知识点19 二次函数几何方面的应用2019

1、 一、选择题1. （2019乐山）如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（） A B C D 【答案】C【解析】连接PB，令=0，得x=，故A（-4，），（4，0），O是AB的中点，又是线段的中点，OQ=PB，点B是圆C外一点，当PB过圆心C时，PB最大，OQ也最大，此时OC=3，OB=4，由勾股定理可得BC=5， PB=BC+PC=5+2=7，OQ=PB=，故选C. 二、填空题1. （2019无锡）如图，在中，AB=AC=5，BC=，为边上一动点(点除外)，以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为 .【答案】8【解析】过

2、D作DGBC于G，过A作ANBC于N，过E作EHHG于H，延长ED交BC于M.易证EHDDGC，可设DG=HE=x，AB=AC=5，BC=，ANBC，BN=BC=2，AN=，GBC，ANBC，DGAN，BG=2x，CG=HD=4- 2x；易证HEDGMD，于是，即MG ，所以SBDE = BMHD=（2x）（4- 2x）=，当x=时，SBDE的最大值为8. 2. (2019 台州)如图,直线l1l2l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l2于点D.设直线l1,l2之间的距离为m,直线l2,l3之间的距离为n,若ABC90,BD4,且,则m+n的

3、最大值为_.【答案】【解析】过点B作BEl1于点E,作BFl3于点F,过点A作ANl2于点N,过点C作CMl2于点M,设AEx,CFy,则BNx,BMy,BD4,DMy4,DN4x,ABC90,且AEBBFC90,CMDAND90,易得AEBBFC,CMDAND,即,mnxy,即,y10,nm,m+nm,mnxyx(10)x2+10 xm2,当x时,mn取得最大值为,m2,m最大,m+nm.3. （2019凉山）如图，正方形ABCD中，AB=12, AE =AB，点P在BC上运动 （不与B、C重合），过点P作PQEP，交CD于点Q，则CQ的最大值为 .【答案】4【解析】在正方形ABCD中，AB

4、=12, AE =AB=3，BC=AB=12，BE=9，设BP=x，则CP=12-x.PQEP，EPQ=B=C=90，BEP+BPE=CPQ+BPE=90，BEP=CPQ，EBPPCQ，整理得CQ=，当x=6时，CQ取得最大值为4.故答案为4.三、解答题25（2019山东烟台，25，13分）如图，顶点为M的抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线与另一个点D，作轴，垂足为点E双曲线经过点D，连接MD，BD(1)求抛物线的解析式(2)点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；(3)动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿

5、OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，的度数最大？（请直接写出结果）【解题过程】 （1）当时 所以，因为轴，轴，所以四边形OEDC为矩形， 又因为双曲线经过点D， 所以, 所以, 所以 将点、代入抛物线得 解得 所以抛物线的表达式为（2）解：作点D关于x轴的对称点，作点M关于y轴的对称点，如图（1）第25题答图（1）由图形轴对称的性质可知，所以四边形MDNF的周长， 因为是定值，所以当最小时，四边形MDNF的周长最小， 因为两点之间线段最短，所以当I、F、N、H在同一条直线上时最小 所以当I、F、N、H在同一条直线上时，四边形MDNF的周长最小，连接，交x轴于点N，交y轴于点F， 因为抛

6、物线的表达式为，所以点M的坐标为， 由轴对称的性质可得， 设直线HI的表达式为， 所以，解得，所以直线HI的表达式为，当时，当时，所以，所以，所以当M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，（3）解：本题的答案为 解题分析：如图（2），当两点A、B距离是定值，直线CD是一条固定的直线，点P在直线CD上移动，由下图可以看出只有当过A、B的圆与直线CD相切时最大 第25题答图（2）第25题答图（3） 所以可作过点B、D，且与直线OC相切，切点为P，此时的度数最大， 由已知，可得， 因为直线OC与相切，所以，所以直线PT的解析式为 因为抛物线的表达式为，所以点B的坐标为，因为点B、点可以求得直线BD的

7、垂直平分线的解析式为联立与，得，直线PT与直线BD的交点即为点M，所以因为,可得解得或（舍去）所以当时，的度数最大27（2019江苏盐城卷，27，14）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于,两点，点在点的右侧，直线分别于轴、轴交于、两点，且.求,两点横坐标；若OAB是以为腰的等腰三角形，求的值；二次函数图象的对称轴与轴交于点,是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解题过程】（1）A、B是与的交点 ， ，点在点的右侧 ， 点横坐标是，点横坐标.（2）由（1）可知和由两点间距离公式可得：OAB是以为腰的等腰三角形分为两种情况：或当时即 当时即 或综上所述，或或.（3）

8、存在，或【提示】由（1）可知和.根据题意分为两种情况：点在点左侧，点在点右侧.当点在点左侧时 如图1，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接 设=m ，由（1）可知和. 在RtBFH中，由得 ， 当点在点右侧时 如图，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接 由（1）可知和. 设 在RtBMN中，由得 ， 综上所述，或.23（2019江西省，23，12分）特例感知(1)如图1，对于抛物线，下列结论正确的序号是 ；抛物线，都经过点C(0，1)；抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；抛物线，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念(2)把满足（n为正整数）的抛

9、物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在(2)中，如图2.“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，其横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；在中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断，是否平行？并说明理由.【解题过程】解：（1）对于抛物线，来说，抛物线，都经过点C(0，1)，正确；抛物线，的对称轴分别为：，的抛物线，的对称轴由抛物线的对称

10、轴依次向左平移个单位得到，正确；抛物线，与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为：-1、-2、-3，抛物线，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.正确.答案：（2）由可知，顶点坐标为（，），该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式为；当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，相邻两点的距离相等，且距离为：.将y=1代入可得，x=-n（0舍去），点（-1，1），（-2，1），（-3，1），（-n，1）.当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，点（-k-1，），（-k-2，），（-k-3，），（-k-n，）

11、.设，的解析式分别为：y=px+q，y=mx+n，则，解得p=k+n，m=k+n-1，pm，不平行.23（2019山西）综合与探究如图,抛物线yax2+bx+6经过点A（2,0）,B(4,0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(1m4).连接AC,BC,DB,DC.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当BCD的面积等于AOC的面积的时,求m的值;(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.第23题图【解题过程】(1)

12、抛物线yax2+bx+6经过点A（2,0）,B(4,0)两点,解之,得:,抛物线的函数表达式为:;(2)作直线DEx轴于点E,交BC于点G,作CFDE,垂足为点F,点A的坐标为(2,0),OA2,由x0,得y6,点C的坐标为(0,6),OC6,SAOCOAOC6,SBCDSAOC.设直线BC的函数表达式为ykx+n,由B,C两点的坐标得:,解之,得:,直线BC的函数表达式为:yx+6.点G的坐标为(m,m+6),DG(m+6).点B的坐标为(4,0),OB4,SBCDSCDG+SBDG.,解之,得m13,m21,m的值为3.第23题答图(3)存在点M,其坐标为:M1(8,0),M2(0,0),

13、M3(,0),M4(,0).25（2019常德）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使PNC的面积是矩形MNHG面积的，若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由 【解题过程】（1）设抛物线的解析式为y，把B（1，0）代入解析式得：4a40，解得a1，y；（2）四边形MN

14、HG为矩形，MNx轴，设MGNHn，把yn代入y，即n，0，由根与系数关系得2，n3，4，44（n3）164n，MN 2，设矩形MNHG周长为C，则C2（MNMG）2（2n）42n，令t，则n4，C24t82，20，t1时，周长有最大值，最大值为10； （3）在（2）的条件下，当矩形周长最大时t1，1，n3，MN22，D（0，3），此时N与D重合， 236，又当y0时0，解得1，3，C（3，0），D（0，3），直线CD的解析式为yx+3，过P做y轴的平行线，交直线CD于点Q，设P横坐标为m，则P（m，），Q（m，），PQ（）（），当P在Q的上方时，PQ，PQOC，解得m；当P在Q的下方时，PQ

15、，即，解得，（舍去）；P横坐标为或25（2019衡阳）如图，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB，请问：MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A（1，0），B（3，0）代入yx2bxc，得解得该抛物线的函数表达式

16、为yx22 x3；（2）CPEB，OPEBCP90，OPEOEP90，OEPBPC，tanOEPtanBPC设OEy，OPx，整理，得yx2x（x）2当OP时，OE有最大值，最大值为，此时点P在（，0）处.（3）过点M作MFx轴交BN于点F，N（0，3），B（3，0），直线的解析式为y3 m.设M（m, m22 m3）,则MFm23m，MBN的面积OBMF( m23m) ( m) 2 .点M的坐标为（，）时，MBN的面积存在最大值.24（2019武汉，24，12分）已知抛物线C1：y（x1）24和C2：yx2（1） 如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2） 如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于

17、点A，直线经过点A，交抛物线C1于另一点B请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQy轴交抛物线C1于点Q，连接AQ 若APAQ，求点P的横坐标 若PAPQ，直接写出点P的横坐标（3） 如图2，MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行若MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系 【解题过程】（1）先向左平移1个单位，在向上平移4个单位（2）kAB和A（3，0）易求AB：yAPAQ，PQAOPAOQAOAQ：y联立得设P（t，）则Q（t，）易求：PQ，PAPAPQ （3）设ME：联立则同理：

18、化简得：25（2019黄冈）如图在平面直角坐标系xOy中，已知A(2，2)，B(2，0)，C(0，2)，D(2，0)四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿BCD运动(M不与点B、点D重合)，设运动时间为t(秒).(1)求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；(2)点P在(1)中的抛物线上，当M为BC的中点时，若PAMPBM，求点P的坐标；(3)当M在CD上运动时，如图.过点M作MFx轴，垂足为F，MEAB，垂足为E.设矩形MEBF与BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；(4)点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K.是否存在点Q，使得HOK为等腰三角

19、形?若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由.【解题过程】28（2019陇南）如图，抛物线yax2+bx+4交x轴于A（3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PNBC，垂足为点N请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ 解：（1）由二次

20、函数交点式表达式得：ya（x+3）（x4）a（x2x12）= ax2ax12a，抛物线yax2+bx+4，12a4，解得：a，抛物线的表达式为yx2+x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（3，0）、（4，0）、（0，4），则AC5，AB7，BC4，OABOBA45，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ykx+b并解得：yx+4，同理可得直线AC的表达式为：yx+4，设直线AC的中点为P（，4），过点P与CA垂直直线的表达式中的k值为，同理可得过点P与直线AC垂直直线的表达式为：yx+，当ACAQ时，如图1，则ACAQ5，设：QMMBn，则AM7n，由勾股定理得：（7n）2+n22

21、5，解得：n3或4（舍去4），故点Q（1，3）；当ACCQ时，如图1，CQ5，则BQBCCQ45，则QMMB，故点Q（，）；当CQAQ时，联立并解得：x（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；（3）设点P（m，m2+m+4），则点Q（m，m+4），OBOC，ABCOCB45PQN，PNPQsinPQN（m2+m+4+m4）m2+m，0，PN有最大值，当m时，PN的最大值为：1. （2019湖州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA3，tanOAC，D是BC的中点（1）求OC的长及点D的坐标；（2）如图2，M是线段OC

22、上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F将DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；以线段DF为边，在DF所在的直线的右上方作等边DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G的运动路径的长【思路分析】（1）RtAOC中，由正切三角函数，可求OC的长；再由矩形的性质及线段中点的定义锁定点D的坐标（2）由翻折可知DBDC，从而DCA30通过解直角三角形得到FAFB，在RtAEF中，AEAFtanAFE，从而求得点E的坐标按一找点G的运动起点与终点，从而找到点G的路径，

23、二求该路径的长即可锁定答案如答图2和答图3，表示动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动时的起点、与终点的位置，G点的路径是一条线段【解题过程】（1）在RtAOC中，由tanOAC，OA3，得OCOAtanOAC3 四边形OABC是矩形，点D为BC的中点，D(，) （2）如答图1，易知OACACB30而由折叠可知DBDC，从而DCA30BDF30DFBAFE60RtDBF中，易求BFAFABBFRtAEF中，AEAFtanAFEOE，E(，0)综上，BF的长为，点E的坐标为E(，0)第24题答图3第24题答图2第24题答图1【知识点】矩形性质；解直角三角形；翻折（轴对称）；等腰三角形；等边三角

24、形；二次函数；动态问题；数形结合思想；探究性问题；压轴题；原创题2. （2019天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0),点B在y轴的正半轴上，ABO=30，矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上，OD=2.（1）如图，求点E的坐标；（2）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形CODE,点C,O,D,E的对应点分别为C,O,D,E,设OO=t,矩形CODE与ABO重叠部分的面积为S如图，当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时，CE,ED分别与AB相交于点M,F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）【思路分析】(1)由

25、题意知OA=6，OD=2，AD=4，由矩形CODE得DEBO，AED=ABO=30，DE=tan60AD=，所以点E的坐标为（2，）由平移得，OC=DE=,OD=CE=2，ME=OO=t，根据EDBO，得EFM=OBA=30,RtMEF中，EF=，SMEF=；S矩形CODE=;S=S矩形CODE-SMEF=，因为重叠部分是五边形，所以t的取值范围是0t2；当S=时，=，此时t=，所以重叠部分不是五边形；当S=时，=，此时t=，所以重叠部分不是五边形；当2t4时，重叠部分是四边形如图所示，当4t6时，重叠部分是三角形如图所示.当2t4时,当4t6时,所以，当S=时，此时t=4.5,不在2t4范围

26、内；当S=时，此时t=2.5；当S=时，此时t=，综上所述，t的取值范围是2.5t； 【解题过程】(1)A（6,0），OA=6，OD=2,AD=4，由矩形CODE得DEBO，AED=ABO=30，DE=tan60AD=，所以点E的坐标为（2，）(2)由平移得，OC=DE=,OD=CE=2，ME=OO=t，根据EDBO，得EFM=OBA=30,RtMEF中，EF=，SMEF=；S矩形CODE=;S=S矩形CODE-SMEF=，因为重叠部分是五边形，所以t的取值范围是0t0，a0，b0；（2）过点 D 作 DMy轴于M，则DMAO， DM =AO，设 A（-2m，0）(m0)，则 AO=2m，DM

27、=m.OC=4，CM=2，D（m，-6），B（4m，0），设对称轴交x轴于N，则DNy轴， DNBEOB，OE=8，SBEF = 44m =8， m =1，A（-2，0），B（4，0），设 y = a(x + 2)(x - 4)，即 y= ax 2-2ax- 8a，令 x=0，则 y=-8a，C（0，-8a），-8a=-4，a=， y = x2- x -4.易知：B（4m，0），C（0，-4），D（m，-6），由勾股定理得 CB2 =16m2 +16，CD2 = m 2 +4，DB2 = 9m2 + 36.9m 2 +36+16m2 +16 m2 +4，CB2 + DB2CD2，CB D为锐角

28、，故同时考虑一下两种情况：1当CDB 为锐角时，CD2 + DB2CB2，m2 +4 + 9m 2 +3616m2 +16 ，解得 -2m2，2当BCD 为锐角时，CD2 +CB 2DB 2， m2 +4 +16m2 +16 9m 2 +36，解得 m或m-（舍），综上： m2 ，22m4， 2OA4.第27题答图【知识点】二次函数图像与性质；勾股定理；相似三角形判定与性质；锐角三角形的判定；数形结合思想9 HYPERLINK file:/G:2018中考解析中考数学（解析版）分类汇编精品分类汇编，合作共赢！组织者：仓猛 .（2019岳阳）如图1，AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：

29、的图象上，点A的横坐标为4，点B的纵坐标为2（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将AOB绕点O逆时针转90得到AOB，抛物线F2：经过A、B两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、AM，求OAM的面积；（3）如图2，延长OB交抛物线F2于点C，连接AC，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与OAC相似若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由 【思路分析】（1）分别将A点横坐标和B点纵坐标代入抛物线F1可得；（2）通过A、B的坐标求出抛物线F2的函数关系式，根据点M在对称轴上求出点M的横坐标；延长AM交x轴于点N

30、，则AMN为等腰直角三角形，求出N点坐标，进一步求出直线AN的解析式，得到点M的坐标，最后利用SAOM SAONSOMN求解（3）根据点在直线OB和抛物线F2上求出点C的坐标，得到AC的长度及OAC的度数，根据两边成比例并且夹角相等证明三角形相似，分两种情况讨论求点D的坐标【解题过程】（1）将x=4代入，得：，A（4，4）将y=2代入，得：，解得：x1=1，x2=6点A在点B的左侧，B（1，2）（2）由旋转可知：A（4，4），B（2，1）代入抛物线，得：解得：抛物线F2：对称轴为：延长AM交x轴于点N，点A恰好在以OM为直径的圆上，OAM=90A（4，4），AON=45 AON为等腰直角三角形

31、ON=42=8N（8，0）设直线AN：y=mxn则解得：y=x8当x=6时，y=2M（6，2）SAOM SAONSOMN 8所以，OAM的面积为8（3）设直线OB解析式为：y=kx，代入B（2，1），得：2k=1设直线OB解析式为：解方程组：得：，B（2，1）C（8，4）A（4，4），ACx轴，AC=84=4，OAC=135若以A、O、D为顶点的三角形与OAC相似则AOD必有一个钝角135，故点O与点A是对应顶点所以点D在x轴或y轴正半轴上OA=OA=若AODOAC，则OD=AC=4此时点D的坐标为（4，0）或（0，4）若AODCAO，则OD=8此时点D的坐标为（8，0）或（0，8）由可知，坐

32、标轴上存在点D，其坐标分别为（4，0）、（0，4）、（8，0）或（0，8）【知识点】二次函数综合，图形的旋转，求二次函数解析式，相似三角形的判定，存在性问题，分类讨论思想10. （2019怀化）如图，在直角坐标系中有RtAOB，O为坐标原点，OB=1，tanABO=3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90，得到RtCOD，二次函数y=-x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点.求二次函数的解析式及顶点P的坐标；过定点Q的直线l：y=kx-k+3与二次函数图象相交于M，N两点.若SPMN=2，求k的值；证明：无论k为何值，PMN恒为直角三角形当直线l绕着定点Q旋转时，PMN外接圆圆心在一条抛物线上

33、运动，直接写出抛物线的表达式.【思路分析】（1）根据题意分别求出点A和点C的坐标，并把坐标代入y=-x2+bx+c，解出b和c的值即可，进而得出顶点P的坐标；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），首先求出定点Q的坐标，然后根据SPMN=PQ(x2-x1)得出x1和x2的数量关系，最后联立方程y=-x2+2x+3与方程y=kx-k+3，根据根与系数的关系得出x1+x2=2-k，x1x2=-k，进而求出k的值；过点P作PGx轴，垂足为G，分别过点M、N作PG的垂线，垂足分别为E、F，首先表示出线段PE，ME，PF，NF，然后根据锐角三角函数的定义得出tanPAE与tanFPN，根据x1+x2

34、=2-k，x1x2=-k，可得1-x1=，进而推出tanPAE=tanFPN，进而证明出结论；设线段MN的中点（x，y），由可得MN的中点为（，）进而得出抛物线方程.【解题过程】（1）解：OB=1，tanABO=3，OA=OBtanABO=3，A（0，3）.根据旋转的性质可得RtAOBRtCOD，OC=OA=3，C（3，0），根据题意可得，解得，二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，顶点坐标P（1，4）（2）解：由直线l的方程y=kx-k+3可得定点Q（1，3），设M（x1，y1），N（x2，y2），则SPMN=PQ(x2-x1)=2，x2-x1=4.联立y=-x2+2x+3与y=kx-k+

35、3可得x2+(k-2)x-k=0，x1+x2=2-k，x1x2=-k，(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=k2+4=16，k=.证明：过点P作PGx轴，垂足为G，分别过点M、N作PG的垂线，垂足分别为E、F.设M（x1，y1），N（x2，y2）.M，N在二次函数y=-x2+2x+3图象上，y1=-x12+2x1+3，y2=-x22+2x2+3.P（1，4），PE=4-y1=4+x12-2x1-3=(x1-1)2，ME=1-x1，PF=4-y2=4+x22-2x2-3=(x2-1)2，NF=x2-1，tanPAE=，tanFPN=.由可知x1+x2=2-k，x1x2=-k，x1+x2

36、=2+x1x2，(1-x1)(x2-1)=1，1-x1=，tanPAE=tanFPN，PAE=FPN.PAE+APE=90，FPN+APE=90，即APN=90，无论k为何值，PMN恒为直角三角形.解：设线段MN的中点（x，y），由可得MN的中点为（，），化简，得y=-2x2+4x+1.抛物线的表达式为y=-2x2+4x+1.【知识点】待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，锐角三角函数的定义，一元二次方程根与系数的关系，中点坐标公式25（2019山东省德州市，25，14）如图，抛物线ymx2mx4与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2x1（1

37、）求抛物线的解析式；（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当ax1a+2，x2时，均有y1y2，求a的取值范围；（3）抛物线上一点D（1，5），直线BD与y轴交于点E，动点M在线段BD上，当BDCMCE时，求点M的坐标【思路分析】（1）函数的对称轴为：x，而且x2x1，将上述两式联立并解得：x1，x24，从而求出抛物线的解析式；（2）由（1）知，函数的对称轴为：x，则x和x2关于对称轴对称，故其函数值相等，结合函数图象求出a的取值范围；（3）确定BOC、CDG均为等腰直角三角形来求解【解题过程】解：（1）函数的对称轴为：x，而且x2x1，将上述两式联立并解得：x1，x24

38、，则函数的表达式为：ya（x+）（x4）a（x24x+x6），即：6a4，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2x4；（2）由（1）知，函数的对称轴为：x，则x和x2关于对称轴对称，故其函数值相等，又ax1a+2，x2时，均有y1y2，结合函数图象可得：，解得：2a；（3）如图，连接BC、CM，过点D作DGOE于点G，而点B、C、D的坐标分别为：（4，0）、（0，4）、（1，5），则OBOC4，CGGC1，BC4，CD，故BOC、CDG均为等腰直角三角形，BCD180OCBGCD90，在RtBCD中，tanBDC4，BDCMCE，则tanMCE4，将点B、D坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解

39、得：直线BD的表达式为：yx，故点E（0，），设点M（n，n），过点M作MFCE于点F，则MFn，CFOFOC，tanMCE4，解得：n，故点M（，）26（2019山东滨州，26，14分）如图，抛物线yx2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；当点P到直线AD的距离为时，求sinPAD的值【思路分析】（1）根据抛物线yx2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，可以求得点A、B、C的坐标，再根据将直

40、线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D，可以求得点D的坐标从而可以求得直线AD的函数解析式；（2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点P到直线AD的距离最大值，进而可以得到点P的坐标；根据中关系式和题意，可以求得点P对应的坐标，从而可以求得sinPAD的值【解题过程】解：（1）当x0时，y4，则点A的坐标为（0，4），1分当y0时，0 x2+x+4，解得x14，x28，则点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（8，0），OAOB4，OBAOAB45将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD，BAD90，OAD45，ODA45，OAOD，点D的坐标为（4，0）2分设直线AD的函数解析式为ykx+b，得，即直线AD的函数解析式为yx+44分（2）作PNx轴交直线AD于点N，如右图所示，设点P的坐标为（t，t2+t+4），则点N的坐标为（t，t+4），PN（t2+t+4）（t+4）t2+t，6分P