等差数列知识点总结及考点练习

1、等差数列知识点总结一、等差数列知识点回顾与技巧点拨.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用而一包表.等差数列的通项公式若等差数列an的首项是ai,公差是d,则其通项公式为 an= ai+ (n 1)d =(nm)d =p.等差中项如果三个数x, A, y组成等差数列，那么 A叫做x和y的等差中项，如果 A是x和 y的等差中项，则 A=个.等差数列的常用性质 *(1)通项公式的推广：an = am+ (n- m)d(n, me N).(2)若an为等差数列，且 mw n=p+q,*贝U

2、 am+ an=ap+aq(m n, p, qCN).(3)右an是等差数列，公差为 d,则ak, ak+m, ak+2 ( k, m N)是公差为 md的等 差数列.(4)数列Sm, S2m Sm, S3mSm,也是等差数列.82n i = (2 n- 1)an.nd(6)右n为偶数，贝U S偶一S奇=5；若n为奇数，则 S奇一S偶=2中(中间项).等差数列的前 n项和公式. ,一 一 n adan 一、. 一一 、. 一 若已知首项 日和末项稿,则&=2，或等差数列an的首项是a,公差是d, 则其前n项和公式为Sn=na1+n n1 d.等差数列的前 n项和公式与函数的关系d r dS =

3、 2n2 + a1-2 n,数列 an是等差数列的充要条件是 S = AK+Bn(A, B为常数).最值问题在等差数列an中，a10, d0,则Sn存在最大彳1,若a10,则Sn存在曼小值.一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn = a1 + a2 + a3 + an,Sn= an+ an1 + + 21,_ 否/口- n a1 + an十得：Sn=2.两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元.(1)若奇薮个莪/柔至莪列E和兀定而士而设，a 2d, a d, a, a+d, a+2d,.(2)若血个薮晟S蕊笠旦和男定丽工一可设五二一_a二3d-a二3 a土 d

4、-a土 3d：.其余各项再依据笠差数列的定义进任对称设元，.四种方法等差数列的判断方法(1)定义法：对于n2的任意自然数，验证 anan1为同一常数；*（2）等差中项法：验证 2an-i = an + an-2（n3, nCN）都成立；（3）通项公式法：验证 an=pn+q；（4）前n项和公式法：验证 S = An2+ Bn注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列.回顾: TOC o 1-5 h z 1.已知等差数列an中，83=9, 89=3,则公差d的值为（）A.1B. 1C.D. - 12| 2.已知数列an的通项公式是 an=2n+5,则此数列是（）A.以7为首

5、项，公差为2的等差数列B.以7为首项，公差为 5的等差数列C.以5为首项，公差为2的等差数列D.不是等差数列.在等差数列an中，ai=13, a3=12 ,若an=2,则n等于（）A. 23B. 24C. 25D. 26.两个数1与5的等差中项是（）A. 1B. 3C. 2D. （2005?黑龙江）如果数列an是等差数列，则（）A . a1+a8a4+a5B. a1+a8=a4+a5C. a1+a8va4+a5D. aa8=a4a5考点1:等差数列的通项与前n项和题型1：已知等差数列的某些项，求某项【解题思路】 给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法【例1】已知an为等差数列,

6、a158, a6020 , 则 a75解：方法1 ：a15 a1 14d 8a60 a159d2064,4,d1515644a75 a174d74241515方法2:a60 a1520 84d 一 ,60 1545154a75a60 (75 60)d 20 15 1524方法3：令anan15a60ab 8b 20a但b45,168 ca75 75a b 752445 3方法4： an为等差数列,a15 ,a30,a45, a60, a75也成等差数列，设其公差为d1，则a15为首项，a60为第4项.a60a15 3d120 8 3dd1 4方法5:a75a60d120 4 24an为等差数列

7、,(15,ai5),(60,a60),(75,a75)三点共线a60a15a75 a6020 8601575 6045a7520a75 24对应练习：1、已知an为等差数列,amp, an q ( m,n, k 互不相等)，求 ak.2、已知5个数成等差数列,它们的和为 5 ,平方和为165,求这5个数.题型2：已知前n项和Sn及其某项，求项数.【解题思路】利用等差数列的通项公式 an a1 （n1)d求出a1及d ,代入Sn可求项数n ；利用等差数列的前4项和及后4项和求出a1an,代入Sn可求项数【例2】已知Sn为等差数列an的前n项和，a46,Sn 63,求解：设等差数列的首项为a1,公

8、差为d，则3d8da118, d6c36, n2Sn 18n n(n 1) 63 n12对应练习：3、若一个等差数列的前 4项和为36,后4项和为124,且所有项的和为780, 这个数列的项数 n.4.已知Sn为等差数列 an的前n项和，a1 1,a4 7, Sn 100 ,n .题型3:求等差数列的前 n项和【解题思路】（1）利用Sn求出an ,把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题(2)含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论【例3】已知Sn为等差数列 an的前n项和，Sn 12n解:(i)求求anSnSn1(12n时,an0.aia1aiSnan(1)a1a1a1a1a2a2a212

9、n1时,a2a?a2a3a3a3aoa3 ；a3a3a1Si12(n1时,2s6anan13a2a1a12s61)(n132na3a2Soa2a2Snao ；an121)211a32(12a3a32(12a1a213132a32n ，anS3 1213 2n .6时，an 0 ;当 n 732 27；a6(a7a8a9&o)62)(1210102)ana662)12nn2 ，(a7an)(12n n2)n2 12n 72.对应练习：5、已知Sn为等差数列an的前n项和，S10100, So。10,求 S110.考点2 :证明数列是等差数列【名师指引】 判断或证明数列是等差数列的方法有：1、定义

10、法：an 1 an d (n N , d是常数)an是等差数列；2、中项法：2an 1 an an 2(n N ) an是等差数列；3、通项公式法：an kn b(k,b是常数)an是等差数列;4、项和公式法：sn An2 Bn (A, B是常数，A 0)是等差数列.Sc【例4】已知sn为等差数列an的前n项和，bn (n N ).n求证：数列 bn是等差数列.解:1万法1：设等差数列 an的公差为d , Snna1 n(n方法2:bn 2bn1 ,a1 (n 1)d2a1Sc1bn a1(n 1)dn2，1 ，bn 1 bna1 - nd a12数列bn是等差数列i(n 1)d 12Sn1b

11、na1 -(n 1)d ，n211bn 1 a1-nd，bn 2a1- (n221)d(常数)1 ,-(n 1)d 2a1 nd 2bn 1， 2数列bn是等差数列.对应练习：6、设Sn为数列an的前n项和，Snpnan (n N ), a1a2.(1) 常数p的值;(2)证：数列an是等差数列考点3:等差数列的性质【解题思路】利用等差数列的有关性质求解【例5】1、已知Sn为等差数列an的前n项和，a6Sm n2、知 Sn为等差数列an的前n项和，Snm,Smn(n m),则解：1、S1111(a a#11a621100;2、方法1：令 SnAn2Bn ，则An2Am2BnBmA(n2B(nm

12、)SmA(nm)2A(m n) B(mn)(m方法2:不妨设SmSnan 1an2 anam 1(m n)(an1 am)na1am n an 1Sm n(m n)(a1am n )方法3：an是等差数列,nWnSn(m为等差数列Sm,m, mS 7m nm nnS一一n,3u-三点共线m nSm n(m n).对应练习：7、含2n 1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（A 2n 1 n 1A. B.nnc.UnD.2n8.设Sn、Tn分别是等差数列 anan的前n项和,呈Tn7n 2,则n 3a5b5考点4:等差数列与其它知识的综合【解题思路】1、利用an与Sn的关系式及等差数列的

13、通项公式可求;【例6】解:anSnSn12、求出Tn后,已知Sn为数列bn 2 2bn 1(i)数列an判断Tn的单调性.1 2an的刖n项和，Sn - n 2bn，bn设Tn为数列cnTn(1)Snk内对 n 571 2 2n1时,其前9项和为153.的通项公式;的前n项和，cnN都成立的最大正整数11n ,2S16;11n ；数列bn满足：b3 11,2,求使不等式(2an 11)(2bn 1)k的值.当1-n2bnbn11一 n2i(n1)2211(n 1)21时，1b19bcn2bn 1 bn2d 1136d153bnb1bnbn 225,d 3,3(n1) 3n2.(2an 11)(

14、2bn 1)bn是等差数列，设其公差为2(n 5) 11 2(3n 2) 1(2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1145 5Tn1111(1-)(-)(33 557)111()1 2n 12n 1 2n 1n N ，Tn是单调递增数列, 一12当 n1 时，Tnmin T11-33kTn一对n N者B成立Tn min57所求最大正整数k的值为37 .k572 _k_357k 38对应练习：9.已知Sn为数列an的前n项和，a1 3, SnSn 12an(n 2).数列an的通项公式;数列an中是否存在正整数 k ,使得不等式akak 1对任意不小于 k的正整数都成立？若存在，求最小的正整

15、数 k，若不存在，说明理由课后练习：1.(2010广雅中学)设数列 项和，则A- S10S11Ban是等差数列，且a2S10S118 , a155，Sn是数列an的前nS9S10D - S9S10a83.数列an中，an2.在等差数列an中，a5120,则a2 a,a62n 49 ,当数列an的前n项和Sn取得最小值时,n .已知等差数列an共有10项，其奇数项之和为 10,偶数项之和为 30,则其公差是_.设数列 & 中，a1 2, an 1 an n 1 ,则通项an.从正整数数列1,2,3,4,5,中删去所有的平方数，得到一个新数列，则这个新数列的第1964项是.答案与解析：对 应 练

16、习：1、 【解 析】am anak an p q ak qp(k n) q(m k) TOC o 1-5 h z ak mn kn mnknm n2、【解析】设这5个数分别为a 2d,a d,a,a d,a 2d.则(a2d)(a d)a (a d) (a2d) 5a1165_2222_222(a2d) (a d) a (a d)(a 2d)165 5a 10danSn解彳t a 1,d43、【解析】1,d4时，这5个数分别为:7, 3,1,5,9 ;1,daia1 an4(a1Sn4、【解析】Sn5、【解析】6、Sn1a3a2an)n(a124时，这5个数分别为:9,5,1,a2an 116

17、0an)a3 a436, anan 2 an 3124a3a1780设等差数列的公差为dan 2a4an 4020n1n n(n 1) 2 1002方法1:设等差数列的公差为S10110a1nana5方法2:S11078039S100S10110(a12a4 a14 12 90(a1110.10a1100al110 109da110) Sn pnan , a1 a2由知：Snnan，(n选B.8、【解析】an bn1)an 1a2na2S2n 1T2n1(n 1)(an0(n 2)，45d 100a100 )2 110(a11an 1)数列(n 1)(a1a2n 1)a4 a6a1a2n7(2

18、n 1)(2n 1) 34950d90a100)pa110a11a100110是等差数列.n(a2 a2n)214n 52n 2a5b5a2n 1a2651211501099100a2n65129、【解析】当n 2时，SnSn 1 2anSnSnl2(SnSn1)-1，1,且工1SnSn 12S131，an是以一为公差的等差数列,21其首项为1.32(n1)5 3n6Sn65 3n18(3n 8)(3n 5)1 _ _当 n 2 时，an -SnSn12n 1时,1818(3 8)(3 5)10a1，3(n 1)18(3n8)(3n 5)(n 2) ak ak 118(3k 8)(3k 5)(3k 2)0,得2 k -或 k 8,