大学高等数学经典课件10-6

1、第六节 高 斯 公 式通量与散度 1.定理: 设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数.则有:此时,是的整个边界曲面的外侧,cos,cos,cos是上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦,以上二式称为高斯公式.注意: 高斯公式表达了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.证明:现在我们只要证第一式即可,因为一,二式右端相等,把第一式分为三式:现在证(3)xyz1:z=z1(x,y)3Dxy2:z=z2(x,y)条件:(1)设闭区域在xoy平面上的投影区域为Dxy:(2)设穿过内部且平行于z轴的直线与的

2、边界曲面的交点恰好是两个;(3)=1+ 2+ 31方程 z=z1(x,y) 2方程 z=z2(x,y) z1(x,y)z2(x,y)(4) 1取下侧, 2取上侧面, 3是以Dxy的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面上的一部分,取外侧面.则(3)式左边:(3)式右边:(简写)xyz1:z=z1(x,y)3Dxy2:z=z2(x,y)以上三式相加,有故(3)式成立,有对于(1)与(2)式,同样可得: 如果穿过内部,且平行于x轴的直线与的边界曲面的交点恰好为两个.有:如果穿过内部,且平行于y轴的直线与的边界曲面的交点恰好为两个.有:成立成立(1),(2),(3)式两端分别相加,即:即高斯公式2.

3、对不作限制时高斯公式仍然成立: 即穿过内部且平行于坐标轴的直线与的边界曲面交点多于两个,可引辅助面把分成有限个闭区域,使得每个闭区域满足条件并可见沿辅助面相反两侧面的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正好抵消,因而高斯公式仍然成立.例1 利用高斯公式计算曲面积分:xyzo其中为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧面.解:因为由已知:P=(y-z)x, Q=0, R=x-y柱面坐标计算例2 利用高斯公式计算曲面积分其中为锥面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h(h0)之间的部分的下侧,cos,cos,cos是在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦

4、.解:加辅助面1:z = h(x2+y2h2) 的上侧面 +1构成一个封闭曲面,才能应用高斯公式. 记+1围成的空间闭区域为. 用高斯公式:xyz所以所以二. 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 现在我们研究在怎样的条件下,曲面积分如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间二维单连通区域:如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.与曲面无关而取决于的边界曲线?这问题相当于在怎样的条件下,沿任意闭曲面的曲面积分为零?这问题可用高斯公式来解决.先介绍空间二维单连通区域及一维单连通区域的概念.对空间区域G例如球面所围成的区域既是空间二维单连通的,又是空间一维

5、单连通的;环面所围成的区域是空间二维单连通的,但不是空间一维单连通的;两个同心球面之间的区域是空间一维单连通的,但不是空间二维单连通的.对于沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件,我们有以下结论: 定理2设G是空间二维单连通区域,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在G内具有一阶连续偏导数,则曲面积分在G内与所取的曲面无关而只取决于的边界曲线(或沿G内任一闭曲面的曲面积分为零)的充分必要条件是在G内恒成立证明:若等式(4)在G内恒成立,则由高斯公式(1)立即看出沿G内任意闭曲面的曲面积分为零,因此条件(4)是充分的.反之,设沿G内的任一闭曲面的曲面积分为零,若等式(4)在G内不恒成立

6、,就是说在G内至少有一点M0使得按P146平面上曲线积分与路径无关的条件用的方法,可得到G内存在着闭曲面使沿该闭曲面的曲面积分不等于零,这与假设有矛盾因此条件(4)是必要的.其中为x2+y2+z2=1, (z0)的上侧面分析: 由于所以沿的曲面积分与沿xoy平面的平面区域x2+y2=1 (z=0) 的上侧的曲面积分相同,故例3 计算若在G内则曲面积分在G 内与所取曲面无关,而只取决于的边界曲线三.通量与散度下面来解释高斯公式(1) 的物理意义. 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1的)的速度场由给出,其中P,Q,R假定具有一阶连续偏导数,是速度场中一片有向曲面,又 n=cosi+cosj+c

7、osk 是在点(x,y,z)处的单位法向量,则由P160知道,单位时间内流体经过流向指定侧的流体总质量可用曲面积分来表示:表流体的速度向量v在有向曲面的法向量上的投影,如果是高斯公式(1)中闭区域的边界曲面的外侧,那么公式(1)的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量,由于我们假定流体是不可压缩的,且流动是稳定的,因此在流体离开的同时,内部必须有产生流体的“源头”产生出同样多的流体来进行补充.所以高斯公式左端可解释为分布在内的“源头“在单位时间内所产生的流体的总质量.为了简便起见,把高斯公式(1)改写为以闭区域的体积V除上式两端,得到上式左端表示内的源头在单位时间单位体积内所产生的流体

8、质量的平均值.应用积分中值定理于上式左端,得到这里的(,)是内的某个点,令缩向一点M(x,y,z),取上式的极限,得到上式的左端称为v在点M的散度,记作divv,即divv在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度-在单位时间单位体积内所产生的流体质量.叫做向量场高斯公式现在可写成如果divv为负,表示点M处流体在消失. 一般地,设某向量场由给出,其中P,Q,R具有一阶连续导数,是场内的一片有向曲面,n是在点(x,y,z)处的单位法向量,则A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)叫做向量场A的散度,记作divA,即而其中是空间闭区域的边界曲面,而是向量A在曲面的外侧法向量上的投影.散度的物理意义是单位时间内,质点流出的流量.高斯公式其中是闭区域的边界曲面的外侧面.应用高斯公式时容易出的错误: (1)p,Q,R的函数如何确定,它对什么变量求导. p是dydz前面的函数,dydz (缺少x),故p对x求偏导, 即缺少什么的函数对缺少的求导. (2)在不满足高斯公式的条件下,应用高斯公式计算. 高斯公式要求积分曲面是光滑的闭曲面.若它不是封闭的,则可加一块使它