数学建模之传染病模型

1、i(1)i(1)第五章微分方程模型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.1传染病模型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.SI模型假设条件：人群分为易感染者（Susceptibie和已感染者（Infective）两类人，简称为健康人和病人，在时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作sC）和i（t）.每个病人

2、每天有效接触的平均人数是九（常数），九称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述儿）变化的数学模型.解：sC）+iC）=1s（t）N+i（/）N=N由假设2知，每个病人每天可使九sC）个健康者变为病人，又由于病人数为NiC）,每天共有九s（/个健康人被感染.于是九Nsi就是病人数N的增加率，即有Ndi八Nsidt空八sidt精选文库精选文库- - 又记初始时刻（t二0）病人的比例为i0，则d=Xi(1-i)dtiG)=i0这就是Logistic模型，其解为i（t）=1(1)1+1e-九Ii丿0结果分析作出心t和dti的图形如下:di1.当i=.-2时，dt取到最

3、大值m(1)t=X-iln1Ii丿02.当tfg时，iT1即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.SIS模型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS模型.假设1、2同SI模型，增加假设：精选文库精选文库0 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为卩，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）Nd=XNsi_卩Ni修正为于是=Xi（1一i）一卩idti（0）=i0解得结果分析1令注意到

4、九和九一卩1九t+i丿oy1ivo_11,Xi的含义，可知b个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.2.接触数b=1是一个阈值.当b1时，i（t）的增减性取决于i的大小，其极限值iL）=1-丄.0b3.SI模型是SIS模型中R=0的情形.SIR模型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR模型三类人在总人数N中占的比例分别记作s0、i（t）和rC）.1.病人的日接解率为九，日治愈率为卩（与SIS模型相同），传染期接触数为解：由假设1，有dr由假设2,得Nr=.NisC)+i(t)+rC)=1dsdidr+=0dtdtdtdiN=九siN-dt于是drdtVdi、dt=九si-s,i(0)=i,r(0)=000didtds0,i0