电路第五版第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

1、第十三章 非正弦周期电流电路首 页本章重点和信号的频谱非正弦周期信号 13-1非正弦周期函数分解为傅里叶级数 13-2有效值、平均值和平均功率 13-3非正弦周期电流电路的计算 13-4对称三相电路中的高次谐波*13-5傅里叶级数的指数形式*13-6傅里叶积分简介*13-72. 非正弦周期函数的有效值和平均功率 重点3. 非正弦周期电流电路的计算1. 周期函数分解为傅里叶级数返 回13-1 非正弦周期信号 生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。 非正弦周期交流信号的特点(1) 不是正弦波 (2) 按周期规

2、律变化下 页上 页返 回例1-2示波器内的水平扫描电压。周期性锯齿波下 页上 页例1-1半波整流电路的输出信号。返 回脉冲电路中的脉冲信号。 Tt例1-3下 页上 页返 回交、直流共存电路。例1-4+V Es 下 页上 页返 回 13-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数若周期函数满足狄里赫利条件：周期函数极值点的数目为有限个。间断点的数目为有限个。在一个周期内绝对可积，即可展开成收敛的傅里叶级数注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足狄里赫利条件。下 页上 页返 回直流分量基波（和原函数同频）二次谐波（2倍频） 高次谐波周期函数展开成傅里叶级数：下 页上 页返 回也可表示成系数之间的关系为下 页

3、上 页返 回求出A0、ak、bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。系数的计算：下 页上 页返 回利用函数的对称性可使系数的确定简化偶函数奇函数奇谐波函数注意 T/2t T/2f (t) O T/2t T/2f (t) Otf (t)T/2TO下 页上 页返 回周期函数的频谱图：幅度频谱 AkmOk1相位频谱 下 页上 页返 回的图形 的图形 周期性方波信号的分解。例2-1解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为 直流分量：谐波分量：k为偶数k为奇数tT/2TO下 页上 页返 回（k为奇数）的展开式为下 页上 页返 回ttt基波直流分量三次谐波五次谐波七次谐波周期性方波波形分解下 页上 页返 回

4、基波直流分量直流分量+基波三次谐波直流分量+基波+三次谐波下 页上 页返 回IS0下 页上 页IS0等效电源返 回tT/2TO矩形波的幅度频谱矩形波的相位频谱下 页上 页返 回tT/2TOAkmOk1k1O-/2k13-3 有效值、平均值和平均功率1. 三角函数的性质正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数 sin2、cos2 在一个周期内的积分为。下 页上 页返 回三角函数的正交性。下 页上 页返 回2. 非正弦周期函数的有效值若则有效值:下 页上 页返 回下 页上 页返 回 周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。结论下 页上 页返 回3. 非正弦周期函数的平均值其直

5、流值为若其平均值为正弦量的平均值为下 页上 页返 回4.非正弦周期交流电路的平均功率利用三角函数的正交性，得下 页上 页返 回平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 结论下 页上 页返 回 13-4 非正弦周期电流电路的计算1. 计算步骤对各次谐波分别应用相量法计算。（注意:交流各谐波的 XL、XC不同，对直流 C 相当于开路、L 相于短路。）利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号。将以上计算结果转换为瞬时值叠加。下 页上 页返 回2. 计算举例例4-1方波信号激励的电路，求u, 已知：解(1) 方波信号的展开式为代入已知数据：下 页上 页返 回tT/2TORLC-+直流

6、分量：基波最大值：五次谐波最大值：角频率：三次谐波最大值：下 页上 页返 回 电流源各频率的谐波分量为 （2） 对各次谐波分量单独计算：（a) 直流分量 IS0 作用电容断路，电感短路下 页上 页返 回R-+IS0（b)基波作用XLR下 页上 页返 回RLC-+(c)三次谐波作用下 页上 页返 回RLC-+(d)五次谐波作用下 页上 页返 回RLC-+ (3)各谐波分量计算结果瞬时值叠加下 页上 页返 回求电路中各表读数(有效值)，例4-2下 页上 页返 回V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdA3A2V2V1A1a解(1)U0=30V作用于电路，L1、L2短路，C1

7、、C2开路。I0= IL20 = U0/R =30/30A=1A, IC10=0, Uad0= Ucb0 =U0 =30V下 页上 页返 回aiiC1iL2L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdaIC10IL20L1C1C2L2+_30bcdU0I0(2) u1=120cos(1 000t )V作用b并联谐振下 页上 页返 回j40j40j40j10a+_30cd(3) u2=60cos(2 000t+ /4)V作用并联谐振下 页上 页返 回j80j20j20j20a+_30cdi=I0+ i1 + i2 =1A 所求电压、电流的瞬时值为iC1= IC10 +iC11 +

8、iC12 =3cos(1000t+90) AiL2=IL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45) Auad= Uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos(1000t) Vucb= Ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45) V表A1的读数：表A2的读数：表A3的读数：表V1的读数：表V2的读数：下 页上 页返 回例4-3已知u(t)是周期函数，波形如图，L=1/2 H，C=125/ F，求理想变压器一次电流i1(t)及输出电压u2的有效值。2410.5u/Vt/ms12解当u=12V作用时，电容开路、电感短路，有O下 页

9、上 页返 回*C+2 : 18Lu*-j4j*+2 : 18*+8j4-j4+下 页上 页返 回振幅相量例4-4求Uab、i、及功率表的读数。解一次谐波作用：三次谐波作用：测的是u1的功率下 页上 页返 回+60j20+Wab*例4-5L=0.1H，C31F，C1中只有基波电流，C3中只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。解C1中只有基波电流，说明L和C2对三次谐波发生并联谐振。即下 页上 页返 回100LC3C2C1200 C3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一次谐波发生串联谐振。即直流作用：下 页上 页返 回100LC3C2C1200一次谐波作用：三次谐波作用：下 页上 页1

10、00C3200返 回100LC3C2C1200 *13-5 对称三相电路中的高次谐波设展开成傅里叶级数(k 为奇数) ，则有A相B相C相 1. 对称三相电路中的高次谐波下 页上 页返 回令 k =6n+1，(n =0,1,2,)，即：k =1,7,13, 讨论各相的初相分别为 正序对称三相电源令 k =6n+3，即：k =3,9,15, 下 页上 页返 回A相B相C相各相的初相分别为 零序对称三相电源令 k =6n+5，即：k =5,11,17, 各相的初相分别为 负序对称三相电源下 页上 页返 回A相B相C相A相B相C相结论三相对称的非正弦周期量（奇谐波）可分解为3类对称组，即正序对称组、负

11、序对称组和零序对称组。在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三相电路的分析计算，按3类对称组分别进行。对于正序和负序对称组，可直接引用第十二章的方法和有关结论。 2. 零序组分量的响应对称的三角形电源下 页上 页返 回零序组电压源是等幅同相的电源在三角形电源的回路中将产生零序环流 结论整个系统中除电源中有零序组环流外，其余部分的电压、电流中将不含零序组分量。 在环流的作用下零序线电压为零。 电源内阻下 页上 页返 回线电压 星形对称电源（无中性线对称系统） ZZZN+AN+B+C结论 除了中点电压和电源相电压中含有零序组电压分量外，系统的其余部分的电压、电流都不含零序组分量。 下 页上 页返

12、 回三相四线制对称系统 结论 除线电压外，电路中其余部分的电压、电流中都含零序组分量。NCZnZZZN+A+B+C下 页上 页返 回 *13-6 傅里叶级数的指数形式1. 傅里叶级数的指数形式利用欧拉公式有下 页上 页返 回三角形式下 页上 页返 回指数形式确定系数因为下 页上 页返 回画傅里叶级数指数形式的频谱时注意画出 ck 对正、负k 的关系，频谱图对于纵轴对 称，只要研究“正半边”即可，其线谱“高度”是傅氏频谱的一半。画出 ck的辐角与k 的关系得相位频谱例6-1试将矩形波展开为指数形式的傅氏级数，并画出幅度频谱和相位频谱。tT/2TO-Em解下 页上 页返 回下 页上 页返 回幅度频谱相位频谱 *13-7 傅里叶积分简介下 页上 页返 回上式表述的频谱函数是离散的线状频谱， 相邻谱线之间的频差注意1. 傅里叶级数积分（正变换）下 页上 页返 回当T时， 0，离散的线状频谱将变为连续的频谱，即ck变为