数学建模葡萄酒的评价

1、葡萄酒的评价摘要葡萄拥有很高的营养价值，本文通过对葡萄酒的评价，以及酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标之间的关系进行讨论分析，对不同的酿酒葡萄进行了分类，并更深入讨论两者的理化指标是否影响葡萄酒质量。针对问题一，我们首先分别计算每类葡萄酒样品在两组组评酒师评价下的综合得分，以此作为每组评酒师的最终评价结果。再运用统计学中的T检验进行假设与检验，得出两组评价结果具有显着性差异。最后通过计算各组评价员的评价结果的标准差，以此推算稳定性指标值P,P值较大的可信度较高，得出P小与PP，进而得出第二组的评价结果更加可信。红1红2白1白2针对问题二，我们分别对两组葡萄进行分类。在这里我们采用聚类分析法和主成分分析

2、法，在matlab中实现对酿酒葡萄的分类。针对问题三，根据Z=口对附件2中的数据进行标准化处理，排除单位不同的影响。以酿o酒葡萄的30个一级理化指标作为自变量X,葡萄酒9个一级的理化指标作为因变量y,建立多元线性回归模型y二XP+8,得出酿酒葡萄的理化指标与葡萄酒的理化指标之间的联系即回归系数矩阵0。针对问题四，用灰色关联度分析对两者的关系进行度量，求得理化指标对样品酒的的关联系数。然后根据葡萄酒综合得分及指标的相关系数得出样品酒的综合指标，通过MATLAB软件对综合指标与第二问中葡萄酒的分数进行指数拟合，拟合效果不佳，因此不能定量的用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量，只能根据图像大致

3、猜测综合指标与葡萄酒的质量负相关。关键词：T检验聚类分析法主成分分析法Z分数多元线性回归一、问题重述确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题：分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显着性差异，哪一组结果更可信根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量

4、对这些酿酒葡萄进行分级。分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量二、问题分析葡萄酒的评价是一个复杂的过程，需要综合考虑不同评价员的评分，而且葡萄酒和葡萄的组成成分非常复杂，它们也要影响葡萄酒的质量，对如此繁多的数据，我们就必须依靠计算机工具，运用数学统计学知识对它们进行处理，并找出各个含量之间的关系，联系生活实际，对葡萄酒作出有理有据的评价。对于问题一：要想得到两组评价员的评价结果有无显着差异，并对它们的可靠性作出判断，我们首先就应该将两组评价员的对27组红葡萄酒和28组白葡萄酒的评价结果整

5、理出来，求得葡萄酒的综合得分，再运用统计学中的T检验进行假设与检验，判断两组是否存在显着性差异，再通过计算各组评价员的评价结果的标准差和稳定性指标，进而判断谁的结果更加可信。对于问题二：需要对葡萄进行分级，由于葡萄酒的质量与酿酒葡萄的好坏有直接关系，所以我们可以根据葡萄酒的质量对酿酒葡萄做一个简单的分级，之后，我们用主成分分析法算出每一组样本葡萄的哪些指标该葡萄的主成分，然后通过数据分析判断出这些成分哪些对葡萄酒的质量作出了贡献，筛选出主要成分后，对不同葡萄的成分做加权求和，以此作为葡萄分级的另一个依据。对于问题三：要想得到葡萄与葡萄酒的指标间的联系，即得到它们之间的函数关系表达式，必须求出两

6、者指标之间的相关系数。但是，由于它们各自的指标太多，此处仅以一级指标作为相关因素进行分析。令酿酒葡萄的30个一级指标作为自变量，葡萄酒的9个一级指标作为因变量，建立线性回归模型，通过最小二乘法计算出回归系数，即酿酒葡萄的指标与葡萄酒的指标间的相关性。对于问题四：题中想要求出理化指标对质量的影响，即各理化指标与质量的线性或非线性关系，但是，由于理化指标太多，并且并非没个理化指标都会对葡萄酒的质量造成影响，所以首先必须进行数据的筛选，这里我们使用SPSS软件进行典型相关性分析，找出哪些指标与质量有较大的关系,然后将这些指标设为自变量，将质量设为因变量，对它们进行多元线性拟合，最后得到一个多元表达式

7、以后，我们就可以通过这个方程来对葡萄酒的质量进行验证，如果验证的结果与评价员打分的结果基本吻合的话，就说明可以用葡萄与葡萄酒的理化指标来对葡萄酒的质量进行评价。三、基本假设1、假设评酒员对每种葡萄酒的评价结果是大致符合正态分布的；2、假设酿酒葡萄与葡萄酒中的芳香物质主要成分是：低醇、酯类、苯等，其余成份忽略；3、假设酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标中一级指标为主要影响。4、假设酿酒葡萄中存在的而葡萄酒中不存在的理化指标也会影响葡萄酒的理化指标及质量；5、假设不考虑多种葡萄可制成一种酒，只考虑一种葡萄制成一种酒；6、假设只考虑红葡萄制成红葡萄酒，白葡萄制成白葡萄酒，忽略去皮红葡萄可酿制白葡萄酒；7、假

8、设质量高的葡萄酒一定由质量好的酿酒葡萄制成，但是质量好的酿酒葡萄不一定能酿制成质量高的葡萄酒；8、A表示第i瓶酒的第j个指标无量纲化后的值ij9、B表示第i种酿酒葡萄的第j个指标无量纲化后的值ij10、M表示第i瓶酒的综合指标i四符号说明T:统计量Ta:khj第k组序号为h的样品第i个指标第j个品酒师的给分a:序号为h的样品中第i个指标第k组10位品酒师给分的平均值khi第k组第i个指标所占权重Skhi：第k组序号为h的样品第i个指标10位品酒师评分的标准差bkix:kh第k组序号为h的样品的稳定性指标p:红kP:白k第k组红葡萄酒的评分总平均稳定性指标第k组白葡萄酒的评分总平均稳定性指标Xi

9、j:为第i个样品的第j个指标:第i个葡萄样品的总得分第i个样品葡萄理化指标得分为i其中：第一个指标指澄清度，第二个指标指色调，第三个指标指香气纯正度，第四个指标指香气浓度，第五个指标指香气质量，第六个指标指口感纯正度，第七个指标指口感浓度，第八个指标指持久性，第九个指标指口感质量，第十个指标指平衡/整体评价。五模型建立与求解1问题一：葡萄酒评价结果的显着性差异及可信度分析5.1.1葡萄酒评价结果数据预处理对附件1中数据通过Excel筛选观察时可发现某些数据错误，如：第一组红葡萄酒品尝评分中酒样品20号下4号品酒员对于外观分析的色调评价数据缺失；第一组白葡萄酒品尝评分中酒样品3号下7号品酒员对于

10、口感分析的持久性评价数据为77，明显超过该项上限8；第一组白葡萄酒品尝评分中酒样品8号下9号品酒员对于口感分析的持久性评价数据为16，明显超过该项上限8等。对这些异常数据为减少其对于总体评价结果的影响，采取预处理：取该酒样对应误差项目其余品酒员评价结果平均值替代该异常数据。经过数据预处理可得出每一种类葡萄酒的综合得分，建立表1与表2。表1红葡萄酒总得分平均值红酒n12345678910第一组第二组746611121314151617181920第一组73第二组21222324252627第一组7873第二组72根据表1,用excel作出两组评酒师对每一类葡萄酒的评分折线图。图1表2红葡萄酒总得

11、分平均值白酒n12345678910第一组8271第二组11121314151617181920第一组7274第二组2122232425262728第一组71第二组77根据表2,用excel作出两组评酒师对每一类葡萄酒的评分折线图。图2根据图1、图2可初步简单看出两组评酒师的评价结果存在有显着性差异512葡萄酒评价结果差异性分析与可信度分析模型建立与求解t检验模型建立首先假定两个总体平均数间没有显着差异，即H:卩二卩012查T值表，比较计算得到的T值与理论T值，推断发生概率（一般为95%）。两个正态总体的均值检验模型是来自总体N（卩Q222的样本，假设X,X，,X是来自总体N（Q2）的样本Y,

12、Y，,Y且两样本独立。设卩,卩和Q2Q2均未知，其检验问题为212 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 且x_Y:(片-巴)Gi1112S+-3nnY12tCn+n-2).12当H为真时，统计量T的计算公式0o11S+-3nn12t(n+n-1212n1112n式中，c,i，（n-1）S2+（n-1）S2S=112缶.3n+n-2112查T值表，比较计算得到的T值与理论T值，推断发生概率（一般为95%），其中a为显着性水平，a二1-95100二0.05因此当|T|0.05则认为H不成立，两组评酒员对红葡萄酒的评价结果有显着性差异。（2）两组评酒员对

13、红葡萄酒的评价结果比较：分别计算出n二27,X二73.0556,S二7.342611T=0.02100.05,说明该两组评酒员对红葡萄酒的评价结果有显着性差异。（3）两组评酒员对白葡萄酒的评价结果比较：分别计算出n二2&X二73.9786,S二4.826611T=0.01291.1，再求出R的特征值的相应的正交单位化特征向量1=(i,1，1)T，则第i个主成分可表示为各指标X的线性组合z=IX。kii1i2imikiki=1计算综合得分。首先计算得到第i个样本中第k个主成分的得分为FIX,ikkijj=1再以申个主成分的方差贡献率为权重，求得第i个样品的综合得分f=F九(i=l,2,.n)。i

14、ikki=1模型求解：主成份序列1234567主成份花色苷缬氨酸干物质含量顺式白藜芦醇苷PH值多酚氧化酶活力果梗比主成份序列89主成份酪氨酸百粒质量表5红葡萄样品主成份及其排序表6葡萄样综合得红品分葡萄样品号综合得分分数排序对应样品号样品分差值1922332042253612768189110131111122138142615211651710181719272016211922242342425不能分在同一级，按照此方法，红葡萄可分成六级，一级到六级表示葡萄品质逐渐降低，具体情况如下表：表7红葡萄分级结果级数红葡萄样品号一级923二级28111326四级521五级

15、4710151617192425六级27本模型中主要以红葡萄样品的相关数据进行分级，按照同样的方法将白葡萄的相关数据代入,求得白葡萄分级如下：表8白葡萄分级结果级数白葡萄样品号一级27二级14101518222328三级5612131720四级231416212425五级78911195.3问题三：分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系数据预处理标准化及综合理化指标在处理附件2中数据时可以发现某些存在异常的数据值，如：葡萄理化指标中白葡萄百粒质量X|LXa的第三次检测值为2226.lg,明显超过其它两次的检测值。为避免异常数据值对分级结果的影响,取其它两次值的平均值替代该异常值。同时对数据进

16、行标准化处理，取其z分数：Z=其中，X为变量值，卩为平均数，a为标准差。Z分数表示的是此变量大于或小于平均数几个标准差。由于z分数分母的单位与分子的单位相同，故z分数没有单位，因而可以用Z分数来比较两个从不同单位总体中抽出的变量值。同时将原始数据直接转化为z分数时，常会出现负数和带小数点的值。5.3.2多元线性回归模型模型建立观察所给附件中的数据易知，影响酿酒葡萄与葡萄酒理化指标的因素往往不止一个，所以建立多元线性回归模型求解酿酒葡萄与葡萄酒两者理化指标之间的联系。设变量Y与变量X,X，,X间有线性关系12Py二B+Bx+px,+px+8.01122PP式中，8NCq2)B,B，,B和b2是未

17、知参数，P2。01P设(x,x，,x,y),i二1,2,.,n是(X,X，,X,Y)的n次独立观测值，则多元线性模型可表示i1i2ipi12P为yB+Bx+Bx,+Bx+8i=1,2,.,ni01i12i2PiPi式中，8GN2),且独立同分布。可用矩阵形式表示，令i则多元线性模型可表示为yXB+8。式中E(8)=0,Var(8)=b2/.n模型求解类似于一元线性回归，求参数的估计值，就是求最小二乘函数Q)-(y-XB)t(y-XB).达到最小的B值，可以证明的最小二乘估计B(XtXXty.从而可得经验回归方程为P-卩+卩x+卩x,.,+px.01122PP将酿酒葡萄看做自变量，葡萄酒看做因变

18、量。注意，计算时用的是经过处理后的z分数表。我们用X(1i30)表示酿酒葡萄的30个一级指标，作为自变量X；用Y.(1jRRRR.23451同理可得：白葡萄酒的关联度大小关系为：RRRRR.43215由以上说明醇类物质等理化指标对葡萄酒的质量有重要影响，然而影响葡萄及质量的因素不止这些。比如：葡萄果实中糖的成分的多少，是制约发酵后葡萄酒的酒精度的要素。因此我们建立了综合指标评价模型来论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量。综合指标评价模型：模型建立：综合指标计算公式：每一瓶酒对应一个综合指标红葡萄酒有27个综合指标M(1i27)i白葡萄酒有28个综合指标M(1i28)i模型求解：利

19、用计算机编程求解出每瓶葡萄酒的综合指标M(程序见附录)见下表:i红葡萄酒编号分数综合指标白葡萄酒编号分数综合指标1351151262255943333781447092457751815326148961172540773086087359132963010688102291121311505122095812301348981328414914639815871415211695161317641737618455321877231988197467207653276201521162134322132226623157232024127241842514012252926159626225

20、7279782710212812利用matlab拟合综合指标的值与第二问中葡萄酒的分数得到下图:红葡萄酒：去除一个奇点后用指数函数拟合得下图拟合结果：f(x)a=b=R-square:=a*exp(b*x)+011+013,+013)白葡萄酒：用指数函数拟合后如下图：拟合结果：f(x)=a*exp(b*x)a=1215+004,+004)b=,R-square:由R-square值可以看出两组曲线拟合的结果不好，变换拟合函数尝试数次后所得拟合结果均不理想，因此我们认为不能定量的用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量，只能根据图像大致猜测综合指标与葡萄酒的质量负相关六模型评价优点：1本文在建

21、模过程中，使用了建模与软件分析相结合的方法，提高了计算结果的准确性；本文在求解是对同一问题使用两种不同方法，使模型得出的结果更加可靠；本文在建模过程中使用的方法简单有效，在原模型的基础上又有一定的创新。缺点：通过经验设定综合指标进行求解，简化了相应的数学模型，只是缺少对综合指标设立的检验，依据性不强。七参考文献陈光亭裘哲勇数学建模高等教育出版社2010年2月王宏洲数学建模优秀论文清华大学出版社2011年9月姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社，2011年。白凤山、么焕民等，数学建模（上册），哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2003年。附录6o00o00Oz9O9LQOL

22、Q寸O寸CQOCOCS1OCM1HOiHXXTCMCO寸L09006Oji11CMJicoL0ji00T6To0TCMCMCMCOCM寸CML0CM9CMZCM00CM6CMOCOL)LlXAL)LlXAsff回呂榮型芒圉薛山坷Bsmsff回呂榮snllfwBsy坷薛0代码T检验functionH,P,CI=ttest(X,Y)%H表示在显着性水平为下，H=1时能拒绝原假设，验的零假设H0为两总体均值之间不存在显着差异%p拒绝HO有显着性差异%Cl均值口的置信区间不跨越0时说明有显着性差异Muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(X)%Muhat为均值muci为均

23、值置信区间%sigmahat为标准差sigmaci标准差置信区间a=Muhat;b=sigmahat;Cx=b/a%X的变异系数Muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(Y)%Muhat为均值muci为均值置信区间%sigmahat为标准差sigmaci标准差置信区间a=Muhat;b=sigmahat;Cy=b/a%Y的变异系数如果CxCy,则说明x比y更可靠ifCxCydisp(x比y变异系数小，更稳定，结果更可靠)elsedisp(y比x变异系数小，更稳定，结果更可靠)endend聚类分析程序：x=746672;opts=statset(Display,fi

24、nal);%显示每次聚类的最终结果%将原始的5个点聚为3类，距离采用绝对值距离，重复聚类5次，显示每次聚类的最终结果idx=kmeans(x,4,Distance,city,Replicates,27,Options,opts)%*绘制聚类轮廓图*x=746672;%例中的观测数据%将原始的5个点聚为3类，距离采用绝对值距离，重复聚类5次idx=kmeans(x,4,Distance,city,Replicates,27);S,H=silhouette(x,idx)%绘制轮廓图，并返回轮廓值向量S和图形句柄H%例中的观测数据opts=statset(Display,final);%显示每次聚类

25、的最终结果%将原始的5个点聚为3类，距离采用绝对值距离，重复聚类5次，显示每次聚类的最终结果idx=kmeans(x,4,Distance,city,Replicates,27,Options,opts)%*绘制聚类轮廓图*x=746672;%例中的观测数据%将原始的5个点聚为3类，距离采用绝对值距离，重复聚类5次idx=kmeans(x,4,Distance,city,Replicates,27);S,H=silhouette(x,idx)%绘制轮廓图，并返回轮廓值向量S和图形句柄Htitle(聚类分析(红葡萄酒K均值聚类)%为X轴加标签主成分分析程序：PHO=;%代入数据%*调用pcaco

26、v函数根据相关系数矩阵作主成分分析*%返回主成分表达式的系数矩阵COEFF,返回相关系数矩阵的特征值向量latent和主成分贡献率向量explainedCOEFF,latent,explained=pcacov(PHO)%为了更加直观，以元胞数组形式显示结果result1(1,:)=特征值,差值,贡献率,累积贡献率;result1(2:7,1)=num2cell(latent);result1(2:6,2)=num2cell(-diff(latent);result1(2:7,3:4)=num2cell(explained,cumsum(explained)%以元胞数组形式显示主成分表达式s=;x1:;x2:;x3:;x4:;x5:;x6:,x7:,x8:;result2(1,2:4)=Prin1,Prin2,Prin3;result2(2:7,2:4)=num2cell(COEFF(:,1:3)回归系数求解functionbeta_hat,Y_hat,sta