数学分析3数分参考答案e13

1、13.1 平中的点集华南师范学数学科学学院, 东州 510631例题例 1 记 D = (x, y)|2x x2 + y2 4. 试解: 点集 D 的图形如图所. 满不等式D, 外点所成的集合和边界 D.点集 D 的2x x2 + y2 4的点 (x, y) 都是 D 的内点, 因此 D 的是两个圆 (x 1)2 + y2 = 1 和 x2 + y2 = 4 之间 (不含圆周)的部分, 即 D = (x, y)|2x x2 + y2 4;D 的外点是圆以外以及圆以内的点;D 的边界是这两个圆周, 即2222D = (x, y)|2x = x + y (x, y)|x + y = 4.2例 2

2、记 D = (x, y)|2x x2 + y2 4. 试点集 D 的导集和孤立点.解: 点集 D 的图形如图所. 注意到个点集的内点当然是此点集的聚点, 外点不是聚点; 又 D 的边界 D 显然也是 D 的聚点. 因此, D 的导集是两个圆 (x 1)2 + y2 = 1 和 x2 + y2 = 4 之间 (包含圆周)的部分, 即 D = (x, y)|2x x2 + y2 4.点集 D 的每个点的任意邻域中都有 D 的穷多个点, 因此 D 孤点.2例 3 空集 和 R2 既是开集又是闭集.解: 容易看出 R2 既是开集又是闭集, 因为其中的每点都是内点, 且 R2 包含了的每个聚点. 上已经

3、论证过 是闭集, 知 = R2R2, 即空集作为 R2 的余集, 是开集.例 4 判断例 1 中的点集 D 是不是开集或闭集.解: 点集 D 不是开集, 因为圆 2x = x2 + y2 上的点属于 D 但却不是 D 的内点;点集 D 也不是闭集, 因为圆 x2 + y2 = 4 上的点是 D 的聚点却不属于 D.例 5 判断例 1 中的点集 D 是不是区域.22解: 连通的开集 D = (x, y)|2x x2 + y2 4 是开域; 闭集 D = (x, y)|2x x2 + y2 4 是闭域.点集 D 是区域, 因为 D 是由开域= (x, y)|2x x2 + y2 0 够, 使得 B

4、(x, y) 中没有 A的任何点且完全包含在 B 中. 故点集 B 是开集. B 的边界是 B = (0, 1 0, 1) (0, 1) (0, 1) A.点集 B 显然没有孤点. 容易看出, 点集 A 中的每个点还是 B 的聚点, 实际上, 点集 B 的聚点全体构成了闭矩形 0, 1 0, 1, 即 B = 0, 12.读者可以根据定义, 逐验证这些结论, 并在 R2 中画出这些点集的图形.思考题2不是开集的点集是否定是闭集? 不是闭集的点集是否定是开集?个点集的边界点是否定是这个点集的聚点? 反之又如何?在 R 中如何定义个集合的内点? R 中的集合可以视为 R2 中位于 x 轴上的点集,

5、 其内点是否也是 R2 中的内点?点集 (x, y) R2|xy 0 是否是区域?习题1. Cauchy 不等式证明向量的三形不等式和距离的三形不等式.证明. (1) 设向量 r1 = (x1, y1), r2 = (x2, y2), 则向量 r1 + r2 = (x1 + x2, y1 + y2), 下证： r1 + r2 r1 + r2.事实上，由 Cauchy 不等式 |r1 r2| r1 r2, 得222r1 + r2= (x1 + x2) + (y1 + y2)= x2 + 2x1x2 + x2 + y2 + 2y1y2 + y2121222= r1 + r2 + 2r1 r2 r1

6、2 + r22 + 2r1 r22= (r1 + r2) .故r1 + r2 r1 + r2.上, 任意两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2) 之间的距离就是差向量OP1 OP2P2P1(2) 在R2的长=度，记作 P1 P2, 即 P1 P2 =(x x ) + (y y ) , 下证：对上的任意三个点R2221212P1(x1, y1), P2(x2, y2) 和 P3(x3, y3)，成 P1 P2 P1 P3 + P3 P2.解法：如图， P1(x1, y1), P2(x2, y2) 和 P3(x3, y3) 为平上不共线的三个点 (共线时不等式的等号显然成).令向量 P3

7、P1 = r1, P2P3 = r2, 则向量 P2P1 = r1 + r2, 由上证明的结论 r1 + r2 r1 +r2,得P1 P2 P1 P3 + P3 P2.3解法：由 Cauchy 不等式的三形式： a2 + b2 + c2 + d2 (a + c)2 + (b + d)2, 得P1 P3 + P3 P2 = (x1 x3)2 + (y1 y3)2 + (x3 x2)2 + (y3 y2)2 (x1 x3 + x3 x2)2 + (y1 y3 + y3 y2)2= (x2 x2)2 + (y2 y2)2= P1 P2.故P1 P2 P1 P3 + P3 P2.2. 设 E R2 .

8、 证明 E 是有界集的充分必要条件是 d(E) .证明. (必要性) E 是有界集, 则存在某点 P0(x0, y0) 和某个正数 R, 使得 E U (P0; R),对 P1, P2 E, 由距离的三不等式，得P1 P2 P1 P0 + P0 P2 R + R = 2R.则d(E) = supP1 P2|P1, P2 E 2R .必要性得证.(充分性) 对任意固定的 P0 E, 对 P E, 有P0 P d(E) = supP1 P2|P1, P2 E ,故P U (P0, d(E),由 P 的任意性，有E U (P0, d(E).故 E 为有界集.充分性得证.3. 在平上画出下列点集的图形

9、, 说明这些点集是开集, 闭集, 区域或有界集等, 并写出这些点集的内点, 聚点和边界点所成的点集:(1)E = (0, 1 1/2, 3/2);(2)(4)(6)E = (x, y)|x = y ;22E = (x, y)|x + y 2x ;22(3)(5)解: (1)E = (x, y)|x =y ;22E = (x, y)|x + y 2x 且x + y 2y ;2222E = (x, y)|x, y N .点集 E 不是开集, 因为点集 (x, y)|0 x 1, y = 1/2 和点集 (x, y)|x = 1, 1/2 y 3/2上的点属于 E 但却不是 E 的内点;点集 E 也

10、不是闭集, 因为点集 (x, y)|0 x 1, y = 3/2 和点集 (x, y)|x = 0, 1/2 y 3/2 上的点是 E 的聚点却不属于 E.4(1). 图中阴影部分为点集 E.点集 E 是区域, 因为 E 是由开域 E = (0, 1) (1/2, 3/2) 连同其部分边界 (x, y)|0 x 1,y = 1/2, (x, y)|x = 1, 1/2 y 3/2 所组成的点集, 但 E 本既不是开域也不是闭域.点集 E 是有界集，因为 E 0, 1 1/2, 3/2 .内点所成的点集: E = (0, 1) (1/2, 3/2)聚点所成的点集: E = 0, 1 1/2, 3

11、/2边界点所成的点集: E = 0, 1 1/2, 3/2 (0, 1) (1/2, 3/2)点集 E 不是开集, 因为点集 E 的任何个点都不是它的的内点;(2)(2). 图中两条直线点集 E.点集 E 是闭集, 因为点集 E 的所有聚点都属于 E.点集 E 不是区域, 因为点集 E 不具有连通性.点集 E 是界集，因为对 P0(x), y0) 和任意的 R, 都有 E 不含于 U (P0, R).5内点所成的点集: E 没有内点集.聚点所成的点集: E = E边界点所成的点集: E = E点集 E 是开集, 因为点集 E 的任何个点都是它的的内点;(3)(3). 图中阴影部分为点集 E.点

12、集 E 不是闭集, 因为点集 E = (x, y)|x2 = y2 上的点是 E 的聚点却不属于 E.点集 E 不是区域, 因为点集 E 不具有连通性.点集 E 是界集，因为对 P0(x), y0) 和任意的正数 R, 都有 E 不含于 U (P0, R).内点所成的点集: E = E.聚点所成的点集: E = R2边界点所成的点集: E = (x, y)|x2 = y2点集 E 不是开集, 因为点集 (x, y)|x2 + y2 = 2x 上的点属于 E 但却不是 E 的内点;点集 E 是闭集, 因为点集 E 的所有聚点都属于 E.(4)点集 E 是区域, 因为 E 是由开域 E = (x,

13、 y)|x2 + y2 2x 连同其边界 (x, y)|x2 + y2 = 2x 所组成的点集, 且 E 是闭域.点集 E 是有界集，因为 E (x, y)|x2 + y2 2x .内点所成的点集: E = (x, y)|x2 + y2 0, 则 B(P ) B (P0), 即知 P 是U (P0) 的内点，故 U (P0) 是开集；(对于方领域) 对P (x, y) U (P0) = (x0 , x0+ )(y0 , y0+ ), 取 = min |xx0|, |yy0| 0,则 U (P ) = (x , x + ) (y , y + ) U (P0), 即知 P 是 U (P0) 的内点

14、，故 U (P0) 是开集.85. 证明 P0 是 E 的聚点等价于在 P0的任何个邻域 U(P0) 中都有 E 的点.证明. (必要性) P0 是 E 的聚点，根据聚点的定义, P0 的任何个邻域 U (P0) 中都含有 E 中穷多个点，从在 P0 的任何个邻域 U(P0) 中必有 E 的点.必要性得证.(充分性) (反证法) 假设 P0 不是 E 的聚点, 则在 P0 的某个邻域中只有 E 的有限个点， 记为minPk P0, 则 U(P0; ) E = , 与题设盾, 故假设不成,P0P1, P2, , Pn, 设 =是 E 的聚点.充分性得证.k=1,2, ,n6. 证明开集和闭集的下

15、述性质: 开集的余集是闭集, 闭集的余集是开集; 有限个开集的交 (并) 是开集, 有限个闭集的并 (交) 是闭集.证明. (1) 不妨设 E 是开集，则下证 Ec 是闭集，即对 Ec 的任聚点 P0，都有 P0 Ec.事实上，对 Ec 的任聚点 P0， P0 的任邻域都有不属于 E 的点，这样， P0 就不可能是 E 的内点，从 P0 / E, 于是 P0 Ec, 故 Ec 是闭集.(2) 不妨设 E 是闭集，则下证 Ec 是开集，即 Ec 中的每点都是 Ec 的内点.反证法：假设 Ec 不是开集, 由开集的定义知 Ec 中少有个点不是 Ec 的内点，设这个点为P0，根据内点的定义知，对点

16、P0 的任何邻域 U (P0), 都有 U (P0) 不含与 Ec, 即 U (P0) 中含有 E中的点，因此， P0 为 E 的聚点，由 E 是闭集知 P0 E，这与 P0 Ec 盾，故假设不成, 从 Ec 是开集.注 1 下面在证明有限个开集的交 (并) 是开集, 有限个闭集的并 (交) 是闭集的过程中，限个”集合的个数为 n = 2.取“有不妨设 F1, F2 为闭集，则下证 F1 F2 与 F1 F2 都为闭集.事实上，设 P 为 F1 F2 的聚点，由实数完备性章节聚点的等价定义，存在个各点互不相同的收敛于 P 的点列 Pn F1 F2, 因 F1 和 F2 少有个集合含有 Pn 的

17、穷多项，不妨设 Pnk F1, 于是也有 Pnk P (k ), 从 P 为 F1 的聚点，又因为 F1 为闭集，所以 P F1, 故 P F1 F2, 从 F1 F2 为闭集.同理，设 P 为 F1 F2 的聚点，则存在个各点互不相同的收敛于 P 的点列 Pn F1 F2,于是，点列 Pn F1, 且 Pn P ，从 P 为 F1 的聚点；点列 Pn F2, 且 Pn P ,从 P 为 F2 的聚点. 又因为 F1, F2 为闭集，所以 P F1 且 P F2 , 故 P F1 F2, 从 F1 F2 为闭集.不妨设 E1, E2 为开集，则下证 E1 E2 与 E1 E2 都为开集.事实上

18、，对 A E1 E2, 有 A E1 或 A E2, 不妨设 A E1, 则存在点 A 的某邻域 U (A),使得 U (A) E1, 从有 U (A) E1 E2, 因此, E1 E2 为开集.9(ii) 对 B E1 E2, 有 B E1 且 B E2, 由于 E1, E2 为开集, 则存在点 B 的某邻域 U (B, 1),使得 U (B, 1) E1, 也存在点 B 的某邻域 U (B, 2), 使得 U (B, 2) E2, 取 = min1, 2,则点 B 的邻域 U (B, ) E1 E2, 所以 E1 E2 为开集.7. 试叙述 R 中开集的定义, 并证明若 A 和 B 是 R

19、 中的开集, 则 A B 亦然.解: (1) 如果点集 E 的每个点都是 E 的内点, 则称 E 为开集.对 P (x, y) A B (其中 x A, y B),A 是开集, 则 x 的个 邻域, 使得 U (x, ) A, B 是开集则 y 的个 邻域, 使得 U (y, ) B,则有 (x , x + ) (y , y + ) A B,即存在点 P 的邻域 U (P ) A B,由 P 的任意性可知,A B 也是开集设 x0 是 A R 的聚点, y0 是 B R 的聚点, 证明 (x0, y0) 是 A B 的聚点.证明. 任取点 P (x0, y0) 的个领域 (x , x + ) (y ,