新高考高考数学一轮复习巩固练习7.2第57练《球的切、接问题》（解析版）

1、第57练球的切、接问题考点一定义法1(2022荆州中学模拟)已知三棱锥DABC的四个顶点在球O的球面上，若ABACBCDBDC1，当三棱锥DABC的体积取到最大值时，球O的表面积为()A.eq f(5,3) B2 C5 D.eq f(20,3)答案A解析如图所示，当三棱锥DABC的体积取到最大值时，则平面ABC平面DBC.取BC的中点G，连接AG，DG，则AGBC，DGBC，分别取ABC与DBC的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于点O，连接BO，OG，则O为三棱锥DABC外接球的球心，由ABACBCDBDC1，得正方形OEGF的边长为eq f(r(3),6)，则OG

2、eq f(r(6),6)，三棱锥DABC的外接球的半径Req r(OG2BG2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),6)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq r(f(5,12)，球O的表面积为4eq blc(rc)(avs4alco1(r(f(5,12)2eq f(5,3).2(2022云南师大附中模拟)已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，AB3，BC4，AA13，设该直三棱柱的外接球的表面积为S1，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为S2，则eq f(S1,S2)等于()A.eq f(5,2) B.eq f(34,9) C.eq f(9

3、,2) D.eq f(17,2)答案D解析易知RtABC的外接圆直径为AC，所以半径长为eq f(5,2)，设外接球半径为R，则R2eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)2eq f(17,2)，S14R234，设RtABC的内切圆半径为r，则eq f(1,2)(345)req f(1,2)34，r1，2r2eq f(R2,3)时，V0，当 t20，所以当t2eq f(R2,3)时，圆柱体积取得最大值，此时h2t2eq r(f(R2,3)eq f(2r(3),3)R.10一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底

4、面边长为2，则该球的表面积为_答案9解析如图所示，O为底面正方形的中心，则OP2，AB2，则正四棱锥的外接球的球心O在OP上，则外接球的半径R满足(2R)2(eq r(2)2R2，解得Req f(3,2)，该球的表面积S4R29.11(2022南昌质检)九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵ABCA1B1C1中，AA1AC5，AB3，BC4，则在堑堵ABCA1B1C1中截掉阳马C1ABB1A1后的几何体的外接球的表面积是()A50 B.eq f(125r(2),3)C.eq f(125r(2),6) D20

5、0答案A解析在堑堵ABCA1B1C1中截掉阳马C1ABB1A1后，剩余的几何体为三棱锥ABCC1，该几何体与堑堵ABCA1B1C1的外接球是同一个球，因为AB3，BC4，AC5，所以AB2BC2AC2，所以ABC90，所以RtABC的外接圆直径为AC5，所以堑堵ABCA1B1C1的外接球的直径为2Req r(AC2CCoal(2,1)5eq r(2)，所以Req f(5r(2),2)，因此，在堑堵ABCA1B1C1中截掉阳马C1ABB1A1后的几何体的外接球的表面积是4R250.12(多选)我国古代数学名著九章算术中将正四棱锥称为方锥已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点

6、在半球的球面上，若方锥的体积为18，则关于半球的说法正确的是()A半径是3 B体积为18C表面积为27 D表面积为18答案ABC解析如图，PAC是正四棱锥的对角面，设半球的半径为r，AC是半球的直径，则正四棱锥底面边长为eq r(2)r，棱锥体积为V1eq f(1,3)(eq r(2)r)2req f(2,3)r318，得r3，半球体积为V2eq f(2,3)r3eq f(2,3)3318，表面积为2323227.13(多选)(2022重庆模拟)已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点全部在球O的表面上，ABAC，BAC120，三棱柱ABCA1B1C1的侧面积为84eq r(3)，则球O的表面积

7、可能是()A4 B8 C16 D32答案CD解析设三棱柱ABCA1B1C1的高为h，ABACa.因为BAC120，所以BCeq r(3)a，则该三棱柱的侧面积为(2eq r(3)ah84eq r(3)，故ah4.设N，M分别是三棱柱上、下底面的外心，则三棱柱外接球球心O是MN的中点，设ABC的外接圆半径为r，则MCreq f(BC,2sinBAC)a.设球O的半径为R，则OC2R2r2eq blc(rc)(avs4alco1(f(h,2)2a2eq f(h2,4)eq f(16,h2)eq f(h2,4)4，当且仅当h2eq r(2)时取等号，故球O的表面积为4R216.14(2022西安模拟

8、)A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥ABCD的四个顶点在表面积为64的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为2eq r(7)和4eq r(3)，则AB，CD的伴随球的体积的取值范围是_答案eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(125,6)解析由题意知，三棱锥ABCD的外接球O的半径为4，故OAOD4，且OMAB，ONCD，由勾股定理得OMeq r(OA2AM2)3，ONeq r(OD2DN2)2.由题意知，AB，CD的伴随球O1以AB，CD为切线，OMONMNOMON，故MN的最大值和最小值分别为5和1，当O，M，N三点共线且O在线段MN之间时