高中数学课程团队

1、.江苏教育学院附属高级中学数学教研组教研资料PAGE ：.；PAGE 8高中数学课程团队高中数学新课程中可选内容的分析和思索第一课时 主持人张思明北京大学附属中学 特级教师 评论嘉宾王尚志首都师范大学 教授 博导 高中课标研制组担任人 评论嘉宾张怡慈首都师范大学 教授 博导 高中课标研制组担任人 特邀嘉宾檀晋轩北京第十九中学 高级教师 特邀嘉宾邵文武北京第八中学 硕士主持人：各位教师大家好！欢迎大家参与高中数学新课程远程研修。今天我们非常荣幸的请到了两位嘉宾，我身边的这一位是首都师范大学教授张饴慈教授，那边那位是首都师范大学的教授、博士生导师王尚志。他们两位都是参与了我们高中数学新课程规范的研

2、制以及参与了高中新课程规范教材的编写，都是担任人之一。那么我想他们两个的参与，为我们研讨提供了非常好的实际和实际的保证。我们这一讲的主题是对高中数学新课程可选内容的分析和思索。在这一讲里头我们要涉及高中数学新课程添加了很多项选择学的内容，如何选择这些内容？选择了以后，我们要做哪些分析？怎样样处置在选择中的一些问题？这里头我们也会给教师们提供一些案例，也要加上一些分析，特别是我们这一部分内容，对很多教师都有特别新或者比较陌生的觉得，怎样来处置这些矛盾？怎样来提高本人对这些选择性内容的认识和识别？我想这是一个很重要的问题！我们来看这样一个采访，看看教师们是怎样看的：各位教师好！在我们一同座谈的过程

3、中，我们也感遭到了高中新课程添加了很多新的内容，特别是选三选四有很多新的模块，作为一个教师，在他本人的学习生涯里头，不能够或者说很难把这些内容都学过。但是我们面临进入新课程以后，每个教师都有这种选择，要选择一部分内容去教，也要先去学。我想问大家，假设给了他这个时机他希望选择哪些内容？毕：我喜欢选数学史，我觉得这个数学史很容易激发学生学习数学的兴趣，使他明白数学是怎样来的，每一个知识点，每一个过程都是怎样样得到的，也会培育他一种科学的精神。李：假设我去选，我能够更会选择一些与学生生活更为相关，或者是更能表达数学价值的一些内容。比如说信息平安与密码、象布尔代数与开关电路，这些内容更容易去激发学生学

4、习数学的这种兴趣，也更有利于学生去认识数学在生活当中运用价值和指点意义。郗：阅历过多年的教学以后，大学学的内容遗忘的也比较多。因此我在看这些个选修内容的时候，我觉得对我来说能够都是比较新的、陌生的，但是我觉着这一轮的课程改革，对每一个年轻教师来说，都存在着一个机遇和挑战的问题。这个时机我想也是促进教师专业化开展的一个途径，所以虽然他们都是新的，但是我从中还是选择了一个。但是在学的过程当中，我发现其实一开场觉得难，但是后来觉得也不是特别难，只需本人可以去研讨，在教学过程当中不断地去探求，实践上还是可行的。刘：我是比较年轻的教师，我们在年轻教师队伍当中，有一些是高学历的教师，以前很多教师以为这样高

5、学历的教师到中学来教书，是不是就没有用武之地，我觉得这个新课程的改革恰好给了我们一个很好的一个展现的舞台。在这里我们经过研讨生、甚至是博士生这个阶段所学的内容，在中学当中有一些简单的引见。这个时候就可以利用我们专业上的一些优势，把这样的课程开设起来，然后让有这种才干的学生对我们数学知识更高层次上的内容有所了解，这可以激发学生对数学的兴趣。比如说欧拉公式与闭曲线分类，这些能够很多教师在大学阶段是没有学到的，而我们在研讨生阶段学过这部分内容，所以开设起来能够更容易一些，这个时候就充分发扬了年轻教师的一些优势。马：当一看到选三选四这16个专题的时候，很容易望文生畏，比如说信息平安与密码、开关电子与布

6、尔代数，大家会提出这样的质疑，说这些课程有的在大学的数学系都不能开出来，我们作为中学教师怎样能够讲给学生听呢？在这里我想说一下这16个专题，并不是简单地把大学的内容的下放，而是利用学生初三的那个认知的根底上来编写的这些相关的教材，假设我要去中学讲这个选修课的话，我想根据如今我们经济生活的这个情势，大家比较喜欢投资，比较喜欢炒股，所以我想给学生开设风险与决策这门课，能够学生会比较感兴趣。这门课学生有能够他学到的知识，并不能直接运用于我们如今的经济生活，但是他可以经过学这门课使学消费生对于数学的兴趣，学生对数学感兴趣了，以后的数学学习可以说就会省很多的劲，很多学生也就因此开窍了。 陈：我觉得对于我

7、来说，作为一个年轻教师，一切的选修课都应该要开，有些课虽然说原来大学学得也不是很深甚至没学过，但是我们有前面的大学的数学做根底，可以进一步地学习，然后去处理这些问题。对于我个人的喜好来说，我偏向于开初等数论初步和三等分角及数域的扩展、初等数论。主要是原来我给学生讲数学计算的时候，涉及过这里面的一些东西，觉得这里面它虽然涉及的知识点不是特别多，但是它有很多想法，可以浸透一些数学的智慧在里边，对于三等分角及数域扩展，由于这个原来我上大学的时候这块也挺感兴趣，而且觉得这里面有很多可以领会数学的内容的一些东西，所以我喜欢开这两门课。主持人：大家都看到了，在这个采访中，教师们都有很多的想法，特别是表现出

8、了一种青年教师的一种朝气。很多教师都说我本人一定要努力，尽快顺应高中新课程，在这个过程中跟课程一同生长，我觉得这种心态和这种要求非常值得我们赞赏。我们也可以请嘉宾帮我们分析一下，在新课程中添加了这么多的内容，是出于怎样的思索？王尚志：我先来说一下，就是首先谈一下选择性的问题。这次高中课程改革的一个最大的一个突破，就是在选择性上，这个选择性包括这么几个层面，一个就是领域的划分，不同领域的选择；另一个就是某一个学科里都提供了一个比较广泛的一个选择空间，那么这个选择性的作用，我想大家都比较清楚，随着时代的开展，使我们的社会对于人选择才干提出了越来越高的要求，过去都是包分配的，如今是要本人找任务的。因

9、此要选择适宜于本人的任务，可以发扬本人优势的任务，那么这样的选择才干，不是一蹴而就的，需求我们从高中阶段就开场培育和树立选择的才干和一种选择的认识，或者我们更进一步说叫做把握人生的才干。所以我想这一件事情，是一个非常重要的一个突破。作为数学课程规范，在选择性上也做了一些讨论，关于选修一和选修二系列的内容，我们曾经做了引见，如今就着重谈一下选修三、选修四系列的设定的一个根本情况。当初我们都参与了课程规范的研制。我想这个选择性内容的选择，阅历了这么一个过程，首先大家都知道我们国家的著名的数学家华罗庚先生、段学富先生以及如今著名的数学家姜伯驹先生等等，他们都为中学生在60年代的时候写出了一批非常好的

10、小册子，比如说从祖冲之的圆周率谈起、对称与群、杨辉三角、一笔划问题等等。那么这些实践上影响了一代人的生长，我个人也是在这样的，读这样一些书的过程中生长起来的。我们前后届都是这样一个过程，我们议论起这些书对于我们影响的时候，都感遭到这个书对我们开阔眼界，提高素养起了很重要的作用。另外一个方面，我们当时自创了俄国和欧洲一些国家为他们的学生开设的选课，应该说他们开出来的选课是非常丰富的。我们都知道俄国有一个特殊的一些学校叫做物理学校。他们就为学生开设出了很多和近代数学、近代物理学有关的许许多多的选择课程，以此来开辟学生的眼界，促进学生的开展。那么在欧洲，象在芬兰和其他一些欧洲的大国也都开出了一些相应

11、的选择课程，一切这些都是我们构建选择课程的根底。我们广泛的征求我们国家数学界的数学家、运用数学家、还有大学数学教师的意见。张怡慈：我们如今这一次跟60年代华先生那一代他们还不太一样，就是当时他们是主要针对一些对数学特别有兴趣的人开设的，而我们需求对宽广的高中生开设的，比如说包括运用数学方面的和更广一些，甚至数学史方面这些内容。我们开了很大的一个单子，征求意见，然后再让这些数学家们来发表意见，对每一个赞同开还是不赞同开，为什么赞同开，做了这样一个广泛的调查，最后我们初步确定了是如今这样的一些。然后我们就在中学不同层次的学校做了实验。王尚志：对，我们开设了这些课程，向这些学生征求了一些意见，也有一

12、些中学教师和我们一同去开了这个课程，并且做了调整，最后又在我们规范内部，又报告了这些内容，然后经过了一个反复的讨论，最后又经过审查委员会的审查，他们也提出了他们的修正意见。所以大体上阅历了这么一个过程。从如今来看，能够我们最近又听到了新的意见，那么教育部希望采取一个分布推进的一个战略来逐渐的拓展选择的空间，比如说如今希望在中学大约有十个选择课程，包括几何论证选讲、不等式选讲、坐标系参数方程、优选法与实验设计、初等数论、矩阵与变换、风险与决策、数学史选讲、对称与群、球面几何大约这十个。对于其他的想经过一段时间，再逐渐的拓展。如今也有这么一个想法，也能够会逐渐的再拓展个别的也有能够做一些互换。我想

13、这个是比较客观的，也是很对的一个做法。而且对于一些学校来说，也不要求这些学校一下子把一切这些课程都开齐，也是有一个逐渐的过程；对于一个教师来说，也不要求他一下子把一切的课都开齐，也是有一个逐渐的过程。就是我想无论是教研室，无论是学校，都可以订立一个方案逐渐的开展选修的课程。目前在实验区陆续的在扩展选修的范围，比如说广东他们对于选修课程采取了文科是一选一，文科是二选一；宁夏回族自治区文科是六选一等等。那么北京又提出了新的举措，希望在示范学校可以开出选修课程的60%，并且要求示范学校一定要带这个头，比如说像二中、四中、人大附中、北大附中，都在订立本人学校开设选修课程的方案，并且分别要落实到人，我想

14、有一批中青年教师开设选修课程的积极性非常高，拿四中来说，这曾经成为他们学校开展的一个传统，我想其他的学校也都设立了不同性质的校本课程。我想他们会把选修课程和校本的开发有机的结合起来，不断地拓展开设选修课的空间，另外一点就是选修课程的开设，对于教师的专业生长确实也是一个非常好的载体，我觉得开和不开还是不一样的。主持人：我们如今的很多教师也是这样的，比如我们这个课程组的教师，很多教师都是经过开选修课以后，就构本钱人的特征品牌，像我们一会儿来做教材分析的檀晋轩教师，他不仅开了而且参与了教材的编写。我们还有很多青年教师，在学校里头刚分配来一年、两年，但是他对新的这些内容非常熟习，把这个选修课作为本人在

15、学校的一个品牌创建起来，同时也经过这个研修构成了本人的一些教学风格，比如说像这个矩阵变换，讲数学史的教师，他文理交融，能很好的发扬本人的专长，发扬本人个性的一些专长领域。王尚志：所以在开设选修课的过程中，我们还面临这样一个挑战，就是不考的开不开，我想以数学史选讲为例，那么很多教师确实有这样的妨碍，以为这个高考不考，我们还需不需求开设。但是也有一部分教师，做了非常好的尝试，他们经过试一试，情愿开设这门课程。如今很多学校都开出数学史选讲这门课程，我觉得这是一个很大的开展，我听李文林教师说最近他们参与数学史教学研讨会的人数忽然的添加了非常多。很多中学教师都参与了他们的会议，并且引见本人在开设数学史选

16、讲的一些阅历和领会。我们在下一讲希望约请李文林教师来参与我们的活动，我想开设数学史选讲虽然不会考，但它会起到非常好的作用，激发学生的学习热情，激发学生的学习兴趣，领会数学的学习本质。张怡慈：有一些选修课，当然功利的看不是高考的问题，但是我想这些课的开设，对学生的才干培育还有很大的益处。比如像对称与群，福州的八中它就还没有进入这个课程它曾经就开了，北京四中也曾经开了。他们教师和学生反映，都是非常非常好的。从培育一个人来说，我想这一次选择性的设立，无论对学生还是对教师都是有非常好的一个作用。当然详细的操作的话，未来可以有修订修正。王尚志：我觉得这是非常好的一个方向。比如说我举一个例子，首师大附中，

17、虽然还没有进入这个新课程，但是他们一个刚毕业的教师就开设了矩阵与变换，效果非常好。开设课教师跟我说，她说我发现有些过去对数学没有兴趣的同窗，经过上这样的一个选修课，变得对数学有兴趣了，学习成果也发生了一定的变化。而这个教师恰恰是毕业时间不长的一个教师，我们还会约请她来参与我们的讨论。所以我想开设选修课的过程也可以看作是一个教师生长的过程。主持人：两位教师对开设选修课的必要性和能够性、可行性都做了分析。我想很多教师都关怀我们实验区对于选修课的评价，怎样考？用什么方案去考？这方面有哪些举措？我们想请课程中心的马芳华教师给我们大家做一个引见。马芳华：请见附件：41高中新课程实验省市数学高考方案马芳华

18、.ppt主持人：刚刚马芳华教师把实验区里的一些典型省份的高考的对于选修课的这种考法，做了一个初步的引见。当然我们想象随着实验区的扩展，更多的省市会拿出更积极的方案，我们也从这个方案中看到这种态势，您说呢？王尚志：是的！我想随着时间的推进，选择的空间会逐渐的扩展。我们也衷心的希望高考的命题者可以和我们一线的教师一同来研讨，如何在高考中出好选修课专题的考试题。这样可以更加积极的推进选修课的开设。我想这是一个非常重要的，也是我们积极等待的一件事情。主持人：我们很多教师也都以为选修课本人上大学的时候没有学过，所以看着这个“选“就觉得和难“联络在一同，其实未必是这样。我们下面将经过一些详细的案例，也来解

19、剖两个详细的麻雀。我们就选了两个选修课的重点内容，就是选的频率比较高的内容，一个是矩阵和变换，还有一个是数学史。我们想听一听一线的教师在参与这些教学设计和教学实际的时候，他们对这两个选修内容的分析和他们的领会。下面请北京的檀晋轩和邵文武两位教师，来做的矩阵单元的整体教学分析。檀：对于矩阵与变换，邵教师帮我们来分析一下矩阵与变换在高等数学中具有怎样的位置和作用。邵：应该说矩阵的学习在代数学习课程中占有举足轻重的位置。由于如今从大学的课程安排来看，无论是工科学生还是文科学生，都要学习线性代数的知识。特别在如今一些高等院校中，一些文科院系也开展了高等数学，那么线性代数也是其中一个严重内容之一。因此实

20、践上一切学生假设升入大学以后很多都要接触到线性代数。那么矩阵就是其中一个研讨内容之一。所以我们如今把这个课程想引入高中课程，另外一个作为笼统的数学对象之一，矩阵实践上是很笼统的，但把矩阵研讨清楚之后，学生假设继续想学习数学里边一些知识，那矩阵又将作为一个详细的实例出现，所以说它具有广泛的运用性，还有一个根底性作用，是其他学科一些根底知识不能替代的。檀：正由于矩阵在高等数学中具有这样的位置和作用，因此新课程规范中，就把矩阵作为一个内容引入到高中的课程中来，那么一方面是希望学生可以在中学阶段就极早的接触和了解一部分高等数学的知识和内容，是经过课程改革使学生可以开辟数学视野。邵：既然这样看的话，檀教

21、师他怎样以为假设在高中开设这门课程和在大学开设这门课有哪些不同，应该怎样去处置。檀：我想是不一样的！在大学中矩阵主要是以笼统的代数的角度，那么把矩阵作为一个代数的运算对象从笼统普通的矩阵出发来研讨矩阵的运算，以及它相关的一些运算性质。而在高中阶段，我们只限于二阶方阵。对详细的二阶方阵研讨，主要是研讨它与平面向量的乘法以及二阶方阵本人的乘法。那么又由于二阶方阵与平面向量乘法具有非常明显的几何意义，因此我们在中学阶段应该突出它这几何意义，并且从几何意义的角度来讲。希望学生可以从几何上更加直观的去感受矩阵的相关运算性质。邵：说到这里我们想对比一下，矩阵在高中有一个认识，在大学同样有另外一个认识。但如

22、今这门课程既然在高中开设的话，那我们要认识清楚究竟怎样来开设？实践上这门课程设置主要目的之一还是想讲矩阵，是想讲矩阵的相关运算和性质，但是由于其本身非常笼统，作为高中来讲它无论在知识，还是接受才干等发面都有一些欠缺。这样课标要求我们从线性变换角度来讲矩阵，所以说实践上经过二阶方阵的几何背景来了解矩阵，因此自始至终我们假设要讲矩阵的话，都应该把矩阵看成一种运算，但是把几何变换看成一种背景。从这个角度去了解，这样说的话就有一个问题，我们在讲授这门课的时候，不能把它以为是一门几何课程。这个和我们如今另外一个分支是不同的，比如说解析几何，解析几何是用代数的方法来研讨几何。矩阵与变换，我们是想研讨代数的

23、知识，而是经过几何背景来引见和学习。檀：邵教师主要提出来的是矩阵和向量在教学中的一个定位，和它在整体的教学中的一个突出的主线。实践上作为大学的一个非常笼统的内容，它引入到高中作为一个专题来进展教学的话，对于高中的学生是有一定的困难。这个困难我想能够于几个方面：一个方面首先作为一种非常新的运算对象，它的运算定义的方式以及它的很多的性质，是学生初次遇到。比如说对于乘法的不交换性，学生从未见到过，因此学生在接受这个问题的过程中，他首先有非常大的困惑；另外对于这一门课程它本身，对于在变换中的不变性。比如说在矩阵的特征向量和特征值这个问题上，从概念的了解以及它相关的运用被学生掌握起来都是非常困难的。那么

24、邵教师对这个方面有什么样的一些想象？邵：要想就是处理这个问题的话，由于矩阵本身具有一些本人的难点，所以我们讲的时候，首先一个进展处置的方法是要分散难点。比如说应该在多种场所对同一个知识点进展浸透，或者说先给出一些铺垫。比如说在最开场研讨几何变换的时候，就可以给出特殊向量中一些简单的例子，让学生从感性上加以认识，但是并不给出详细的定义，也就是说经过详细在研讨反射变换、伸缩变换这样一些详细的矩阵变换过程中，可以提出一些个相关的问题，使学生去初步经过运算去感受在这运算下的一些不变性质，或者说把他们作为其中一些特殊的例题或者例子出现，让学生先认识。这样在他真正讲这个定义的时候，学生曾经有了一个认识，然

25、后经过一些大量的感性认识，再引导学生进展笼统概括，这样讲起来能够会更好一些。还有一个比如说我们最后讲特征向量究竟怎样运用，我可以先讲运用，说这个向量假设讲完以后它具有这样的性质。在运算过程中我可以简化很多运算，让学生先从它的详细的实践意义来了解，了解以后再反过来讲它其他东西，比如说怎样样求特征向量，这样能够会更清楚一点。便于学生把这个难点抑制。檀：当然另外我们还可以对大量的复杂的矩阵运算，借助一些相关的运算工具，比如一些手持的计算工具，以及计算机中的Excel等等一些程序，我们都可以完成一些复杂的运算。这样的话在学生初步掌握了运算的规律根底上，他可以经过这种结果去察看和深化研讨运算中所蕴涵的一

26、些性质和运算的规律。邵：由于信息技术如今，也是课标的一个要求。我们可以把这部分加进去更加表达出几何直观性，来了解矩阵相关知识。檀：本质上对于这个专题的内容而言，并没有太大的难度，初中毕业的学生就可以可以开场掌握。所以高一开设是完全可以的，但是假设要是在高一开设的话，势必要补充适当的向量、平面向量的相关知识，因此要拿出一定的课时在之前对学生，在平面向量中给予适当的铺垫。邵：假设这个课要是在高二开的话，能够效果会更好一点，这是我们个人以为，当然不是说非得强求。由于这个时候学生所需根本知识曾经具备了。比如说向量我曾经讲过了，另外学生经过一年的高中学习，数学才干要比高一学生强得多，这样接受起来能够更容

27、易一些。同时假设在高二开设这门课程的话，它实践还可以协助 学生了解另外一些概念，比如说我们在这里要求，把矩阵看成一种映射，是平面点到平面的话，这样可以加强对什么叫映射。给出一个详细实例，还比如说在这里边实践有一个逆矩阵，就可以和函数里边的反函数相对，反函数虽说课标里曾经降低要求，但他给出详细实例，了解起来能够更容易一些。当然还有一些其他拓展，这样的话能够就是会更好一些，效果是不一样的。矩阵作为一个新的课程内容，是在以前的学习过程，或者说要求是从来没有的。作为一种现代社会的研讨对象，是第一次把它下放高中，而这个实践上并不是第一次，那我们如今曾经把微积分的一些知识，还有概率统计的一些知识下放到高中

28、了。同样那门课从如今讲课效果来看的话，曾经获得了一定的成果，或者一定提高。而我置信假设教师可以把这部分处置比较好的话，矩阵这门知识同样可以讲的好，而如今根据我们了解的信息的话，在一些省市实践上这门课开的情况确实不错。檀：北京也有很多的学校早曾经在新课程进入之前，曾经尝试着开设了这门课程。邵：还有一个问题就是刚刚跟一个教师了解的话，就是教师能够在备课过程中要遇到一些困难。由于这门课是新的，但是学生接受起来是比较容易的。这样的话能够对学生从胜利感的觉得来说，能够会更好一些。所以我们希望教师能把这门课开好。主持人：好！ 看了两位教师做的矩阵单元分析。我想请张教授来分析一下，这个矩阵单元的内容他觉得应

29、该怎样对待把握？张怡慈：我想就我们中学的矩阵的定位，把它再说一下。我想能够我们要分六个层面来了解这一部分，就它的层次来说，首先第一个层次就是我们要认识到矩阵它把平面上每一个点变到了另外一个点，另一个点当然可以跟它是一样的，并且知道是怎样变的，然后从这就提高到，我们矩阵它把平面上每一个点变到了平面上另一个点。王尚志：对于矩阵是平面到平面上的一个变换，希望教师不要一蹴而就，这是需求一个比较长时间的积累，才干协助 学生构成这样一个认识。由于在义务教育阶段，我们经常谈的是图形的运动，一个图形变到另一个图形。另外一个方面实践上它是一个变换下完成的这样一个运动，所以我想教师应该特别留意这一点，就是要强调变

30、成整个平面的点。第二个层次的话，我们讲的是几个常见的矩阵表示的变换。这有两个层次，第一就是加深对前面矩阵变换的了解；第二我们把过去常讲的压伸、旋转、反射等等这些变换，经过在这一段里头让学生对它有一个了解。知道我们矩阵可以表示这样一些变换，经过对这些变换的了解来掌握第一部分矩阵与变换的问题。我们在这一部分，就是经过几何的图形平面的点来领会变换。我们希望学生、我们的教师都可以认识到。王尚志：在讲这个层次的时候，有两个角度，一个是张教师刚坚强调的几何的角度，特别是经常有的教师情愿选择在第一象限的一个正方形，在这个变换下变成一个什么样的图形。那么第二个角度，也需求从代数上来领会，第一个坐标变了没有？第

31、二个坐标变了没有？第一个坐标变了多少？第二个坐标变了多少？第一个坐标的变化？是由第一个坐标产生的？还是由第一个和第二个坐标混合产生的？等等。我想这一些都是我们教师在教学的过程中应该给予关注的。而且我们要在这一部分的最后，把我们的变换要总结起来，实践上我们希望要认识到这个矩阵是一个线性变化，要经过实例对矩阵是一个线性变换进展认识，并不是一切的变换都在这表示这个，线变化是能把直线变成直线。张怡慈：第三个层次，我们要讨论矩阵和矩阵之间的关系，也就是变换和变换之间的关系，也就是在数学上表示成矩阵的乘法。我们要让学生们清楚矩阵乘矩阵还是一个矩阵，它表示的是延续实施两次变换。面对从代数的角度来认识这样一个

32、变换，在这里，我们知道这个变换乘法跟我们过去学的乘法有很大的不同：第一次出现了没有交换律的乘法，这一点也是对于学生认识了解运算有益处的。由于过去总觉得交换律是一个显然的事情，不断到向量。到这第一次出现了乘法不适宜交换律。王尚志：也可以从几何角度来认识，这个矩阵为什么乘法会没有交换律，也就是选转后紧缩和先紧缩后旋转结果是不一样的。张怡慈：第四个层次，我们要讲逆变换，也就是逆矩阵，也就是这个变回来的变换是一个什么样的变换？我们还是用我们前面第二层面讲的，常见的压伸、反射、旋转来讲逆变换，那么在逆变换里头我们在前面铺垫了一个投影变换，在这里头我们用这个投影变换来阐明有的矩阵没有逆变换，为什么没有逆变

33、换，就是它把很多点变到了一个点，没有一一对应的性质。经过这样的例子，来认识这个逆变换，另外我们也把逆变换一些性质，先做紧缩再旋转，回来的时候一定是后做的要先做，先做的要后做，这是逆变换的性质。第五个层次是线性方程组与矩阵的关系。我们可以把它梳理一下，线性方程组是一个代数的问题，最早在数学上出现方程组，都是处理牛羊分配问题等等。那么我们在学了高中的几何以后，我们知道从解析几何角度，可以认识线性方程组，从直线相交平行重合的角度，还可以从向量根本定理来认识方程组，那么如今我们从矩阵的角度，就是说我们给了一个变换，和一个变换结果，问是有没有一个东西，在这个变化下变到它，是谁变到了它。这一个观念在数学上

34、，是一个非常重要的观念。把方程看成一个变换的这样一个观念，是一个非常重要的观念。求解方程组，是不是求一个知向量的原象，所以就变成这样一个认识。最后我们是讲特征值与特征向量。也就是我们还是经过一些详细的例子，比如说经过压伸变换，来看到有一些向量在这个变化下根本上没变，或者它根本就没有动，或者它只是拉伸了一下，就是它还是和原来的向量，是共线的。我们把这样的向量，经过这样的例子，然后把它提炼出来，把它称为它的变换特征向量和特征值。然后我们要讲一讲它的作用、它的意义。在这一方面来讲，我想这是我们最重要的几个层面。也就是我们教师在给学生讲的时候，要把层次描画清楚。王尚志：但是对于教师来说，我想知道这些还

35、不够。教师还应该多了解一点东西，我想教师应该有时机复习一下在大学里学习的线性代数的课程。我就想在张教师的根底上，给教师简单的引见一下大学的线性代数课程和我们中学的矩阵与变换的课程之间的联络和区别。我们知道在大学线性代数的内容是主要依托于对这几个对象的研讨。一个是行列式、一个是矩阵、一个是向量空间，当然还可以拓展成为一个线性空间、一个是线性变换、一个是线性方程组。那么对这五个内容，在我们线性代数的课程中希望去开掘它们之间的内在联络，就用我的教师的一句话来说，它的本质上是一致的，这是丁时孙丁先生说过的一句话，我觉得是很有道理的。比如说我们可以用行列式去讨论矩阵的秩，我们用行列式可以去讨论向量的线性相关和线性无关的问题，我们又可以用矩阵去表示线性变换，我们又可以用行列式去讨论线性方程组的根，我们又可以用矩阵去研讨线性方程组的解，我们又可以用向量去表示线性方程组的解，反回来说我们又可以用线性方程组去讨论行列式的性质、矩阵的性质、向量空间的性质以及线性变换的性质，它们之间有着内在的联络。而我们高中的矩阵与变换的课程，是依赖于二阶矩阵，把这样一些根本的思想在我们二阶矩阵的载体