2022年九年级数学备战中考-中考真题计算压轴题含解析

1、2022年九年级备战中考中考题型运算压轴题（图形题）1. 如图 1,在 Rt . 中, . = 90, .= 30,点 M是AB的中点,连接 MC,点 P是线段BC延长线上一点,且 . .,连接 MP交AC于点 H.将射线 MP绕点 M逆时针旋转 60交线段 CA的 延长线于点 D. （1）找出与.相等的角,并说明理由. （2）如图 2, .= 1 2.,求 . .的值 . 13（3）在（ 2）的条件下,如 .=,求线段 AB的长 . 3 2. 如图,四边形 ABCD是菱形, BAD120 ,点 E在射线 AC上（不包括点 A和点 C）,过点 E的直线 GH 交直线 AD于点 G,交直线 BC

2、于点 H,且GH DC,点 F在BC的延长线上, CFAG,连接 ED,EF,DF. （1）如图 1,当点 E在线段 AC上时,判定 AEG的外形,并说明理由 . 求证： DEF是等边三角形 .（2）如图 2,当点 E在AC的延长线上时,是,请说明理由 . DEF是等边三角形吗？假如是,请证明你的结论；假如不3. 已知,在 Rt ABC中, ACB90 ,D是BC边上一点,连接AD,分别以 CD和 AD为直角边作 Rt CDE和Rt ADF,使 DCEADF90 ,点E,F在 BC下方,连接 EF. （1）如图 1,当 BCAC,CECD,DF AD时,求证： CADCDF,BD EF；（2）

3、如图 2,当 BC2AC,CE 2CD,DF2AD时,猜想 BD和EF之间的数量关系？并说明理由 . 4. 如图, ABC是等腰直角三角形, ACB90 ,D是射线 CB上一点（点 D不与点 B重合）,以 AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点 E和点 C在AB的同侧）,连接CE. （1）如图,当点 D与点 C重合时,直接写出 CE与AB的位置关系；（2）如图,当点 D与点 C不重合时,（ 1）的结论是否仍旧成立？如成立,请写出证明过程；如不成立,请说明理由；（3）当 EAC15 时,请直接写出 .的值 . 5. 如图,是具有公共边 AB的两个直角三角形,其中,AC=BC,ACB=ADB=90

4、. （1）如图 1,如延长 DA到点 E,使 AE=BD,连接 CD,CE. 求证： CD=CE,CD CE；求证： AD+BD= 2 CD；（2）如 ABC与 ABD位置如图 2所示,请直接写出线段 AD,BD,CD的数量关系 . 6. 如图,点 ., .分别在正方形 . 的边 ., .上,且 .= .,点 .在射线 .上（点 .不与点 . 重合） . 将线段 .绕点 .顺时针旋转 90 得到线段 .,过点 .作 .的垂线 .,垂足为点 . ,交射线 .于点 . . （1）如图 1,如点 .是 .的中点,点 .在线段 .上,线段 ., ., .的数量关系为_. （2）如图 2,如点 .不是

5、.的中点,点 .在线段 .上,判定（ 1）中的结论是否仍旧成立 .如成立,请写出证明过程；如不成立,请说明理由 . （3）正方形 . 的边长为 6, .= 3., .= 1 ,请直接写出线段 .的长 . 7. 如图,四边形 ABCD是正方形,连接 AC,将 .绕点 A逆时针旋转 得 .,连接 CF,O为CF的中点,连接 OE,OD. （1）如图 1,当 .= 45时,请直接写出OE与OD的关系（不用证明）. . .,使（2）如图 2,当 45 . 90时,（ 1）中的结论是否成立？请说明理由（3）当 .= 360时,如.= 42 ,请直接写出点O经过的路径长 . .到点8. 如图,在四边形.

6、中, ./.,.,.45,延长.,连接. . （1）求证：.= .；（2）如 .3,.1, 求四边形 . 的面积 . 9. 在Rt ABC中, ACB90 , D是 ABC内一点, 连接 AD,BD.在BD左侧作 Rt BDE, 使BDE90 ,以AD和DE为邻边作 .ADEF,连接 CD,DF. （1）如 ACBC,BDDE.如图 1,当 B,D,F三点共线时, CD与 DF之间的数量关系为_._EF.以EF为直角边构造如图 2,当 B,D,F三点不共线时,中的结论是否仍旧成立？请说明理由（2）如 BC2AC,BD 2DE,.=4 5,且 E,C, F三点共线,求.的值 . 10. 已知：在

7、 ABC外分别以AB,AC为边作 AEB与 AFC. （1）如图 1, AEB与 AFC分别是以AB,AC为斜边的等腰直角三角形,连接Rt EFG,且 EFFG,连接 BG, CG,EC. 求证： AEF CGF；四边形 BGCE是平行四边形 .（2）小明受到图 1的启示做了进一步探究：如图 2,在 ABC外分别以 AB,AC为斜边作 Rt AEB与Rt AFC,并使 FACEAB30 ,取 点D,连接 DE,EF后发觉,两者间存在肯定的数量关系且夹角度数肯定,请你帮忙小明求出及DEF的度数 .BC的中 .的值（3）小颖受到启示也做了探究：如图 3,在 ABC外分别以 AB,AC为底边作等腰三

8、角形AEB和等腰三角形 AFC,并使 CAF+EAB90 ,取BC的中点 D,连接 DE,EF后发觉,当给定 EAB 时,两者间也存在肯定的数量关系且夹角度数肯定,如 AEm,ABn,请你帮忙小颖用含 m, n的代数式直接写出 .的值,并用含 的代数式直接表示 DEF的度数 .11. 如图,在四边形 ABCD中,点 E和点 F是对角线 AC上的两点, AECF,DFBE,且DF BE,过点 C作CGAB交 AB的延长线于点 G. （1）求证：四边形 ABCD是平行四边形；（2）如tan CAB25,CBG45 , BC4 2 ,就 .ABCD的面积是 _. 12. 如图 1, .（1 2. .

9、 .）绕点 .顺时针旋转得 .,射线 .交射线 .于点 . . （1）.与 .的关系是 _；（2）如图 2,当旋转角为 60 时, 点 . ,点 . 与线段 .的中点 . 恰好在同始终线上,延长 .至点 .,使 .= .,连接 .写出.与 .的关系,请说明理由；如图 3,连接 .,.,如 . = 45, .= 4 ,求线段 .的长度 .13. 阅读下面材料,完成（1） （ 3）题数学课上, 老师出示了这样一道题：如图 1, . 中, . = 90,点 .,. 在 .上, .=2., .= .（其中 2 . 1 ） . = . + ., . 的平分线与 .相交于点 ., .垂足为 .,探究线段

10、.与 .的数量关系, 并证明 . 同学们经过摸索后,沟通了自已的想法：小明：“ 通过观看和度量,发觉.与 .相等. ”小伟：“ 通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段 .与 .的数量关系 . ”老师：“ 保留原题条件,延长图1中的 .,与 .相交于点.（如图 2）,可以求出.的值. ”（1）求证：. = .；（2）探究线段（3）直接写出.与 .的数量关系（用含 .的代数式表示）,并证明；.的值（用含 .的代数式表示）. 答案解析部分1. 【答案】（ 1）解：.= .理由如下： . = 90, .= 30, . = 60 . .+ .= 60 .由旋转的性质知,.+ .= 60 . .

11、= .（2）解：如图,过点 C作 . .交MP于点 G. . = .= 30, . = 150 . . = 90,点 M是AB的中点,1 .= 2.= .= . . .= .= 30 . .= 120 . .= 180- 60= 120 . .= . .- .= .- ., .= .在 .与 .中,MAD = .CG AM = CMDMA = GMC . . .= .1 .= 2. .=1 3. . ., . . . .= .= 13 .设 .= .= .,就 .= 3., .= 6. .3在 Rt .中,cos.= .= 2 . .= 33. . . .=.=3933.（3）解：如图,由（2

12、）知 . . . 就 .= .=13 3 . CG MA . CGH = AMH . GHC = MHA , GHC MHA . HG HH= CH AH= .= CG 1 3 . .=1 4.= 1 4133 =13 12 .131313 .= 3-12= 4 .由（ 2）知,.= .= .,就 .= .= .= 3. .3 9 .= 4., .= 4. . .= ., .= . . . . MH DH=AH MH .9 4.13 4. . .2= .,即13 42 =解得 . 1=1 3, . 2= -1 3（舍去） . .6.2 .2. 【答案】（ 1）解：解：AEG是等边三角形；理由如

13、下：四边形 ABCD是菱形, BAD120 ,AD BC, ABBCCDAD,AB CD,CADBAD+ADC180 ,1 2BAD60 ,ADC60 ,GH DC,AGEADC 60 ,AGEEAGAEG60 , AEG是等边三角形；证明： AEG是等边三角形,AG AE,CF AG,AE CF,四边形 ABCD是菱形,BCDBAD120 ,DCF60 CAD,AD = CD在 AED和 CFD中,EAD = FCD, AED CFD（ SAS）AE = CFDE DF,ADECDF,ADCADE+CDE60 ,CDF+CDE60 ,即EDF60 , DEF是等边三角形（2）解： DEF是等

14、边三角形；理由如下：同（ 1）得： AEG是等边三角形,AG AE,CF AG,AE CF,四边形 ABCD是菱形,BCDBAD120 , CAD1 2BAD60 ,FCD60 CAD,AD = CD在 AED和 CFD中,EAD = FCD, AED CFD（ SAS）,AE = CFDE DF,ADECDF,ADCADE CDE60 ,CDF CDE60 ,即EDF60 , DEF是等边三角形 .3. 【答案】（ 1）证明： ACB90 ,CAD+ADC90 ,CDF+ADC90 ,CADCDF；作FHBC交 BC的延长线于 H,就四边形 FECH为矩形,CH EF,在 ACD和 DHF中

15、,. = . = .= 90,.= . . .= .,.= .,.= .,.- .= .- .,即 .= .,.= .（2）解：.= .,理由如下：作 .交 .的延长线于 .,就四边形 . 为矩形,.= .,. = ., . = .= 90. .= .= 2 ,即 .= 2.,GF2CD,BC 2AC,CE2CD,BC DG,GFCE,BD CG,GF CE, GFCE,G90 ,四边形 FECG为矩形,CG EF,BD EF.4. 【答案】（ 1）解：当点 D与点 C重合时, CE AB,理由如下：ABC是等腰直角三角形,CAB45 , ADE是等腰直角三角形,ADE45 ,CABADE,C

16、E AB（2）解：当点 D与点 C不重合时,（ 1）的结论仍旧成立,理由如下：在 AC上截取 AFCD,连接 EF,AEDACB90 ,EAFEDC,在 EAF和 EDC中,.= . = .,.= . EAF EDC（ SAS）,EF EC,AEFDEC,AED90 ,FEC90 ,ECA45 ,ECACAB,CE AB；（3）解：如图, EAC15 ,CAD30 ,AD 2CD, .3., .（3 1）., CEF为等腰直角三角形,26- 2 .2.2 ., ABC是等腰直角三角形, .2.6., .6- 23-3,266如图, EAC15 ,由（ 2）得, EDCEAC15 ,ADC30

17、, .3.,.2.,延长 AC至G,使 AGCD,CG AG ACDC AC 3 AC AC,在 EAG和 EDC中,.= . = .,.= . EAG EDC（ SAS）,EG EC,AEGDEC,CEG90 , CEG为等腰直角三角形,26- 2 .2.2 .,3- 1 .,. 2. 3- 33- 1 综上所述,当 EAC15 时,.的值为 6 或 2 .5. 【答案】（ 1）证明：在四边形 ADBC中, DAC+DBC+ADB+ACB=360 ,ADB+ACB=180 ,DAC+DBC=180 ,EAC+DAC=180 ,DBC=EAC,BD=AE, BC=AC, BCD ACESAS,

18、CD=CE,BCD=ACE,BCD+DCA=90 ,ACE+DCA=90 ,DCE=90 ,CDCE；CD=CE,CDCE, CDE是等腰直角三角形,DE= 2 CD,DE=AD+AE, AE=BD,DE=AD+BDAD+BD= 2 CD（2）解： AD-BD= 2 CD；理由：如图 2,在 AD上截取 AE=BD,连接 CE,AC=BC,ACB=90 ,BAC=ABC=45 ,ADB=90 ,CBD=90- BAD- ABC=90- BAD- 45 =45- BAD,CAE=BAC-BAD=45- BAD,CBD=CAE,BD=AE, BC=AC, CBD CAESAS,CD=CE,BCD=

19、ACE,ACE+BCE=ACB=90 ,BCD+BCE=90 ,即DCE=90 ,DE= CD2+ CE2 = 2CD2 = 2 CD,DE=AD-AE=AD-BD,AD-BD= 2 CD.6. 【答案】（ 1）.+ .= .（2）解：（ 1）中的结论仍旧成立,理由如下：由题意得：. = 90 , .= .,. + .= 90,.,.= 90, .+ . = 90 ,. = . ,四边形 . 是正方形,. = 90, .= .,. + . = 90,. + . = 90,. = .,. = .在 . 和 . 中, .= .,. = . . .= .,.+ .= .- .= .- .= .,即

20、.+ .= .（3）解：分两种情形：当点 .在线段 .上时,点 . 在线段 .上,由（ 2）可知：.= .- .,.= 3.= 6 ,.= 2 , .= 4 ,.= 4 - 1 = 3 ；.的延长线上,如图3所示：当点.在射线.上时,点. 在线段同（ 2）可得：. . .= .,.= ., .= .+ .,.= .+ .= .+ .= .+ .+ .= .+ .+ .= .+ .,.= .+ .= 1 + 4 = 5 ；综上所述,线段 .的长为 3或5.7. 【答案】（ 1）解：.= ., .；理由如下：由旋转的性质得：.= ., . = .,四边形 ABCD是正方形, . = . = . =

21、 45, . = . 12180 - 45 = 67.5, . = . = 22.5, . = 90,O为 CF的中点, .=1 2.= .= .,1同理：.= 2., .= .= .= ., . = 2. = 45, . = 2. = 45, .= 180- 45- 45= 90, .（2）解：当 45 . 90时,（ 1）中的结论成立,理由如下：延长 EO到点 M,使 .= .,连接 DM、 CM、DE,如图 2所示：O为 CF的中点, .= .,.= .在 .和 .中, .= .,.= . . .（SAS）, .= ., .= .四边形 ABCD是正方形, .= .= ., . = .

22、= 45, . 绕点 A逆时针旋转 得. .= .= .= ., .= ., .= ., . = ., . = . + ., . = . + ., . = . = 45 . = . = ., . + . = 45, . + . = 45, . = .,在 .中, . + . + . = 180, . + 2. + .+ 90= 180, . + . = 45, FAD + DCM = 45.= .在 .和 .中, . = .,.= . . .（SAS）, .= ., .= ., .,.= .在 .和 .中, .= .,.= . . .（SAS）, .= . . .= ., .= ., .（3）

23、解：连接 AO,如图 3所示：, . = ., .= ., .= ., ., . = 90,点 O在以 AC为直径的圆上运动, .= 360,点 O经过的路径长等于以 AC为直径的圆的周长, .= 2.= 2 42 = 8 ,点 O经过的路径长为：.= 8. .8. 【答案】（ 1）证明：./.,.45.+ .180.135.,.45 .+ .180 ./., 且 ./.四边形 . 是平行四边形.（2）解：四边形 . 是平行四边形.3.- .2四边形 . 的面积3 269. 【答案】（ 1）DF 2 CD.；结论仍旧成立 .理由：如图 2中,连接 CF.延长 BD交AF的延长线于 H,设 AC

24、交BH于G.四边形 AFED是平行四边形,AF DE,DE AF,BD DE,AF BD,BDE90 ,DEHDHA90 BCG,CGBAGH,CBDCAF,BC AC, BCD ACF（ SAS）,BCDACF, CD CF,BCADCF90 , CDF是等腰直角三角形,DF 2 CD（2）解：如图 3中,延长 BD交AF于H.设 BH交AC于G. 四边形 AFED是平行四边形,AF DE,DE AF,BDE90 ,DEHDHA90 BCG,CGBAGH,CBDCAF,. . .= .= 2 ,. . .= ., CBD CAF, . .= . .= 2 , BCD ACF,BCADCF90

25、 ,AD EF,ADC+DCF180 ,ADC90 ,CD： AC4： 5,设 CD4k,AC5k,就 ADEF3k,1CF2 CD2k,EC EF CFk,DE AF . 2 + . 2 = 4.2 + .2 = 17.,.17. .= .= 17 .10. 【答案】（1）解：证明：如图 1中, EFC与 AFC都是等腰直角三角形,FA FC,FEFG,AFCEFG90 ,AFECFG, AFE CFG（ SAS）. AFE CFG,AE CG,AEFCGF, AEB是等腰直角三角形,AE BE,BEA90 ,CG BE, EFG是等腰直角三角形,FEGFGE45 ,AEF+BEG45 ,C

26、GE+CGF45 ,BEGCGE,BE CG,四边形 BECG是平行四边形（2）解：如图 2中,延长 ED到G,使得 DGED,连接 CG,FG. 点 D是BC的中点,BD CD,EDBGDC,EB GC,EBDGCD,在Rt AEB与Rt AFC中,EABFAC30 , . .=33,.= . . .= .,EBD2+60 ,3,3DCG2+60 ,GCF360 60 （ 2+60 ） 3360 120 （ 2+3）360 120 （ 180 1）60 +1,EAF30 +1+30 60 +1,GCFEAF, CGF AEF,. .3 .= .= 3,CFGAFE,EFGCFG+EFCAFE

27、+EFC90 ,tan DEF. .=33,DEF30 ,FG1 2 EG,1ED2 EG,ED FG,3 . .= 3（3）解：如图 3中,延长 ED到G,使得 DGED,连接 CG,FG.作EHAB于 H,连接 FD. BD DC,BDECDG, DEDG, CDG BDE（ SAS）,CG BEAE,DCGDBE +ABC,GCF360 DCG ACB ACF360 （ +ABC） ACB （90 ） 270 （ABC+ACB）270 （ 180 BAC）90 +BACEAF, EAF GCF（ SAS）,EF GF,AFECFG,AFCEFC,DEFCAF90 ,AEH90 ,AEHDEF,AE m,AH1 2 AB1 2 n ,4.2 =4.2-.2,EH. 2 - . 2 = .2 -2DEDG,EFGF,DFEG,4.2 -. 2=4.2-.2 . 2cos. = cos.= .= .11. 【答案】（1）证明： AE CF,2.AE+EF CF+EF,即AFCE,DF BE,DFABEC,DF BE, ADF CBE（ SAS）,AD CB,DAFBCE,AD CB,四边形 ABCD是平行四边形；（2）24. 12. 【答案】（1）. = .,（2）解： .