1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(1)-B提高练(解析版)

1、1-4.2用空间向量研究距离、夹角问题(1)B提高练一、选择题1. (2020安徽安庆高二期中)若点,4 (2, 3, 2)关于xoz平面的对称点为，点、B ( - 2, 1, 4)关于轴对称点为点河为线段,4b的中点，则幽国=()A. V30B. 376C. 5D. V21【答案】c【解析】丁点d(2, 3, 2)关于xoz平面的对称点为H,W (2, -3, 2),点B(2, 1, 4)关于y轴对称点为，夕(2, 1, -4),.点 M为线段乂5的中点，：.M (2, -1, - 1), /.M.4 =-7(2-2 ) 2+(-1-3 ) 2+(-1-2) 25-.(2020四川广安高二校

2、级月考)已知直线/的方向向量为Z= (-1, 0, 1),点乂(1, 2, - 1)在/上，则点尸(2, -1,2)到/的距离为()A. a/15B. 4C. a/17D.八历【答案】C【解析】根据题意，得威=(-1, 3, -3), Z=(-1，0, 1),Acos=1+0-葭= 区,PA= H： V2XV19 V19V19乂了!尸匠，点尸(2, - 1, 2)到直线/的距离为另&sm-V19xIL-17.【答案】B.如图，已知正方形,488的边长为4方方分别是.胡/D的中点,GUL平面J5CD且GC=2,则点8到平面EFGD.1【解析】以C为坐标原点5所在直线为X轴15所在直线为y轴,公所

3、在直线为z轴，建立空间直角坐标系, 则 F(420)及240)。(0,0,2)卫(0,4,0),二战=(2,0,0)转=(-2,2,0)届=(-2,-4,21则更=。,m EG = 0、设平面EFG的法向量为m=(xjc), 即I：； 2z= 0 令 x=L则产l，z=3,则 m=(l,l,3). TOC o 1-5 h z :点B到平面EFG的距离小空巴=答. m11（2020山东荷泽三中高二期末）在棱长为。的正方体HBCDT山C必中，河是，力的中点，则点X到平面的距离是（）A. -aB.C.D. -a3646【答案】D【解析】以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系。-4 1（。，0, 0）

4、, B （内a, 0）, D （0, 0, 0）,M（a, 0,且），则而=（，。，0）. DM= （a，0, 22而5。四的法向量为1=（0i z），n DB=ax+ay=0则%npDM=ax+yz=0.乙取x=l，得W=(1, -1. -2), VBA-(0, 4, 0),U到平面MBD的距离d=|BAn | |a |a.故选：D.(工动点M在线段CG上，动点夕在平面5.（2020湖南高二（理）正方体A8CD - A5CQ的棱长为1,A四GA上，且AP_L平而.线段Ap长度的取值范围为（）【答案】DB. 1,#【解析】以0AoCOR分别为x,y,z建立空间直角坐标系，则A(1,O,O),3

5、(11,O),M(U/)，2(O,O,1).P(x,y,l) A户= (xl,y,l).3； = (1,1,0), 1旬0/由 AP_L 平而 M8A，则丽而=o BDt - AP = 0所以1一%+，= 0且1一工一 + 1 = 0得l=1+1, y = 1-t.所以 | 而| = J(X-if+ /+1 =+|V 乙) N当V时WL手当或时而=艮所以更4而上max2 I |6.(多选题)(2020江苏省如皋中学高二月考)正方体A3CD 4瓦G的棱长为1, E,G分别为BC,CG，88的中点.则()A.直线。与直线4E垂直B.直线AG与平面从跖平行9C.平面A环截正方体所得的截面面积为了 D

6、.点。和点G到平而A的距离相等 8【答案】BC、F G 13)-从而【解析】对选项A：(方法一)以。点为坐标原点，DA. DC、所在的工匚划为工、八z轴，建 立空间直角坐标系，则。(0,0,0)、A(l,0,0)、4(1,04)、EDD；= (0,0,1), AF=从而O)；a7 =WO,所以O0叮直线A尸不垂直一注项A铝: 2（方法二）取DD的中点N ,连接AN,则AN为宜线AF在平面ADD.A.内的射影，AN。不垂宜, 从而4月与。2也不垂直，选项A错误；取8c的中点为M，连接AM、GM、则4MAE, GM / EF、易证平面4MG 平面AE/,从而AQ 平面AEF,选项B正确：对于选项C

7、,连接AR. RF,易知四边形AEFR为平山AEF祓正:方体所得的九面四边形（如图所示且d、h = ah = 5 4。=&，所以与皿而时于选项D：（方法一）由于&Ga=S梯形8%_Sa8G =3 1 +不X-XTX-=7t lfij 乙）乙 乙 乙 乙 TS皿/ =不x7x7=三，皿匕.g* =tS亚卜七, 48，匕.w =-S”b AB,所以匕.g“=2VA即 Z Z Z oJJ%T=2匕-皿，点G到平面AEF的距离为点、C到平而AEF的距离的二倍.从而D错误.（方法二）假设点C与点G到平面A稗的距离相等，即平面AE尸将CG平分，则平而AE尸必过CG的中 点，连接CG交石产于点于,易知。不是

8、CG的中点，故假设不成立，从而选项D 二、填空题. （ 2020四川南充二中高二期末）如图，直三棱柱.4的侧棱，口=并，在H3C中，NHC8=90、4c=8C=L则点&到平面4BC的距离为.【答案】- 2【解析】如图所示，建立空间直角坐标系,则 d(l,0,0)1(0,l,0),C(0,0,0)/1(1,0,何31(0,1,行)Ci(OOVJ),:布=(-Ll,75)a?=(-L0z5)aK=Gl，L0).设平面8C的法向量为n=（xjN）,则卜竺=*即卜+三岳=。，令2=1得产-氏=0,.：n=（U）.41c = 0、（-x-v13z = 0.二点Bi到平而AiBC的距离d=E互=襄n 2.

9、（2020福建莆田一中高二月考）如图，正方体，BCZX43】GOi的棱长为1,则平面与平面8】8】间的 距离为【答案】匡 3【解析】以点。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则 50,0,0)1(1,0,1,0)刀1(0,0,1), 4x8=(。,LD/iDm-lO-DSi =(-1,0,0).设平面,力8。的法向量为n=(xyz),则:需二:七二21).:点功到平面/曲的距离/宰=套=易证平而平面&CZ尢 :平面廿平面BCD1间的距离等于点Di到平面AiBD的距离, ：平而,力3。与平面8】8】间的距离为三.已知正方形的边长为1EL平而4CD且PD=1EF分别为坦BC的中点,则点D到平而

10、PEF的【答案】察距离为，直线/C到平面尸石尸的距离1 17【解析】建立以。为坐标原点五?，砺而?分别为X轴J轴M轴正方向的空间直角坐标系，如图所示.则尸(OOl)a(lOO), C(0,1,0),E(lo)产僧,1.0),所以版=(祗弓.0),港=方=(L：o),设平面PEF的法向量n=g，。则咆=0,即 jt PE = 0,令x=2,则产22=3,所以n=(2,2,3),所以点D到平而PEF的距离占等 =-= 甯.因此点D到平面PEF的距离为嚓.因为E尸分别h AB SC的中点，所以EF/AC.又因为平面尸尸.耳七平而PEF,所以AC/平而PEF.因为版=(03.0).所以点h到平面产所的

11、距离d=a=所以直线AC到平面PEF的距离为(2020湖南师大附中高二期中)己知三棱锥S-.SC,满足S4, SB, SC两两垂直，且$4=S3=SC=2,Q是三棱锥S -ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为.【答案】华【解析】.三棱锥ST8C,满足SL SB, SC两两垂直，且以=S5=SC=2,.如图，SB, SC是棱长为2的正方体MVP8-,1DCS上具有公共顶点S的三条棱，以3为原点，BM、BP、85分别为x轴，y轴，z轴，建立空间宜角坐标系，则 3 (0, 0. 0), A (2, 0, 2), C (0, 2, 2), S (0, 0. 2), N (2, 2,

12、 0),BA= （2, 0, 2）, BC= （0, 2, 2）. BN-（2, 2, 0）,fn +9*7=flf设而方。的法向量n=6二），则二_，取L1.储n（1, b -2）,、n , BO2y + 2z=0三棱锥S -ABC外接球就是棱长为2的正方体MNPB - ADCS的外接球, O是三棱锥S -ABC外接球上一动点，/.点。与N重合时，点Q到平而ABC的距离的最大值，二点。到平而，3C的距离的最大值为：d=三、解答题(2020银川一中高二月考)如图所示，在四棱锥P. 15C。中，恻面刈Q_L底面”CD侧棱用=尸。=夜,底面ABCD为直角梯形，其中3CzlZU3LmaD=2J3=2

13、BC=2,问:线段AD上是否存在一点。，使得它到平而【解析】取乂。的中点。,在E1D中，：科=PDPOL。又侧而RLDL平面M3CD平面RLDCI平面ABCD=AD9:尸OL平面H3CD建立如图所示的空间直角坐标系，易得d(0,10)上(1,-1,0)。(100)Q(0、1,0)/(0,0,1), 则赤=(-L 0,1),而=(-L L0).假设存在点。，使它到平而尸8的距离为三.设。(0。，,0)(-10&1),则&=(-1仙0).设平面PCD的法向量为n=(xo皿二o),则卜上=in CD = 0,：f： 觉;I 即取 xo= 1,vxo 十 y。 u,则平面PCD的一个法向量为n=(l,

14、l,l).:点。到平面PCD的距离公率=等=或三(舍去)Jrl|V。44，此时而=3,0）,而=（0，,0）,则照|=1,|函弓:存在点。满足题意,此时含=I12. （2020四川广元二中高二月考）已知RtAlSC如图（1）, ZC= 90% D. E分别是工C,的中点，将AIDE沿。打折起到尸DE位置（即.4点到尸点位置）如图（2）使乙叨。=60。.（7）求证：BCVPCx（II）若8c=28=4,求点。到平而尸BE的距离.【解析】（Z）证明：RtAWBC如图（1）, ZC=90% D. E分别是MC,的中点,将沿OE折起到尸DE位置（即4点到尸点位置）如图（2）使/尸。=60。.：.DEDC. DEPD. DE/BC.：PDCDC=D,平面产CD,，8CLL平面 PCD,YPCu平面 PCD, ：.BCPC.(U)解：,:D. E 分别是 HC, 18 的中点，ZPDC=60S BC=2CD=4.：.CD=PD=PC=2,取CD中点。，班中点连结尸。，MO,贝IJQP, OD,两两