数字图象处理8

1、Digital Image Processing 数字图像处理E-MAIL:1第八章 小波图像编码 28.1 概述 3主要内容 小波变换 离散小波变换 多分辨率分析和Mallat算法 Matlab中常用小波基介绍 小波变换在图像编码中的应用 48.2 小波变换 5一维连续小波给定称为连续小波或分析小波(Analyzing Wavelet) 叫基本小波或母小波（Mother Wavelet）。其中a是伸缩因子，b为平移因子。 定义 6一维连续小波变换CWT设|a|-1/2规范化因子，可使定义 是连续小波 记则函数的连续小波变换：7基小波或允许小波设则 为一个基小波或允许小波。 定义 是连续小波且

2、满足容许性条件： 8允许小波的性质1小波逆变换存在性且有 令 是允许小波，对所有 有：9允许小波的性质2能量比例性 上式为能量公式，在允许性条件下，小波变换幅度的平方的积分与信号能量成正比。 令 是允许小波，对所有 有：10允许小波的性质3正则性 p=1可直接由允许性条件验证，至于其他情况，能使上式成立的n越大越好.令 是允许小波，要求其前 n 阶原点矩为零，且 n 越大越好，即11小波变换的性质1线性性 如果则12小波变换的性质2平移不变性 如果则13小波变换的性质3伸缩共变性 如果则14小波变换的性质4自相似性对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。5冗余性（1）由连续

3、小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说，信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而Fourier变换与反Fourier变换是一一对应的。（2）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的）。 158.3 离散小波变换 16离散小波尺度离散化：取一个合理的值a0，使尺度因子只取a0的整数幂，即定义 位移离散化：当尺度取a0时，取位移b=b0，各位移为kb0。当 时，取 ， 其中 固定的。离散小波函数: 17离散小波变换离散小波变换：定义 改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。18离散小波变换定义 令：a0=2

4、，b0=1时，尺度为2 j ，而位移为2 j k即：尺度为2 j ，而位移为2 j k则：二进离散小波：相应的小波变换记：19框架理论 定义 设 存在 ，对 有：则 称为一个框架 如果A=B，则框架为紧框架有：20框架理论 框架算子定义 称 T 为框架算子 如果 是框架 有线性算子：I恒等算子 21框架理论 对偶框架定义 则 也是框架，且其框架界为B-1和A-1称 是 的对偶框架 设 是框架 令：22框架理论 对偶框架算子 可以得到：设 对偶框架 的框架算子则：238.4 多分辨率分析和Mallat算法 24多分辨率分析 则空间集合称为依尺度函数 的多分辨率分析 定义 若下列条件成立： (1)

5、嵌套性：(2)稠密性： (3)分立性: (4)尺度性:(5)Riesz基存在性: 中一系列嵌套函数子空间序列 构成V0的Riesz基 且25小波分解和重建Vk一个多分辨分析, Wk 是Vk关于Vk+1的补空间 则：对分解 26小波分解和重建双尺度方程 令：则：分解 27小波分解和重建由：推广得：分解 28小波分解和重建由于 , 分别是对应空间的Riesz基：所以(a)分解 29小波分解和重建将a式代入得:分解 30小波分解和重建由于： ， 线性无关得分解算法:， 分解算法示意图 分解 31小波分解和重建重建 32小波分解和重建由于： ， 线性无关得重构算法:小波重建示意图 重建 338.5 M

6、atlab中常用小波基介绍 34常用小波函数介绍 （1）Harr小波 尺度函数35常用小波函数介绍 （2）Daubechies（dbN)小波系 除db1（Haar小波），其余的db系列小波函数没有解析的表达式 36常用小波函数介绍 （3）Symltes（symN）小波系 sym 小波在保持db小波简单性的基础上提高了小波的对称性 37常用小波函数介绍 （4）Coiflet(coifN)小波族 具有更长支集长度和更大消失矩,是对称性比较好的小波系 coif3的小波尺度、小波函数和分解重构滤波器 38常用小波函数介绍 （4）Biorthogonal（biorNr.Nd）双正交小波系 正交基与正交小

7、波变换从数学角度上说是最理想的，但Daubechis已经证明，除Haar基外，所有正交基都不具有对称性。这在图像编码这类型失真的应用中，会引入相位失真，是很不理想的，因此希望有对称性质的小波基。 Cohen和Daubechies构造了一类具有紧支撑性和一定正则性的对称双正交小波基，它的主要特性体现在具有线性相位性，主要应用在信号与图像重构。39常用小波函数介绍 （4）Biorthogonal（biorNr.Nd）双正交小波系 Bior2.4小波、对偶小波及滤波器 40与小波函数有关的Matlab函数 WAVEINFO函数： 提供小波工具箱中所有小波信息。 WAVEFUN函数： 返回一维小波的小

8、波函数和尺度函数（如果尺度函数存在的情况下）的近似值。 WFILTERS函数： 返回指定小波的分解和重构滤波器 41与小波函数有关的Matlab函数 例8。2 Matlab程序waveinfo(db); %显示db系小波信息phi,psi,xval=wavefun(db2,10); %得到db2的尺度函数和小波函数subplot(242);plot(xval,phi,k); %显示尺度函数axis(0 3 -0.5 1.5);axis square; title(db2 尺度函数);subplot(243); plot(xval,psi,k); %显示小波函数axis(0 3 -1.5 1.5

9、);axis square; title(db2 小波函数);lo_d,hi_d,lo_r,hi_r=wfilters(db2); %得到db2的相关滤波器subplot(245); stem(lo_d,ok); title(db2 分解低通滤波器);subplot(246); stem(hi_d,ok) ；title(db2 分解高通滤波器);subplot(247);stem(lo_r,ok); title(db2 重构低通滤波器);subplot(248); stem(hi_r,ok); title(db2 重构高通滤波器);42与小波函数有关的Matlab函数 例8。2 结果438.6

10、小波变换在图像编码中的应用 44数字图像的小波分解 设 是一个二维可分离的多分辨率分析， ，其中 是 上的一个多分辨率分析，其尺度函数为 ，小波函数为 ，那么有相应于二维的可分离的尺度函数 和三个可分离的方向敏感小波函数 ， ， 为： 45数字图像的小波分解沿着不同的方向小波函数会有变化， 度量沿着列变化（例如，水平边缘）， 度量沿着行变化（例如，垂直边缘）， 则对应于对角线方向。每个小波上的H表示水平方向，V表示垂直方向，D表示对角线方向。46数字图像的小波分解由前的尺度和小波函数，定义一个伸缩和平移的基函数 ：47数字图像的小波分解同一维一样，可得到分解算法 ：48数字图像的小波分解令分解

11、序列为Lo_D和Hi_D 数字图像小波分解数据流示意图 49数字图像的小波分解数字图像小波分解流程图 50数字图像的重构同样，则重构算法：令重构序列为Lo_R和Hi_R 数字图像小波分解数据流示意图 51数字图像的分解例其Matlab程序如下：I=imread(cameraman.tif,tif); %读入并显示原始图像figure(1)；subplot(121);imshow(I); ca1,ch1,cv1,cd1 = dwt2(I,db2); %用db2小波对图像进行一层小波解I2=ca1,ch1*4;cv1*4,cd1*4; %组成变换后的矩阵 %图像不能反映实际情况，要作一些处理。mi

12、n=min(I2(:);max=max(I2(:);subplot(122);imshow(I2,min,max); %显示变换后近似和细节图像X=idwt2(ca1,ch1,cv1,cd1,db2); %用idwt2作反变换rmes=compare(I,X) %反变换结果与原始图像比较52数字图像的分解例二维小波一层分解图 53数字图像的分解例二维小波一层分解图 54数字图像的分解例多级二维小波变换结果 55小波基的选择 不同于Fourier分析，小波基不是唯一，显然选择最优的小波基用于图像编码是一个非常困难的事，一般情况下需考虑以下几个因素：小波基的正则性和消失矩；小波基的线性相位；要处理

13、图像与小波基的相似性；小波函数的能量集中性；综合考虑压缩效率和计算复杂度。56小波基的选择 图像压缩中几种常用小波基 N0133445/6419/64-1/8-3/643/1281/21/4双正交样条小波bior2.4 57小波基的选择 双正交样条小波，接近正交性的 N013340.6029490.266864-0.078223-0.0168640.0267490.5575430.295636-0.028772-0.045636058小波基的选择 双正交样条小波，接近正交性的bior4.4 N013340.60.25-0.050017/2873/280-3/56-3/280059小波基的选择

14、双正交样条小波(jpeg9.7) N013340.6029490.266864-0.078223-0.0168640.0267491.11510.59127-0.057544-0.091272060小波变换域小波系数分析 1. 小波变换的能量紧致性分析 子图（M*N个像素）的能量定义为: 61小波变换域小波系数分析 2. 小波变换系数分析 图号最大值最小值均值方差能量比层能量合计LL4213.40.8696.9272141.886.3192.01 4.36 2.561.07HL4109.0-113.94-0.142281.32.10LH4129.9-114.13-0.085374.92.81H

15、H483.6-67.590.074105.80.79HL3167.3-131.52-0.191260.11.95LH3102.2-148.53-0.095248.51.86HH369.0-88.400.051474.030.55HL2139.2-117.460.097151.91.14LH2136.7-170.36-0.024138.31.04HH277.3-113.20-0.00151.30.38HL175.7-92.010.03757.80.43LH167.2-92.61-0.06158.30.43HH158.3-59.27-0.01127.90.21Lena图小波系数统计分析表 62小波

16、变换域小波系数分析 2. 小波变换系数分析 各层小波系数分布图 63小波变换域小波系数分析 小波系数规律: （1） 随着分层数的增加，小波系数的范围越来越大，说明越往后层次的小波系数越重要。（2）除LL4外，其他子带方差和能量明显减少，充分说明低频系数在图像编码中的重要性。（3）对同一方向子带，按从高层到低层（从低频到高频）子带，有：HL4HL3HL2HL1，LH4LH3LH2LH1，HH4HH3HH2HH1，大部分情况下其方差从大到小，有一定的变换规则。（4）第一层中有90%的系数绝对值集中在0零附近。以上规律对图像压缩编码算法有很重要的指导意义 64小波变换域小波系数分析 例65直接阈值编

17、码法对小波系数C(i,j), 在图像压缩中常用的阈值法为： 阈值化处理的关键问题是选择合适的阈值的选取，如果阈值太小，压缩效果不明显，阈值太大，压缩图像重构就是丢失很多细节，产生模糊 66直接阈值编码法小波变换系数的二种阈值方法： 对所有子带用一个全局阈值； 对各子带分别用不同的阈值；67直接阈值编码法 例68基于小波树结构的矢量量化法 人眼视觉系统是对高频分量不敏感，而对低频分量反应很敏感。根据这一特点，在压缩时应尽量降低低频分量的失真，即在量化编码的码率分配时，低频区码率相对高，高频区码率相对低。二级小波分解和矢量量化位率分配图69基于小波树结构的矢量量化法 前面章节已经指出若对图像进行L

18、层分解,其变换系数有以下几个特点：（1）图像的能量主要集中在低频的LL子带上。（2）子带LH，HL，HH表现出明显的方向性，它们分别代表水平、垂直和对角方向的边沿或纹理信号。（3）各子带的相应位置的系数有明显的相关性。70基于小波树结构的矢量量化法 例矢量量化结果 71嵌入式小波零树编码 （1）零树表示小波系数分三种情形： 零树根； 孤立零； 重要系数。 72嵌入式小波零树编码 系数编码时的扫描顺序图 73嵌入式小波零树编码 系数编码的流程图 74嵌入式小波零树编码 （2）逐次逼近量化 逐次逼近量化是逐次使用阈值序列T0，T1，TN-1以决定重要系数，其中阈值序列的选取是Ti=Ti-1/2，而最初的阈值T0的选择使得对所有系数xj有|xj|2T0，且T0=2n。75嵌入式小波零树编码 简单例子 考虑88图像的3尺度小波变换63-344910713-127-312314-13346-115143-125-739-9-7-1484-232-59-14746-2230-323-2042-36-436365115603-4476嵌入式小波零树编码 简单例子 T0=32的编码过程 子带系数值符号重构值子带系数值符号重构值LL363POS48LH2-9ZTR0HL3-34NEG-48LH2-7ZTR0LH3-31IZ0HL17Z0HH323ZTR0