16值域核与不变子空间

1、1.6值域、核与不变子空间 一、定义和若干性质 定义 1.2.1 (P.23) 线性变换的象空间和零空间 设线性映射T：VU， 值域 R(T)=： V ，=T()U 核空间 N（T）=： V，T ( ) =0 定理1.10 N(T), R(T)分别是V,U的子空间 基于以上原因，所以T值域又称为T的象子空间， 的核子空间又称为的零子空间. 1定义1.14 设T是线性空间V上的线性变换，R(T)的维数称为T的秩，记为rankT；而N(T)的维数称为T的零度或亏度，记为nullT. T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T）定理1.11 设T是n维线性空间V上的线性变换，且T在V的

2、一组基 下的矩阵是A，则（1）T的值域R(T)是 生成的子空间，即（2）T的秩 =r(A). 2例1.35由例1.31知R3上的投影变换f:(a,b,c)(a,b,0)，在自然基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3-(0,0,1)下的矩阵为由定理1.11知的T秩 =2. 事实上，由例1.34知：R3上的投影变换f的值域就是xoy平面. 3定理1.12设V,U分别是数域P上的n维和m维线性空间， T:VU的线性映射，则Dim R(T)+dim N(T)=n4设A为阶矩阵，称为矩阵A的值域；为A的核 。、称为的秩和零度。 （2）推论 （3），n为A的列数。 （1）（2）5例1.36设

3、在R22上的线性变换定义为求T的值域R(T)及核子空间N(T)基与维数，并问R(T)+N(T)是否是直和？6=定理1.13 设V,U是有限维线性空间,线性变换T:VU则T是单射当且仅当N（T）=0 ;T是满射当且仅当R(T)=U.7定理1.14 设V是n维线性空间,线性变换T：VV则以下条件等价： （1） T是单射；（2） T是满射；（3） T是双射。8二、R上线性方程组求解理论设把A看成RnRm的线性映射x Rn,xy=Ax RmA=(1, 2, n)则有定理1.15(1)R(A)=Span1, 2, n;(2) dimR(A)=r(A),其中r(A)是A的秩.9我们利用线性映射中零空间与值

4、域的概念，来讨论线性方程组的求解问题定理1.16设则（1）线性方程组有解当且仅当（2）线性方程组有唯一解当且仅当（3）线性方程组有无穷多解当且仅当10推论 在上面的定理中，取b=0,则有（1）线性方程组必有解；（2）线性方程组只有零解当且仅当（3）线性方程组有无穷多解当且仅当11关于矩阵秩的有关结论定理1.17设ARmn,BRnl,则（1）r(AB)=r(B)-dimN(A)R(B)（2）r(AB)=r(A)-dimN(BT)R(AT)证明：我们定义线性映射C ：R(B)R(A),xy=Ax R(A)则N(C)=R(B)N(A),R(C)=R(AB).事实上，若x R(B)且Ax=0,则x R

5、(B) N(A),从而N(C)R(B)N(A),反之若x R(B) N(A),则 x R(B)且x N(A),12所以Ax=0,从而xN(A),故N(C)R(B)N(A),于是N(C)R(B)N(A)。又 R(C)=A(R(B)=A(B(Rl)=AB(Rl)=R(AB)由维数公式知 dimR(B)= dimR(C)+dimN(C)=dimR(AB)+ dimN(A)R(B)也即r(AB)=r(B)-dimN(A)R(B)。又由r(BTAT)=r(AB)以及r(B)=r(BT)知r(AB)=r(A)-dimN(BT)R(AT)成立。13推论 Sylverster不等式：minr(A),r(B)r

6、(AB)r(A)+r(B)-n其中，n是矩阵A的列数。证明：左边显然成立。对于右边，由于dimR(B)N(A) dimN(A)利用上面的定理则有R(AB)=r(B)- dimR(B)N(A)r(B)-dimN(A)=r(B)-n-r(A)=r(B)+r(A)-n.14定理1.18 设ARnn,则下列条件等价1） N(A)=N(A2);2） dimN(A)=dimN(A2);3） r(A)=r(A2);4） R(A)=R(A2);5） N(A)R(A)=0;6） Rn=N(AR(A);7）,其中P是n阶可逆矩阵，D的r阶可逆矩阵，r=r(A).8） A=QA2.15定理1.19 设A Rnn,则以下条件等价：1）A2=A;2）R(A+I)=N(A-I)以及R(AI)=N(AI)；3） r(A+I)+r(A-I)=n;4) Rn=N(A+I)+N(A-I).16例1.37 平面上全体向量，对如下定义的加法和数乘 则R2按照上述定义不构成R上的线性空间。17例38设 记求证L(A)为R22的线