微积分函数、极限、连续课件

1、引 言一、什么是高等数学 ?初等数学 研究对象为常量,以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生. 恩格斯1哪些主要的科学问题呢?有四种主要类型的问题.Archimedes2 第一类问题 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。3 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速

2、度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 第一类问题4 求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 第二类问题5 第二类问题 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。6 第四类问题 求曲线的长度、曲线所围

3、成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。9 困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。 第四类问题101. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分3. 向量代数与空间解析几何4. 无穷级数5. 常微分方程主要内容多元微积分11二、如何学习高等数学 ?1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.2. 学数学最好的方式是做数学.聪明在于

4、学习 , 天才在于积累 .学而优则用 , 学而优则创 .由薄到厚 , 由厚到薄 .马克思 恩格斯要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .华罗庚121 函数、极限与连续1.1 函数1.2 初等函数1.3 极限概念1.4 极限的计算1.5 无穷小量与无穷大量1.6 函数的连续性131.1 函数1.1.1 区间及邻域1.1.2 函数的定义1.1.3 医学中常用的函数表示法1.1.4 函数的性质141.1.1 区间及邻域区间 (interval)开区间ab闭区间ab半开半闭区间 (a,b、a,b)以上区间统称为有限区间无限区间 ( P

5、.1自学 )15邻域(neighborhood) 邻域是一种特殊的区间。点a的邻域aa -a +点a的空心邻域aa -a +右邻域 (a , a +)，左邻域 (a -, a)161.1.2 函数的定义 ( function) 设在某变化过程中有两个变量 x、y，如果对于 x 在某个范围D内的每一个确定的值,按照某个对应法则 f ，y 都有（唯一）确定的值与它对应，则称变量 y 是确定在D上的 x 的函数。 x ： 自变量 x的取值范围D： 定义域 y ： 因变量(函数变量) 函数值 y的取值范围： 值域，记为 f(D)(function)记为： y = f (x)，xD171. 决定一个函数

6、的因素有哪些？2. 如何确定函数的定义域？181.1.3 医学中常用的函数表示法列表法 用表格列示出x与y的对应关系。图像法 以数对(x,y)为点的坐标描绘出能反映x解析法 用等式表示出x与y的关系。 优点：便于查出函数值。 与y的对应关系的曲线。 优点：容易观察函数的变化趋势。 优点：便于从理论上对函数进行定性 研究与定量分析。19医学和物理学中常用的分段函数：符号函数xyo-11脉冲函数xoyxyo201.1.4 函数的性质奇偶性 设函数 y = f (x)，xD，D是对称于原点的数集 。若对D上任何 x ， 如果 f (x) = f (x)，则称 y = f (x) 为偶函数； 如果 f

7、 (x) =f (x)，则称 y = f (x) 为奇函数。 偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。21单调性 设函数 y = f (x)，xD。若对于D内任意两个 x1， x2， 当 x1 x2 时，总有 f (x1) f (x2)，则称函数 y = f (x) 是D上的单调递增函数； 当 x1 0当 x = 0当 x N 时,总有记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .几何解释 :即或则称该数列的极限为 a ,43例1. 已知证明数列的极限为1. 证: 欲使即只要因此 , 取则当时, 就有故44例2. 已知证明证:欲使只要即取则当时, 就有故故也可取也可由N 与 有关

8、, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明: 取45收敛性质证: 用反证法.及且取因故存在 N1 , 从而同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有1. 收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式462. 收敛数列一定有界.说明: 此性质反过来不一定成立 .例如,虽有界但不收敛 .数列471.3.2 函数极限 (limit of function) 数列 xn 可表示成函数的形式：y = f(n), nNy = f(x), xN这时，自变量的变化趋势只有一种：x+ 而对一般的函数而言，y = f(x)

9、, xD自变量的变化趋势有两种情形：x+ 、x- 、x; xx048定义1.4 (x 趋于无穷大时函数 f(x)的极限) 设函数 f(x) 在区间(a, +)内有定义，A 是某确定常数。若当 x+ 时， f(x) 与 A 的距离 | f(x) - A | 任意小，则称函数 f(x) 在 x+ 时以常数A为极限，记为或并称 x+ 时 f(x) 收敛(converge)；否则，称x+ 时 f(x) 发散(diverge)。同理，可定义函数 f(x) 在 x- 时以常数A为极限：49定义 . 设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线 y = A 为曲线的水平渐近线A 为函数

10、50直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况 :当时, 有当时, 有几何意义 :例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，51定义1.5 (x 趋于x0时函数 f(x)的极限) 设函数 f(x) 在点 x0 附近有定义，A 是某确定常数。若当自变量 x 趋于x0时， f(x) 与 A 的距离 | f(x) - A | 任意小，则称函数 f(x) 在 x 趋于x0时以常数A为极限，记为或并称 x 趋于x0时 f(x) 收敛；否则，称 x 趋于x0时 f(x) 发散。52定义1 . 设函数在点的某去心邻域内有定义 ,当时, 有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时,

11、 有若记作几何解释:极限存在函数局部有界这表明: 53说明：函数极限的实质： 考察当 xx0 时，函数 f(x) 的变化趋势： 若 xx0 时函数 f(x) 收敛，则 xx0 时 f(x) 必定趋向于某一个确定的数； 若 xx0 时函数 f(x) 发散，则 xx0 时 f(x)不趋向于任何确定的数。“xx0 ” 表示 x 从 x0 的两侧任意接近 x0 。但有时也需考虑 x 从 x0 的某一侧任意接近 x0 时，函数 f(x) 的极限情况。54例. 证明证:故取当时 , 必有因此55不存在不存在不存在不存在56x0 时，在 1 和 1 之间无限震荡。571.3.3 单侧极限 (one-side

12、d limit)定义1.6 (单侧极限) 设函数 f(x) 在区间 (x0 , x0+ ) 内有定义，A 是某确定常数。若 x 从 x0 的右侧趋于x0时， f(x) 与 A 的距离 | f(x) - A | 任意小，则称函数 f(x) 在 x 趋于x0时以常数A为右极限( right-sided limit )，记为或同理，左极限：( left-sided limit )58考察符号函数sgnx在 x=0 处的单侧极限。解：sgnx 的图像如右图：o x y1-1则右极限左极限 x0时， sgnx的变化趋势如何？是否有极限？可得出什么结论？59定理1.1 (单侧极限与一般极限的关系) 当 x

13、x0时，函数 f (x) 极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，即or60例. 设函数讨论 时的极限是否存在 . 解: 利用定理 3 .因为显然所以不存在 .61 问 a 为何值时，所给函数在 x=2 处极限存在?解：左极限右极限欲使函数在x=2处有极限，必有4+2a=20,a=8.62研究函数在 xx0 极限时，是否要考虑 f(x) 在 x=x0 时的性态？为什么？若 f (x0+0) 和 f (x0-0) 都存在，当 x 趋于 x0 时， f (x)的极限一定存在吗？如何利用 f (x0+0) 和 f (x0-0) 来判断当 x 趋于 x0 时， f (x)的极限不存在？631.4 极

14、限的计算1.4.1 极限的四则运算法则1.4.2 两个重要极限641.4.1 极限的四则运算法则 具体的运算法则见P.18定理。以下面几个例子来说明极限的运算法则:定理1.2 (极限的四则运算法则)则有定理 . 若定理 . 若则有定理 . 若且 B0 , 则有65例 . 求解: x = 1 时分母 = 0 , 分子0 ,但因66例6 . 求解: 时,分子分子分母同除以则分母“ 抓大头”原式67一般有如下结果：为非负常数 )68= -169思考及练习1.是否存在 ? 为什么 ?答: 不存在 .否则由利用极限四则运算法则可知存在 ,与已知条件矛盾.解:原式2.问703. 求解法 1 原式 =解法

15、2 令则原式 =714. 试确定常数 a 使解 :令则故因此721.4.2 两个重要极限 两个重要极限是极限的证明及计算中的重要内容。重要极限及其变形也是各类考试的考点。73圆扇形AOB的面积证: 当即亦即时，显然有AOB 的面积AOD的面积故有注74当时注75= -1=1=376例. 求解: 例. 求解: 令则因此原式7778例. 求解: 原式 =例. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: 证: 说明: 计算中注意利用79802.证: 当时, 设则81当则从而有故说明: 此极限也可写为时, 令8283例. 求解: 原式 =84例. 求解: 令则因此原式且85例. 求解: 原式 =861.5 无

16、穷小量与无穷大量1.5.1 无穷小量1.5.2 无穷小量阶的比较1.5.3 无穷大量871.5.1 无穷小量 如果定义1.7 (无穷小量)则称 f(x)是 xx0 时的无穷小量(infinitesimal).说明： 类似地，可定义在自变量的其它变化情形下的无穷小量： x， xx0+ ， xx0-， 称以0为极限的数列为无穷小数列。88因为所以当 x1 时函数x-1 为无穷小量。因为所以当 x 时函数 1/x为无穷小量。无穷小量是很小的数吗？数零是不是无穷小量？89无穷小的性质 当 xx0 时，如果 f (x) 、g (x) 均为无穷小，则当 xx0 时，有: f (x) g (x) 为无穷小。

17、 推广：有限个无穷小的代数和是无穷小。有界变量(常量、无穷小量)与无穷小的积是无穷小。 两个无穷小的和、差与积仍是无穷小。两个无穷小的商呢？如： x 0 时，3x、x2、sinx 都是无穷小，但90其中 为时的无穷小量 . 定理 . ( 无穷小与函数极限的关系 )证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证 .911.5.2 无穷小量阶的比较 对无穷小量进行阶的比较是为了考察两个无穷小量趋于0的速度。 设 f (x) 、g (x) 为xx0 时的无穷小，如果则称 xx0 时， f (x) 是比 g(x) 高阶的无穷小；则称xx0 时， f (x) 是比 g(x) 低阶的无穷小；记为： f(x)

18、= o(g(x) ( xx0 ) 92则称xx0 时， f (x) 与 g(x) 是同阶的无穷小。特别地，当k=1 时，称 f (x) 与 g(x) 是等价无穷小。记为： f(x) = O(g(x) ( xx0 ) 记为： f(x) g(x) ( xx0 ) 93例如 , 当时又如 ，故时是关于 x 的二阶无穷小,且94因为所以，当 x0 时， x2 是比 3x 高阶的无穷小量,即 x2 = o(3x) (x0 )又则当x3时, x2-9 是与 x-3 同阶的无穷小量，x2-9 = O(x-3) (x3 )95当 x0 时， a 取何值使得解：要使必须a =296扩展：定理设且存在，则在求极限

19、中的应用：求解：当时，sinx x,故P.24 例397例1. 求解: 原式 例2. 求解:981.5.2 无穷大量定义1.8 (无穷大量)如果则称函数变量 f (x)是x x0时的无穷大量(infinitely great) 。说明： 不可将无穷大()与很大的数混为一谈； 无穷大数列； 无穷大与无穷小的关系。991.6 函数的连续性1.6.1 连续的概念1.6.2 函数的间断点1.6.3 连续函数的性质与初等函数的连续性1001.6.1 连续的概念变量的增量(increment)函数的连续性定义1.9 (函数的连续性定义1) 设y =f(x)在 x0 的某邻域内有定义。自变量的增量x = x

20、-x0 , 函数的增量 y = f (x0+x) - f (x0)。则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续。(continuity of function)x0f(x0)x0+xf(x0+x)yf(x)若101证明 y=sinx 在点 x(-, +) 连续。证明：由定义1.9知, y=sinx 在任意点 x(-, +)连续，称sinx在区间(-, +)内是连续的。 类似地, y=cosx 在区间(-, +)内是连续的。102定义1.10 (函数的连续性定义2)说明：(1) 函数 y = f (x) 在点 x0 及附近有定义；几何意义：定义要点：函数曲线在 x=x0 处是“连”着的。在求

21、极限中的应用：(2) 函数 y= f (x) 在点 x0 处极限存在；(3) 函数 y= f (x) 在点 x0 处极限值等于函数值 f (x0), 即： 求连续函数的极限时, 极限符号与连续函数符号可以交换顺序。因此，只要求出函数值即可。103定义1.11 (函数的左、右连续性) 设函数 y =f(x) 在区间(x0-, x0内有定义，如果 f(x0)=f(x0-0)，则称函数在点x0左连续。同理，可定义右连续。xyx0 xyx0定理1.3 (连续的充分必要条件)左连续右连续104定义1.12 (函数在区间内(上)连续) 如果函数 y =f(x) 在开区间(a, b)内的每一点都连续，则称

22、y =f(x)在开区间(a, b)内连续。 如果函数y =f(x)在开区间(a, b)内连续，且在区间左端点a右连续，在区间右端点b左连续，则称y =f(x)在闭区间a,b上连续。说明： 区间内(上)的连续函数的图像是一条没有间断的曲线。1051.6.2 函数的间断点函数的间断点： 如果函数 y =f(x)在点x0不连续，则称点x0为函数 y =f(x)的间断点(point of discontinuity)。怎样判断点x0为函数 y =f(x)的间断点：(1) 函数在点x0是否有定义；(2) 函数在点x0处的左、右极限均是否存在并相等；(3) 函数在点x0处的极限值是否等于该点的函数值。函数

23、间断点的分类： 间断点分为两类。106第一类间断点： 设x0为函数 y =f (x) 的间断点，如果 f (x) 在间断点 x0 处的左、右极限都存在(不论 f (x) 在 x0 处是否有定义)，则称 x0 是 f (x) 的第一类间断点xyx0 xyx0第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点可去间断点跳跃间断点xyx0107显然为其可去间断点 .为其跳跃间断点 .108第二类间断点： 除第一类间断点以外的其它间断点统称为第二类间断点。 常见的有无穷间断点和振荡间断点。考察下列函数在x=0处的间断情况：x=0为振荡间断点为无穷间断点1091. 求的间断点, 并判别其类型.解: x = 1 为第一类可去间断点 x = 1 为第二类无穷间断点 x = 0 为第一类跳跃间断点1101.6.3 连续函数的性质与初等函数的连续性定理1.4 (连续函数四则运算的连续性) 在区间 I 上连续的函数的和、差、积与商 (分母不为零)，在区间 I 上仍是连续的。定理1.5 (复合函数的连续性) 由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。 由 sinx、cosx 的连续性知, tanx = sinx/cosx 和 cotx=cosx/sinx 在其定义域内是连续函数。 幂函数在其定义域内是连续函数。111例如,是由