D51定积分的概念与性质课件

1、第一节一、定积分问题举例二、 定积分的定义三、 定积分的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的概念及性质 第五章 第1页，共26页。一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共26页。解决步骤 :1) 分割.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页，共26页。3) 求和.4) 取极限.令则曲边梯

2、形面积机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页，共26页。2. 变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤:1) 分割.将它分成在每个小段上物体经2) 近似.得已知速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 n 个小段过的路程为第5页，共26页。3) 求和.4) 取极限 .上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同 :“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页，共26页。二、定积分的定义定义第7页，共26页。被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和第8页，

3、共26页。说明：1.2. 有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积； 第9页，共26页。定积分的几何意义曲边梯形的面积A曲边梯形面积A的相反数yoyo第10页，共26页。定积分的几何意义各部分面积的代数和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页，共26页。定理1.定理2.且只有有限个间断点 可积的充分条件:例1. 利用定义计算定积分解:将 0,1 n 等分, 分点为取机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，共26页。注注 目录 上页 下页 返回 结束 第13页，共26页。注 利用得两端分别相加, 得即第14页，共26页。三、定积分的性质证:= 右端机动 目录 上页 下页 返回 结束

4、规定：第15页，共26页。( k 为常数)证:= 右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页，共26页。证: 当时,因在上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 ,于是机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分对积分区间具有可加性第17页，共26页。当 的相对位置任意时, 例如则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页，共26页。证:= 右端机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页，共26页。5. 若 在 上则证:推论1. 若在 a , b 上则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，共26页。注：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2.解:第21页，共26页。推论2.证:即6. 设则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，共26页。例3. 试证:证: 设则在上 , 有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页，共26页。7. 积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7 可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7 目录 上页 下页 返回 结束 第24页，共26页。说明: 可把故它是有限个数的平均值概念的推广.机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分中值定理对因第25页，共26页。作业 P266 1 (1)