微积分课件8.8多元函数习题课

1、15、设 z x3 f ( xy, y ), ( f 具有二阶连续偏导数 )，xz 2z 2z求 y , y2 , xy .6、求函数z f ( x, y) x2 xy y2的极值.7、f ( x, y)在(0, 0)处是否可微？ xy sin 1 ( x, y) (0,0)f ( x, y) x2 y20( x, y) (0,0)4、设 z f (u, x, y), u xe y , 2z其中f具有连续的二阶偏导数 , 求xy .解 zx f1 e y f2,1xy( f e y f )f 12z2 xzxy 1 2y3y e y f1 e y ( f11 xe y f13 ) ( f21

2、xe y f23 ) e y f1 xe2 y f11 e y f13 xe y f21 f23 .3.(2) u f ( x, xy, xyz), 其中 z ( x, y),求u , u .x yux f1 yf2 f3 ( yz xyx ),1xuy xf2 f3 ( xz xyy ).u2xy3xyzxy3. (1) z xln y ,求z , z .x y解ln z ln xln y , ln z ln y ln x ,1 z ln y 1z xx z z ln y ,z xln y 1 ln yxxx类似地z 1 xln y ln xyy3、求一阶偏导数z xln y , 求z ,

3、z .x yu f ( x, xy, xyz), 其中 z ( x, y),求u , u .x y4、 设 z f (u, x, y), u xe y , 2z 其中f具有连续的二阶偏导数 ,求xy .第八章 多元函数微积分习题课二元函数 z ln4 arcsin1的定义域为:x2 y2x2 y21 x2 y2 4 .ln(1 x2 )y x2函数 z 2当 时连续.x y28、 ( x2 y2 )d , D : 0 y sin x,0 x .D9、求 2dx 2 e y2 d y0 x10、 求由曲面 z x2 y2和z 2 x2 y2所围成的的体积.f (0,0) 0 , f (0,0)

4、0 ,z xy sin 1xy(x)2 (y)2只需证明(x, y) (0,0)时， z f x (0,0)x f y (0,0)y是否为 (x)2 (y)2的高阶无穷小， xy 0 (x)2 (y)2 (x)2 (y)2 z f x (0,0)x f y (0,0)y o( ) f ( x, y)在(0, 0)处可微.xy sin 1(x)2 (y)2(x)2 (y)2(x)2 (y)2(x)2 (y)27、f ( x, y)在(0, 0)处是否可微？ xy sin1( x, y) (0,0)f ( x, y) x2 y20( x, y) (0,0)解f (0,0) lim f (x,0)

5、f (0,0) 0 xx 0 xf (0,0) lim f (0, y) f (0,0) 0yy0yz f ( x, y) f (0,0) xy sin 1(x)2 (y)26、求函数z f ( x, y) x2 xy y2的极值.解zx 2 x y, zy x 2 y由 zx zy 0, 解得驻点: (0, 0),A zxx 2, B zxy 1, C zyy 2,在点(0,0)处: AC B2 3 0, 且A 2 0,函数有极小值 f (0, 0) 0. 2 z 2 z 4 2 xy yxx ( x f1 x f2 ) 4 x3 f1 x4 f11 y f12 ( y ) 2 xf2x2

6、x2 f y f ( y ) 2122x2 4 x3 f1 2 xf2 x4 yf11 yf22 .5、设 z x3 f ( xy, y ), ( f 具有二阶连续偏导数 )，xz 2z 2z求 y , y2 , xy .解 z x3 f x f 1 x4 f x2 f ,y 12 x 12 2z 4 1 2 1 y2x f11 x f12 x x f21 x f22 x x5 f11 2 x3 f12 xf22 ,311、设 u f ( x, z),而 z z( x, y)是由方程 z x y (z)所确定的函数, 求 du.解du uxdx uydyuxu f f zuy f2 zyzxx

7、12 xy设F ( x, y, z) z x y(z)Fx 1 , Fy (z) ,Fz 1 y(z)z Fx 1 ,z Fy (z) ,xFz 1 y(z)yF 1 y(z)z综合提高题11、设 u f ( x, z),而 z z( x, y)是由方程 z x y (z)所确定的函数, 求 du.12、D : x2 y2 y , x 0, f ( x, y) 在D上连续，且f ( x, y) 1 x2 y2 8 f (u, v)dudv D求 f ( x, y) .（02年题）V (2 x2 y2 ) x2 y2 dxdyDz (2 2 ) ddD (2 3 2 )ddD 2 d 1 2 3

8、 2 )dx2 y2 1y00(x 5 . 610、 求由曲面 z x 2 y2和z 2 x 2 y2所围成的的体积 .解z x2 y2zz 2 x2 y2yx2 y2 1y1 xx9、求 2dx 2 e y2 d y0 x解: X 型区域y xD : 0 x 2, x y 22Y 型区域D : 0 y 2, 0 x y02x2y y 2原式 0 d y0 edx2 2 y e y2 d y 1 e y2 1 (1 e4 )0 22 08、 ( x2 y2 )d , D : 0 y sin x,0 x .D解:原式 dxsin x ( x2 y2 )dy00 ()dx0 2 4 49 2 40 .94A 1 1 x2 y2dxdy2 DQ x2 y2 y 2 sin , 即 sin ,A 1 / 2 d sin 1 2 d2 00 1 2 1 sin ,6 2 3 x12、D : x2 y2 y , x 0, f ( x, y) 在D上连续，且f ( x, y) 1 x2 y2 8 f (u, v)dudv 求 f ( x, y) . D解 设A f (u,v)dudvf ( x, y) 1 x2 y2 8 ADA 1 x2 y2dxdy 8 A dxdyDD 1881Q A dxdy A 8 ADA 1 1 x2 y2dxdy