2022年主元法破解极值点偏移问题

1、. .主元法破解极值点偏移问题2022 年全国 I 卷的第 21 题是一道导数应用问题,出现的形式特别简洁,考察了函数的双零点的问题,也是典型的极值点偏移的问题, 是考生实力与潜力的综合演练场虽然大多同学懂得其题意,但对于极值点偏移的本质懂得的深度欠佳,面对此类问题大多感到“ 似懂非懂或“ 云里雾里所谓主元法就是在一个多元数学问题中以其中一个为“ 主元,将问题化归为该主元的函数、方程或不等式等问题,其本质是函数与方程思想的应用作为一线的训练教学工作者,笔者尝试用 主元法破解函数的极值点偏移问题,理性的对此类进展剖析、探究,旨在为今后的高考命题和高考复习教学供应一点参考 . 一、试题再现及解析一

2、题目2022年全国 I 卷函数fxx2exa x12有两个零点1求 a 的取值围；2设 x x 是 f x 的两个零点,证明：x 1 x 2 2此题第 1小题含有参数的函数 f x 有两个零点,自然想到争论其单调性,结合零点存在性定理求得 a 的取值围是 0,第 2小题是典型的极值点偏移的问题,如何证明呢？二官方解析2不妨设x 1x ,由 1知,x 1,1 ,x 21,2x 2,1, fx 在,1 上单调递减,所以x 1x 22等价于fx 1f2x 2,即fx 2f2x 2212,.word.zl.由于f2x22 x ex 2a x212,而fx 2x22ex 2a x22所以f2x 2fx

3、22 x ex 2x 22e x 2e2xex,令g x2 xexxx e ,那么gxx1x 2所以当x1时,gx0,而g10,gx 20,故x 1故当x1时,g x10从而g x 2f2. . .二、对解析的分析本问待证是两个变量的不等式,官方解析的变形是 x 1 2 x ,借助于函数的特性及其单调性,构造以 x 为主元的函数由于两个变量的位置一样,当然也可调整主元变形为 x 2 2 x ,同理构造以 1x 为主元的函数来处理此法与官方解析正是极值点偏移问题的处理的通法不妨设 x 1 x ,由 1知,2 x 1 ,1 , x 2 1, ,2 x 1 1, f x 在 1, 上单调递增,所以

4、x 1 x 2 2 等价于 f x 2 f 2 x 1,即 f x 1 f 2 x 1 02 x x令 u x f x f 2 x xe 2 x e x 1,那么x 2 xu x x 1 e e 0,所以 u x u 1 0,即 f x f 2 x x 1,所以 f x 1 f x 2 f 2 x 1；所以 x 2 2 x ,即 x 1 x 2 2 . 三、例谈主元法破解极值点偏移问题对文献 1的四道例题,笔者都能运用主元法顺当破解,验证主元法破解极值点偏移问题的可行性例 1 2022年省市二模第20 题设函数fxx eaxa ,其图象与 x 轴交于A x 1,0,B x 2,0两点,且x 1

5、x 1求 a 的取值围；2证明：fe 2,x x 20 fx 1x 为函数 fx 的导函数；ln ,a上单解： 1a,且0lnax , f 2x 在 0,ln a 上单调递减,在调递增；2要证明fx x 20,只需证fx 1x20,即fx 12x2flna,.word.zl.2由于fxx ea 单调递增,所以只需证x 1x 2lna ,亦即x 22lnax ,2只要证明fx 2fx 1f2lnax 1即可；. . .f令g xfxf2lnaxxlna ,那么gxfxf2lnaxexa22a0,ex所以 g x 在 0,ln a 上单调递减,g xglna0,得证例 2 2022年 XX 理科

6、21 题函数f x xexxR . 1 求函数f x 的单调区间和极值；2略 3假如x 1x ,且f x 1f x 2,证明x 1x 22解： 1 f x 在,1上是增函数,在1,上是减函数,f x 微小值f11；e3证明：f ex1x ,f x 1f x 2,亦即x ex 1x ex2,且x 11x ,2欲证明x 1x 22,即x 22x ,只需证fx 2f2x 10,即fx 1f2x 10令g xfxf2xx1,那么g xxex2x x e2,由于gx1xexx e20,所以 g x 在,1 上单调递增,故g xg10,得证例 3 2022年理科 21 题函数f x lnx2 ax2a x

7、1争论f x 的单调性；2设a0,证明：当0 x1时,f1xf1x；aaa3假设函数yf x 的图象与 x 轴交于A B 两点,线段AB 中点的横坐标为0 x ,证明：x00在解：1假设a0,f x 在 0,上单调增加；假设a0,f x 在0,1上单调递增,a1 , a上单调递减；2略. .word.zl. .3由 1可得a0,f 12ax2a在 0,上单调递减,f10,xa不妨设A x 1,0,B x 2,0,0 x 1x ,那么0 x 11x 2,x 2,a欲证明fx00,即fx 0f1,只需证明x0 x 12x21,即x 12aaa只需证明fx2fx 1f2x2a由 2得f2x 2f11

8、x2f11x2fx 2,得证aaaaa1,例 4 2022年文科第 21 题函数fx1xex.1x21求 fx 的单调区间；2证明 :当fx 1fx 2x 1x 2时,x 1x 20. 解： 1 fx在,0 上单调递增,在0,上单调递减；2由1知当x1时,fx0不妨设x 1x ,由于fx 1fx 2,即1x 1ex 11x 2ex 2,那么x 10 x 212 x 11x 22要证明x 1x 20,即x 1x 20,只需证明fx 1fx 2,即fx 2fx 2而f x 2fx 2等价于12 x ex 21x20,令g x 12 x ex1x x0,那么g x 12 2 x ex1,令h x 2

9、 1 2 x ex1,那么h x 2 4 xex0,所以h x 单调递减,h x h00,即gx0,所以 g x 单调递减,所以g xg00,得证对文献 3的例 1,朱老师供应了 更为简捷？3 种方法,笔者也可运用主元法顺当破解,请看以下解析,岂不例 5 函数fxx443 x 与直线ya a1交于A x a B x a ,证明：x 1x 22. 33. .word.zl. .解：函数fxx443 x ,fx4x2x1,那么 fx 在,1 上单调递减, 在 1,3上单调递增,且f4f00；0 x 12x 21,只需证明30 x 11,1x 24,要证明x 1x 22,即1假设3fx 1f2x 2

10、,即fx 2f2x 213在 1,上单调递增,fxf2xx1,那么g x16x令g x3故g xg10；2假设x 10,x 24,同理可证x 1x 22,得证3四、通法提炼 一般地,主元法破解极值点偏移问题思路是：第一步：依据fx 1fx 2x 1x 2建立等量关系,并结合fx 的单调性,确定x x 的取 1 2值围；其次步：不妨设 x 1 x ,将待证不等式进展变形,进而结合原函数或导函数的单调性等价转化如例 1、例 3 中的待证是导函数的值的不等式,因此应用导函数的单调性等价转化,例 2、例 4 中的待 证是应用原函数的单调性等价转化；第三步：构造关于1x 或2x 的一元函数T xfx i

11、f2 ax ii1,2,应用导数争论其单调性,并借助于单调性,到达待证不等式的证明五、通性通法的感悟 极值点偏移问题在高考中几乎年年可见,深受高考命题专家的青睐,年年岁岁意相像,岁岁年 年题不同,属于高考高频题型对于此类问题的争论,多位方家已经作了探讨文1从高等数学的视角阐述了问题的背景,指明并提炼出极值点偏移问题的解题策略：假设fx 的极值点为x ,那么依据对称性构造一元差函数F xfx 0 xf2x 0 x ,巧借 F x的单调性以及F00,借助于fx 1fx2fx 0 x 0 x 2与x2x 的大小有了这fx0 x 0 x2f2x 0 x 2,比拟x 与2x 0 x 的大小,即比拟0 x

12、 与种解题策略,我们师生就克制明白题的盲目性,细细咀嚼不得不为其巧妙的想法喝彩,但是,此解. .word.zl. .法并不利于同学思维的提升,比拟突兀,有“ 模式化的曲高和寡之嫌疑,明显不是自然的想法,“ 想说爱你不简单老师的自然想法却让同学屡屡想不到、想不通、学不会,加重其自卑感；顺 应同学的思维,才能对接同学的认知,贴近同学“ 最近开展区,化用于无痕,活用于无间,妙用 于无限,神用于无形,走有限之路,饮不竭之泉文2结合文 1的四个例题验证了转化为对数平均的求解的可行性,提炼出极值点偏移问题的又一解题策略：依据fx 1fx 2建立等式,通过消参、恒等变形转化为对数平均,捆绑构造函数,利用对数平均不等式链求解这种解题策略,师生都感到运算量纷杂,有肯定的技巧要求,而且对 数平均数的不等式链也有超纲的嫌疑,在解答过程中存在能否直接运用的疑问 4,“ 想你,但,我不 会爱你！其实,解决极值点偏移问题的上两种方法,实质上都是把双变量的等式或不等式转化为一元变 量问题求解,途径都是构造一元函数,因此,主元法才是破解极值点偏移问题的通法,亲切自然,美感灵气这一点也可以从官方答案得到印证对于官方供应的参考答案,是命题专家经过反复考 量的,承载着新课程改革的理念和导向,渗透着创新精神和实践才能的培育,表达着高考改革的开 展趋向,同时也包蕴着命题者解题的思维历程,包蕴着其问题的本质我们多一