3】 已知直线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积【答案】(1)y|x1所以l1的方程为：y3(x1)，即y3x3.设l2过曲线yx2x2上的点B(b，b2b2)，y|xb2b1，所以l2的方程为：y(b2b2)(2b1)(xb)，即y(2b1)xb22.因为l1l2，所以3(2b1)1，所以b，

23、所以l2的方程为：.(2)由得即l1与l2的交点坐标为.又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，所以所求三角形面积.类型二、利用定义求导函数例3已知，求， 【解析】 因为，所以。当x0时，当x=2时，。【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导。举一反三：【变式1】求函数在内的导函数。【答案】， 【变式2】求函数在x=2处的导数。解析 解法一：（导数定义法），。解法二：（导函数的函数值法），。类型三、导数的几种形式例4. 若，则_。【解析】 根据导数定义：（这时=k），所以。【总结升华】 （1）有一种错误的解法： 根据导数的定义：（这时x=k），所以 。（2）在导数的定义中

24、，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，y也必须选择与之相对应的形式。利用函数在x=x0处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式。概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题。举一反三：【变式1】 函数满足，则当x无限趋近于0时，（1） （2） 【答案】（1） （2）【变式2】. 若（1）求的值。（2）求的值。【答案】 【变式3】设函数在点x0处可导，则_。【答案】 原式 。【巩固练习】选择题1一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）A米/秒 B米/秒 C米/秒 D米/秒2

25、（2014 东昌府区校级二模）若点P在曲线 上移动，经过点P的切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3. 函数在处的导数的几何意义是（ ）A 在点处的函数值 B 在点处的切线与轴所夹锐角的正切值C 曲线在点处的切线的斜率 D 点与点（0，0）连线的斜率.4（2015春 湖北校级期末）已知函数y=3x4+a，y=4x3，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ ）A0 B12 C0或12 D4或15已知函数的切线的斜率等于1，则其切线方程有（ ）A1条 B2条 C多于2条 D不确定 6.（2015 上饶三模）定义：如果函数在a，b上存在x1，x2（

26、ax1x2b）满足，则称函数在a，b上的“双中值函数”。已知函数是0，a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（ ）A B C D填空题7曲线在点处的切线方程为3x+y+3=0，则_0。（填“”“”“”“”或“”）8已知曲线yx22上一点P(1，)，则过点P的切线的倾斜角为_9已知函数在x=x0处的导数为11，则_。10在曲线的切线中，斜率最小的切线的方程为_。11若抛物线y=x2x+c上一点P的横坐标是2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_。解答题12已知s=，求t=3秒时的瞬时速度。13如果曲线y=x2+x3的某一条切线与直线y=3x+4平行，求切点坐标与切线方程。14曲线上

27、有两点A（4，0）、B（2，4）。求：（1）割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；（2）在曲线上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行？若存在，求出C点的坐标及切线方程；若不存在，请说明理由。15已知函数f(x)x33x及yf(x)上一点P(1，2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和yf(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和yf(x)相切且切点异于点P的直线方程yg(x)【答案与解析】1【答案】C 【解析】有定义可求得2. 【答案】B【解析】 函数的导数 ， ，又 ， 或，故选B。3. 【答案】C 【解析】 依据定义既能做出正确判断。4.【答案】C 【解析】设公共点

28、为P（x0，y0），则在函数y=3x4+a中，则在P点处的切线方程为即化简得：在函数y=4x3中，则在P点处的切线方程为即化简得，又两个函数在公共点处的切线重合， 或 切线斜率为0或12。5【答案】 B 【解析】 由定义求得y=3x2，设切点为，由，得，即在点和点处有斜率为1的切线，故有两条。6.【答案】C【解析】由题意可知，在区间0，a存在x1，x2，（ax1x2b），满足，方程3x22x=a2a在区间（0，a）有两个不相等的解。令，（0 xa）则，解得：。实数a的取值范围是故选：C7【答案】 【解析】 由题知就是切线方程的斜率，即，故。8【答案】 45【解析】yx22，y y|x11.点P

29、(1，)处的切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45.9【答案】 11 【解析】 ，10【答案】 3xy11=0 【解析】 由导数的定义知y=3x2+6x+6=3(x2+2x+1)+3=3(x+1)2+3，所以当x=1时，斜率有最小值为3。又因为当x=1时，y=14，所以切线方程为y+14=3(x+1)，即y=3x11。11【答案】 4 【解析】 y=2x1，。又P（2，6+c），c=4。12【解析】由题意可知某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限。V=（6+=3g=29.4(米/秒)。13【解析】切线与直线y=3x+4平行，切线的斜率为3。

30、设切点坐标为（x0，y0），则。又 。当x0时，2x0+1=3从而x0=1。代入得y0=1。切点坐标为（1，1）。切线方程为y+1=3(x1)，即3xy4=0。14【解析】（1），割线AB所在直线方程是y=2(x4)，即2x+y8=0。（2）由导数定义可知y=2x+4，2x+4=2，x=3，y=32+34=3。在曲线上存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行，C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y9=0。15. 【解析】(1)则过点P且以P(1，2)为切点的直线的斜率，所求直线方程为y2.(2)设切点坐标为，则直线l的斜率直线l的方程为又直线l过点P(1，2)，解得x01(舍去)或.故

31、所求直线斜率，于是：，即。导数的计算【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。3. 能熟练运用四则运算的求导法则， 4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”【要点梳理】知识点一：基本初等函数的导数公式（1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3），（4），（5），（6），（7），（8）， ，这样的形式。要点诠释：1常数函数的导数为0，即C=0（C为常数）其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴 2有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n1）次幂的乘积，即（nQ）

32、特别地，。 3正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x）=cos x 4余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x）=sin x5指数函数的导数：，6对数函数的导数：，有时也把 记作： 以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可 知识点二：函数的和、差、积、商的导数运算法则：（1）和差的导数：（2）积的导数：（3）商的导数：（）要点诠释： 1. 上述法则也可以简记为： （）和（或差）的导数：， 推广： （）积的导数：， 特别地：（c为常数） （）商的导数：， 两函数商的求导法则的特例 ， 当时， 这是一个函数倒数的求导法则 2两函数积与商求导公式的说明（1）类比：，（v0），注意

33、差异，加以区分 （2）注意：且（v0） 3求导运算的技巧 在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量知识点三：复合函数的求导法则 1复合函数的概念 对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数 要点诠释： 常把称为“内层”， 称为“外层” 。2复合函数的导数 设函数在点x处可导，函数在点x的对应点u处也可导，则复合函数在点x处可导，并且，或写作3掌握复合函数的求导方法 （1）分层：将复合函数分出内层、外层。（2）各层求导：对内层，外

34、层分别求导。得到（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到 的导数。要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层求导回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。【典型例题】类型一：求简单初等函数的导数例1. 求下列函数的导数：（1）y=x13；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。【解析】 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。【点评】（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程

35、，降低运算难度。（2）准确记忆公式。（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。举一反三：【导数的计算229880 例题1】【变式】求下列函数的导数：（1）；（2） （3）； （4）【答案】（1）.（2）.（3），.（4）.类型二：求函数的和、差、积、商的导数例2. 求下列函数导数：（1）；（2）y x sin x ln x；（3）y ；（4）y 【解析】 （1）法一：去掉括号后求导.法二：利用两个函数乘积的求导法则 =2x(2x3)+(x2+1)2=6x26x+2（2）y(x sin x)ln x x sin x (ln x)(sin x x cos x) ln x sin x（3

36、）y.（4）y【点评】（1）如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；（2）求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简。（3）求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心。举一反三：【变式1】求下列各函数的导函数（1） （2）y= （3）y= 【答案】（1）法一： 法二： =+ （2）=（）=【变式2】求下列函数的导数.（1）（2） y （3）.【答案】（1）（2）y(sin x x cos x)(cos x x sin x)(sin x x cos x)(cos x x sin x)(cos x cos x x sin x) (cos x x sin x)(sin x x co

37、s x) (x cos x)（3）， .【变式3】求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；【答案】 （1） 。（2）。（3），。类型三：求复合函数的导数例3求下列复合函数的导数：(1)f(x)ln(8x)； (2)y5log2(2x1) (3)ysin2xcos2x.【解析】 (1) 因为f(x)ln(8x)ln8lnx，所以f(x)(ln8)(lnx). (2) 设y5log2u，u2x1，则y5(log2u)(2x1).(3) 法一：y(sin2xcos2x)(sin2x)(cos2x)2cos2x2sin2x2sin(2x)法二：ysin(2x)，ycos(2x) 22sin(2x)【

38、点评】 把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量，注意逐层求导，不能遗漏。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。举一反三：【导数的计算229880 例题2】【变式1】求下列函数导数. （1）； （2）； （3）.【答案】（1）， （2），.（3），.例4 求下列函数导数. (1)（2015春 拉萨校级期中改编） （2）【解析】令，则， （2）设，=cosv，则 在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤： 【点评】 （1）复合函数求导数的步骤是：分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个

39、变量求导数（简称分层求导）；将中间变量代回为自变量的函数。简记为分解求导回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了，即分解（复合关系）求导（导数相乘）。（2）同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。举一反三：【变式1】 （2015春 郑州期末）若函数，则是（ ）A.仅有最小值的奇函数B.仅有最大值的偶函数C.既有最大值又有最小值的偶函数D.非奇非偶函数【答案】C【解析】因为函数，当时，取得最小值；当时，取得最大值2；且。即是既有最大值又有最小值的偶函数。【变式2】求下列函数导数：（1）（2）（）。（3）y=ln（x）；【答案】 （1） （2）方法一： 。方法二：，

40、 。（3）=类型四：利用导数求函数式中的参数【基本不等式392186 例题1】例5 （1），若，则a的值为（ ）A B C D（2）设函数，若是奇函数，则=_。【解析】 （1），故选A。（2）由于，若是奇函数，则，即，所以。又因为，所以。【点拨】 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可。【导数的计算229880 例题3】【变式1】已知是关于的多项式函数，（1）若，求；（2）若且，解不等式.【解析】显然是一个常数，所以所以，即所以，可设 由，解得【变式2】已知函数过点（1，5），其导函数的图象如

41、图所示， 求的解析式。【答案】，由，得，解得，函数的解析式为。例6已知函数可导，若，求【解析】 （） （令t=x2，x1，t1） 【点拨】 善于观察极限式中的结构和导数的定义的关系是解决本题的关键。举一反三：【变式】已知函数可导，若，求【答案】 【巩固练习】一、选择题1设函数，则（ ）A0 B1 C60 D602（2014 江西校级一模）若，则的解集为（ ）A.(0,1) B. C. D.3（2014春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ）A. B. C. D.4函数的导数是（ ）A B0 C D5（2015 安徽四模）已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（ ） 2 B.-2 C.

42、 D.6设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ）A2 B C D27的导数是（ ）A B C D二、填空题8曲线y=sin x在点处的切线方程为_。9设y=(2x+a)2，且，则a=_。10_，_。11在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x310 x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_。三、解答题12已知，求适合的x的值。13（1）；求（2）已知，求。14求曲线在点处的切线方程。15已知，求。【答案与解析】1【答案】D 【解析】 ，。2【答案】A【解析】,函数的定义域为 ，则由，得 ，即 即不等式的解集为（0,1），故

43、选A。3【答案】C【解析】 对于选项A, 成立，故A正确。对于选项B, 成立，故B正确。，故C不正确。对于选项D，成立，故D也正确。4【答案】D 【解析】 ，则。5【答案】B 【解析】令，则，即，故选D。6【答案】D 【解析】 由，求导得，所以切线斜率，则直线ax+y+1=0的斜率为2，所以a=2，即a=2。7【答案】A 【解析】 ，。8【答案】y=1 【解析】 ，从而切线方程为y=1。9【答案】1 【解析】 ，且x=2，则a=1。10【答案】， 【解析】 ；11【答案】 （2，15） 【解析】 ，令，P在第二象限x=2P（2，15）。12【解析】，则，即。13【解析】（1）； （2） ，。1

44、4【解析】，则。切线方程为即5x+32y-7=0。15【解析】，则，即， 。导数的应用一-函数的单调性【学习目标】 1. 理解函数的单调性与其导数的关系。2. 掌握通过函数导数的符号来判断函数的单调性。3. 会利用导数求函数的单调区间。【要点梳理】要点一、函数的单调性与导数的关系我们知道，如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说在这一区间具有单调性，先看下面的例子：函数的图象如图所示。考虑到曲线的切线的斜率就是函数的导数，从图象可以看到：在区间（2，+）内，切线的斜率为正，即时，为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，即时，为减函数。导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内

45、有导数，则在这个区间上，若，则在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数；若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）要点诠释：1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。2.若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。3. 在

46、某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.4.只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.5.注意导函数图象与原函数图象间关系. 要点二、利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法设函数在区间（a，b）内可导，（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。要点诠释：（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。（2）或恒成立，求

47、参数值的范围的方法分离参数法：或。要点三、利用导数求函数单调区间的基本步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）在函数的定义域内解不等式或；（4）确定的单调区间。或者：令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。要点诠释： 1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。【典型例题】类型一：求函数的单调区间【函数的单调性370874 例1】例1.确定下列函数的单调区间(

48、1)y=x39x2+24x (2)y=3xx3【解析】(1) y=(x39x2+24x)=3x218x+24=3(x2)(x4)令3(x2)(x4)0，解得x4或x2.y=x39x2+24x的单调增区间是(4，+)和(，2)令3(x2)(x4)0，解得2x4.y=x39x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)y=(3xx3)=33x2=3(x21)=3(x+1)(x1)令3(x+1)(x1)0，解得1x1.y=3xx3的单调增区间是(1，1).令3(x+1)(x1)0，解得x1或x1.y=3xx3的单调减区间是(，1)和(1，+)【点评】（1）解决此类题目，关键是解不等式或。（2）注意写单调

49、区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：（1） （2）；（3）；【答案】（1）。令3x24x+10，解得x1或。因此，y=x32x2+x的单调递增区间为（1，+）和。再令3x24x+x0，解得。因此，y=x32x2+x的单调递减区间为。（2）函数的定义域为（0，+），。 令，即， 结合x0，可解得； 令，即， 结合x0，可解得。的单调递增区间为，单调递减区间为。（3）。0 x2，使的，则区间0，2被分成三个子区间。如表所示：x0+000+所以函数（0 x）的单调递增区间为和，单调递减区间为。例2. 已知函数，求函数的单调区间并说明其单调性。【解

50、析】图像的对称轴为且时值为。所以有如下讨论： 【点评】（1）解决此类题目，关键是解不等式或，若中含有参数，往往要分类讨论。（2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区间，即定义域优先考虑的原则。举一反三：【变式1】（a0且a1）。【答案】 函数的定义域为R。当a1时，函数在（，+）上是增函数。当0a1时，函数在（，+）上是减函数。【变式2】已知aR，求函数的单调区间.【答案】.（1）当a=0时，若x0，则；若x0，则.所以，当a=0时，函数在区间（，0）内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（2）当a0时，由2x+ax20，解得或x0；由2x+ax20，解

51、得.所以，当a0时，函数在区间内为增函数，在区间内为减函数，在区间（0，+）内为增函数.（3）当a0时，由2x+ax20，解得；由2x+ax20，解得x0或.所以，当a0时，函数在区间（，0）内为减函数，在区间内为增函数，在区间内为减函数.类型二：判断、证明函数的单调性例3当时，求证：函数是单调递减函数.【解析】，故函数在上是单调递减函数.【点评】 判断、证明函数的单调性的步骤：1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号,下结论。举一反三：yxOyxOyxOyxOABCD 【函数的单调性370874 例3】【变式1】设是函数f（x）的导函数，将y= f（x）和的图象画在同一个直角坐

52、标系中，不可能正确的是（ ）【答案】D【变式2】（2015 菏泽一模）若 ，则下列各结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，令 解得， 当时， ，为减函数，当时，为增函数， ，故选D。 例4设，讨论函数的单调性.【解析】. 当时 .（i）当时，对所有，有.即，此时在内单调递增.（ii）当时，对，有，即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增（iii）当时，令，即.解得.因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增.令，解得.因此，函数在区间内单调递减.【点评】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒

53、小于0。（2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。（3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了。举一反三：【变式】已知函数，, a0 ，w讨论的单调性. 【解析】由于令 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当,即时, 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数. 当,即时w.w.w.k.s.5

54、.u.c.o.m 由得或 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 或或又由得综上 当时, 在上都是增函数. 当时, 在上是减函数, w.w.w.k.s. 在上都是增函数.类型三：已知函数单调性，求参数的取值范围例5 ( 2015 秋 广东月考)若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【思路点拨】若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上恒成立，即在区间 上恒成立， 令，利用导数法求出函数的最小值，可得答案。【解析】若函数 在区间 上单调递增，则 在区间 上恒成立，即在区间 上恒成立，即在区间 上恒成立， 令，则，令 当时， ，为减函数；当时， ，

55、为增函数；故当时，取最小值4，故选B。【总结升华】（1）在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。（2）恒成立，则；恒成立，只需，这是求变量a的范围的常用方法。举一反三：【变式1】 已知函数，。若在上是增函数，求a的取值范围。【答案】 由已知得，在（0，1上单调递增，即在x（0，1上恒成立。令，又在（0，1上单调递增，a1。当a=1时 ，对x（0，1）也有，a=1时，在（0，1上也是增函数。综上，在（0，1上为增函数，a的取值范围是1，+）。 【变式2】已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围【答案】，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围

56、为【变式3】设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.【答案】（1）当时，则恒成立，此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为，不合题意；（2）当时，当时，函数有三个单调区间，增区间为：；减区间为：，.【变式4】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-f(x), 试问：是否存在实数，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.【答案】假设存在实数满足题设. F(x)=g(x)-f(x)=(x4+2x2+2)-(x2+1)=x4-(-2)x2+(2-), F(x)=4x3-2(-2)x,令4x3-2(-2)x=0, （1）

57、若2，则x=0. 当x(-,0)时，F(x)0. F(x)在(-,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，显然不符合题设. （2）若2，则x=0或， 当时，F(x)0；当时，F(x)0.F(x)的单调增区间是，单调减区间是，. 要使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数，则，即=4. 故存在实数=4，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数。【巩固练习】一、选择题1(2015 郴州模拟)已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）2下列命题成立的是()A若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x(a，b)，都有f(x)0B若在(

58、a，b)内对任何x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)上是增函数C若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f(x)必存在D若f(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数3.（2015 新课标理）设函数f(x)是奇函数f(x)（xR）的导函数，f(1)=0，当x0时，xf(x)f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是（ ）A(,1)(0,1) B(1,0)(1,+) C(,1)(1,0) D(0,1)(1,+) 4函数的单调递增区间是（ ）ABCD（，e）5. 设在（0，+）内单调递增，则p是q的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6（2

59、015 南阳校级三模）函数的定义域为R，对任意都有成立，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R内恒成立的是（ ）A B C D二、填空题8函数的单调减区间为 . 9函数yxsinxcosx，x(，)的单调增区间是_10函数yln(x2x2)的单调递减区间为_11若函数yx3ax24在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是_三、解答题12 已知函数,设求函数的单调区间；13. 已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围14已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在

60、区间内是减函数，求的取值范围15(2015 广东) 设a1，函数f(x)=(1+x2)exa.（1）求f(x)的单调区间；（2）证明：f(x)在(，+)上仅有一个零点；（3）若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行（O是坐标原点），证明：.【答案与解析】1. 【答案】A【解析】根据导函数图象可知，函数在上单调增，在上单调减，因此可知函数的图象最有可能的是A。故选A。 2. 【答案】B.【解析】若f(x)在(a，b)内是增函数，则f(x)0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)2在(a，b)上的导数为f