点集拓扑讲义ppt.1

1、点集拓扑学主讲人：吴洪博1精选版课件ppt第一章 集合论初步 1.2 关系,等价关系1.1 集 合1.3 映 射1.4 集族及其运算 1.5 可数集，不可数集1.6 基 数2精选版课件ppt1.1 集 合重点:熟悉有关集合的等式和性质难点:有关集合的有限笛卡尔积的等式和性质3精选版课件ppt 集合一词，我们在高中阶段已经接触过，在那里，集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里，我们仍采用对集合的这种直观的描述性定义，以后我们还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观的结论.虽然这样做逻辑性差一些，不及公理集合论的严密性，但这样做却是我们易于理解和接受的，不致使读者陷入逻辑困惑之中，从而尽快地

2、进入拓朴学基础的学习程序.4精选版课件ppt定义1.1.1 对于两个集合A,B,如果A的每个元素都是集合B的元素,我们称A包含于B,或B包含A,或A是B的子集,记作 .如果 ，而且存在使得 ，称A是B的真子集，记作 .如果，同时记作A=B.，称集合A与集合B相等，5精选版课件ppt不含任何元素的集合称为空集，用符号 表示.规定空集是任意集合的子集.含有有限个元素的集合叫做有限集，不是有限集的集合叫做无限集.6精选版课件ppt定义1.1.2 给定集合A,B,由A与B的全部元素构成的集合叫做A与B的并集,记作 .用描述法表示是: .定义1.1.3 给定集合A,B,由A和B的公共元素构成的集合叫做A

3、与B的交集,记作 .用描述法表示就是: 而且 .7精选版课件ppt定义1.1.4 给定集合A,B，把由属于A而不属于B的元素构成的集合叫做A与B的差集,记作 .用描述法表示是 .而此时可称B为全集，全集在一个问题中是事先指定的或者是不言自明的.如果 , 称 为A在B中的补集，记作 .8精选版课件ppt对于集合之间的运算，有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中，我们用两个圆分别表示集合A,B，而用阴影部分表示两个集合运算的结果.图1.1.19精选版课件ppt观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:这样做的好处在于将并集 转化成互不相交的集合并集.该集合等式也可以用定义证明.10精选版课

4、件ppt集合中的运算律 设X是全集，A，B，C是X的子集，则以下运算律成立：(1)交换律 (2)结合律 (3)零元,单位元 (4)吸收律 11精选版课件ppt(5)分配律 (6)幂等律 (7)对合律 (8)对偶律 (9)互补律 12精选版课件ppt以上运算定律由定义或作图不难验证,我们仅以对偶律的验证为例,其余读者自己完成.图1.1.213精选版课件ppt.图(a)中阴影部分表示 ,图(b)中右斜线表示，左斜线表示 . 由图1.1.2可得： . 定义1.1.5 对给定的非空集合 我们把由二元有序对 (其中 ) 构成的集合叫做X与Y的笛卡 用描述法表示是:尔积，记作 14精选版课件ppt其中x是

5、第一个坐标,y是第二个坐标,X称为第一个坐标集,Y称为第二个坐标集.特别地，记 为 称为X的二重笛卡尔积.对于有序对及笛卡尔积，读者并不陌生，我们学过的笛卡尔直角坐标系中的点就是有序数对 ,因而整个直角坐标系平面就是集合R的二重笛卡尔积R 2 (R表示实数集合).15精选版课件ppt虽然对于任意给定集合,它们的元素不必有序,但我们可以把集合的元素串在一起,这样就可用线段或直线表示集合.进而将集合的笛卡尔积就可用“平面图形”直观的表现出来. 例1.1.1 设 由下面的图1.1.3很容易得16精选版课件ppt（A-B）（C-D）图1.1.3该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.17

6、精选版课件ppt习题 1.1 1. 试判断下列关系式的正确与错误 的元素. 2. 设都是集合，其中,证明：如果, 则 3. 设，即X有 个互不相同的元素，X的幂集P (X)有多少个互不相同4. 设， 用列举法给出P (X).5. 设A，B是集合，证明 的充要条件是 ,， 的充要条件是.且 18精选版课件ppt6. 设A，B都是集合,证明:若，则.；7. 设某一个全集已经给定，证明 若，并且 ，则 8. 设A，B，C，D是全集X的子集,试判断下列命题的正确性.若正确，给出证明，若不正确，给出反例. 若， 则 若 ，则 19精选版课件ppt，9. 设A，B，C表示集合，试用A，B，C及集合运算符号

7、表示下面集合.， 20精选版课件ppt1.2 关系,等价关系 重点：熟悉关系像，逆关系，复合关系和 等价关系的性质难点：对命题演算知识的欠缺将影响性质 证明的严谨性21精选版课件ppt定义1.2.1 设X,Y是两个集合,如果,即R是X的一个子集,则称R是从X到Y的与Y的笛卡尔积 一个关系. 定义1.2.2 设R是从集合X到集合Y的一个关系,即.(1)如果,则称x与y是R相关的,并且记作xRy; ,则称Y的子集(2)如果 存在使得A的象集,或者称为集合A的R象,R(X)称为关系R的值域; 为集合A相对于关系R而言的象集,或者简单地称为集合22精选版课件ppt(3)如果,则称X的子集:存在使得为集

8、合B相对于R称为关系R的定义域.的原象集,或者简单地称为集合B的原象,或者称为集合B的R原象,关系，一个是自身，一个是进行简单地考查. 关系是一个外延十分广泛的概念.读者很快便会看到在数学学科中学过的映射，等价,运算，序等概念都是关 系的特例，这里有两个特别简单的从集合X到集合Y的，请读者自己对它23精选版课件ppt定义1.2.3 设R是从集合X到集合Y的一个关系,即,这时笛卡尔积的子集: 是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的 逆，因此 当且仅当 . 显然，若，集合B相对于关系R-1的象集就是集合B相对于关系R的原象集.特别地关系R-1的值域就是关关系R的定义域.24精选版课件pp

9、t集合 定义1.2.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从集合Y到集合Z的一个关系,即存在使得是笛卡尔积. 当且仅当存在使得因此 显然，当且仅当系R与关系S的复合,记作的一个子集,即从到 的一个关系,称此关系为关25精选版课件ppt定理1.2.1 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从集合Y到集合Z的一个关系,T是从集合Z到集合U的 一个关系,则(1) (2)(3) 26精选版课件ppt 证明：(1)当且仅当,当且仅当,而这当且仅当,这又当且仅当于是我们证明了. (2)和(3)的证明类似于(1)，可根据定义直接验证,请读者 自己完成.27精选版课件ppt定理1.2.2 设R是从集合X到

10、集合Y的一个关系,S是从A和B,我们有:集合Y到集合Z的一个关系,则对于X中的任意两个子集 (1) (2) (3) (4) 28精选版课件ppt， ， ，仅当存在或存在，,当且仅当 . , ，证明(1)当且仅当存在使得当且仅当存在或存在使得当且 . 或，当且仅当于是 我们证明了 .(2) 设，则存在使得即存在 ，使得 因此29精选版课件ppt(3)由于当且仅当存在使得当且仅当存在使得 (存在使得当且仅当存在使得. )，(4)设,即. 因此存在，使得. 此时假设，由于，因此， 这与 矛盾，因此因此存在 ，因此， 30精选版课件ppt定义1.2.5 设X是一个集合,从集合X到集合X的一个称为恒同关

11、系，或恒同、对角线.记作或.关系简称为集合X中的一个关系.集合X中的关系:定义1.2.6 设R是集合X中的一个关系,如果即对于任意,有,则称关系R为自反的; 如果 ,即对于任何,如果,则 则称关系R为对称的; 如果,即对于任何31精选版课件ppt和不能同时成立,则称 关系R为非对称的;如果,即对于任何,如果 ，则 ，则称关系R是传递的.定义1.2.7 设R是集合X中的一个等价关系.集合X中的两个元素x,y,如果满足条 件:xRy,则称x与y是R等价的, 或简称等价的;对于每一个 ,集合X中的子集称为x的R等价类或等价类,记作或,并且任何一个 都称为R等价类的一个代表元素; 32精选版课件ppt

12、(1)如果则 , 因而.由等价类组成的集合 称为集合X相对于.等价关系R而言的商集,记作 .定理1.2.3 设R是非空集合X中的一个等价关系,则:(2)对于任意或者，或者证明：设由于R是自反的，所以，因此因而.33精选版课件ppt有(2)对于任意,如果,设,如图1.2.1,因此必 ,又由于R,又由于R是传递的,所以 .是对称的,所以34精选版课件ppt 对于任何一个 有 ，由上述 以及R的传 . ，由 定义即得 .因此证明了递性可得 同理可证 .因此 .例1.2.1 给出平面上的一个关系 ,的意义是指 和 到原点 的距离相等,容易验证是平面 上的一个等价关系. 相对于等价关系而言的商集 为，

13、35精选版课件ppt即商集是由单点集和以原点为中心的所有圆周组成的集合.习 题 1.2 1. 设 ， , ，. 试求的值域，R的定义域.2. 设R是从集合X到集合Y的一个关系,证明下列条件等价:(1) 对于任意 ，36精选版课件ppt(2) 对于任意 ，.限制定义为 ，证明:一个等价关系的限制仍是等价关系.3. 设C是X上的一个关系， ，关系C在上的4. 设R是集合X中的一个对称的，传递的关系.证明R是一个等价关系当且仅当R的定义域为X.5. 设R1，R2是集合X中的两个等价关系，证明仍是集合X中的一个等价关系当且仅当.6. 实数集合R中的一个关系定义为：37精选版课件ppt 证明关系R是实数

14、集合R上的一个等价关系，并且 ，即给出实数集R关于关系R的商集.给出38精选版课件ppt1.3 映 射重点：熟悉由映射所诱导的逆关系得所有性质难点：对映射的逆关系性质的理解39精选版课件ppt定义1.3.1 设f是从集合X到集合Y的一个关系,即 ,如果对每一个使得果 f 满足：(1) 即对 存在.使得xfy；那么称关系f是从集合X到集合Y的一个映射.(2)设,如果对于有xfy1和xfy2,则y1=y2. , 则称关系 f 是从集合X到集合Y的一映射,并且记作换言之，设 如40精选版课件ppt定义1.3.2 设X和Y是两个集合, ,即使得xfy的是从集合X到集合Y的映射,对每个唯一元素 称为x的

15、象或值,记作f(x)，即y=f(x);（值得注意的是 可以没有原象,也可以有不止一个原象 不必是单元素集, 有时也记作 .x是y的一个原像.对于 ,如果存在使得xfy(即y是x的象),则称41精选版课件ppt由于映射是满足一定条件的关系，因此如果即f是从集合X到集合Y的映射， ，则都是有意义的.(1) |存在 ,使得并称f(A)为A在映射f下的象. 并称 为B在映射f下的原象.(2)(4)f(X)叫映射f的值域.(3) (Y)=X,即映射f的定义域是X.42精选版课件ppt (6) f -1作为Y到X的关系有定义,但一般说来f -1不是一个从Y到X的映射.,则关系f和g的(5)如果Z是一个集合

16、并且复合 作为从X到Z的关系有定义.定理1.3.1 设X、Y、Z都是集合，如果f是从集合X 到集合Y的映射，g 是从集合Y 到集合 Z 的映射，则f和g关系的复合 是从集合X到集合Z的映射，并且对于任何 ，有 43精选版课件ppt证明：第一步验证复合关系是映射.再结合定理1.2.2(3)得(1)由于 ， ,因此根据定理1.2.1得.)()(1111ZgfZgf-=o因此，.(2)对 ,设 使得 因此，存在 ,使得由 和 得 由 和 以及 得因此， 是从X到Z的映射. 44精选版课件ppt .如果定理1.3.2 设 和 是两个集合, ，则(2)(3)简单地说，设，则 保持交，并，差运算.(1)

17、第二步证明,这由定理1.2.2 (3)直接可证.45精选版课件ppt证明：(1)由于是关系 的逆关系,因此由定理 1.2.2 直接可得(2)由于 是关系,由定理1.2.2 可得,因此,这就证明了因此,因此得,由;又设得,由)(1Bfx-46精选版课件ppt(3)由于 ,当且仅当 ,当且仅当 ,当且仅当当且仅当 ,因此需要说明两点：设 ，则 f 是保并运算.(见定理1.2.2),但f不必是保交或保差运算; 其逆关系R-1是保并运算(见定理1.2.2),但R -1不必是保差或保交运算.其中原因留给读者自己思考.对于一般关系47精选版课件ppt 定义1.3.3 设X和Y是两个集合,. 如果f(X)=

18、Y，即对任意 , 存在 使得 (也就是xfy), 则称f是一个满射,或者称f为从X到Y上的映射;如果对于 X中任意互异的两点x1,x2一定有(换言之,如果 ,一定有x1=x2). 则称f是一个单射;如果f即是一个单射又是一个满射,则称f是一个一一映射.的映射.并且当 时，称f是一个取常值如果f(X)是一个单元素集，则称f是一个常值映射 48精选版课件ppt根据下面的定理1.3.3,一一映射又称为可逆映射.),并且也是一一映射,此外还有如果f是个一一映射，则其逆关系f-1便是从Y到X的映射(因此可以写作 定理1.3.3 设X和Y是两个集合,又设. 的映射，即证明了Y到X 是从由定义1.3.1知

19、是单射，因此有 ,由于 则有x1fy，x2fy，因此 使得证明: 是一个映射.由于 是满射，因而由定理1.2.1得 ,又设存在49精选版课件ppt,因此由定义1.3.1有 是满射.由于f是映射因此 是满射.是单射.若存在使得即,因此由逆关系定义 ,由于是映射，因此有.对于任意,设，由定理1.2.2有因此有由于是单射,因此有因此对于任意有,这就证明了50精选版课件ppt ,对于, 令 ,由定理1.2.2得 .因此 ,由于已证 是单映射因此有 ,亦对任意 ,因此 是满射;如果f定理1.3.4 设 都是集合,如果 和 都是满射,则和g都是单射,则 也是单射.因此如果f和g都是一一映射，则 也是一一映

20、射.证明：结合定理1.3.1和单射、满射定义容易证明, 本定理,略.51精选版课件ppt定义1.3.4 设X和Y是两个集合, .映射 和 如果满足条件 ,即:即对于有 ,则称映射g是映射f的限制,或称f是g的扩张,记作 .特别地,恒同映射 在子集A上的限制 称为内射. 从关系出发定义映射的本意使得我们在本书的理论体系中除了“集合”和“元素”不再有任何未定义对象.但是，如果每次定义一个映射都要将映射写成它的定义域与值域的笛卡尔积的一个子集，毕竟是件不太方便的事，因此在定义映射时仍采用我们习惯的方法：对定义域中的每一个元素指定值域中的唯一一个元素作为它的象.52精选版课件ppt定义1.3.5 设

21、两个给定集合，从笛卡尔积到它的第i个坐标集的投射(或称第i个投射) 定义为对于每一个事实上，第i个投射pi关系定义便是容易验证pi是一个满映射.定义1.3.6 设是集合X中的一个等价关系.从集合X到它的商集 的自然投射定义为对于每一个 这个自然投射用关系定义便是：53精选版课件ppt习 题 1.3 1. 设 是一个满射,关系 定义为： 证明 R是X上的一个等价关系. 证明存在满射 (其中 是X关于R的商集).其中 是 的简写. 2. 设X是一个给定集合，定义为称其为A与B的对称差.证明集合的对称差满足交换群公理,即设 则 (1) (2) (3) 存在集合-A，使得(4) 54精选版课件ppt4

22、.设 是两个集合，,证明下列条件等价: f是单射. 对于任意 ). 对于任意3. 设X和Y是两个集合, ,证明 对于任意 ,而且如果 是一个单射,则,而且如果f是一个满射,则 对于任意 , 对于任意55精选版课件ppt 定义映射 ,使得对任意 有 在什么情况下 是满射？在什么情况下 是单射？ 设 ，写 出集合 6. 设 是两个集合，,定义映射,使得对任意 有 (2)证明：(1) 和 都是单射; (3) (4) 为取常值a的映射,为取常值b的映射.5. 设 和 是两个集合, 是第i 个投射 其中56精选版课件ppt 构造一个函数f使它有右逆，但没有左逆. 使得7. 设 是两个集合，.若存在，则称h为f 的左逆，若存在 ,使得，则称g是f是右逆. 证明:如果f有左逆，则f是单射，如果f是右逆，则f是满射. 能否构造一个函数 f 使其有两个左逆. 若函数f 即有左逆元h，又有右逆元g，则是f一一映射，且57精选版课件ppt1.4 集族