广东省深圳外国语2023届高三上学期第一次月考数学试题及答案

1、深圳外国语学校（集团）高2023届高三第一次月考数学测试试题卷本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1. 全集，则（ ）A. B. C. D. 2. 复数的虚部为 （ ）A. 1B. C. D. 3. 反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的

2、衰变对程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，己知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ）A. 12贝克B. 12e贝克C. 24贝克D. 24e贝克4. 已知一个圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为4，其母线与底面所成的角为45，则这个圆台的体积为（ ）A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ）A. 函数为实数集上的奇函效，当时，（a为常数），则B. 已知幂函数在单调递减，则实数C. 命题“，”的否定是“，”D. 中.角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则是的充分不必要条件6. （ ）A. 4B.

3、C. D. 7. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ）A. B. C. D. 8. 已知，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知平面向量，则下列命题中正确的有（ ）A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ）A. 设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加2个单位B. 若的二项展开式共有9项，则该展开式中各项二项式系数之和为256C.

4、 10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为D. 已知一组数据方差为4，则数据的标准差为811. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 周期函数B. 满足C. D. 在上有解，则k的最大值是12. 如图，梯形ABCD中，M，P，N，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点，将ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（ ）A. MN和BC不可能平行B. AB和CD有可能垂直C. 若AB和CD所成角是，则D. 若面ACD面ABC，则三棱锥的外接球的表面积是28三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位

5、置上.13. 设等差数列an前n项和为Sn，若S972，则a2a4a9_.14. 若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为_.15. 安排3名志愿者完成5项不同的工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有_.16. 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是_四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知中，内角所对边分别，若.（1）求角B的大小；（2）若，求的最大值.18. 已知等比数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若_，求数

6、列的前n项和.，这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；（2）若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.20. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面ABCD，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.（1）已知

7、平面平面，求证：.（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.21. 椭圆（）的离心率为，过的左焦点的直线被圆（）截得的张长为.（1）求椭圆的方程；（2）设的右焦点为，在上是否存在点P，满足？若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标），若不存在，说明理由.22. 已知函数（其中e为自然对数的底）（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若，是的极值点且.若，且. 证明：.深圳外国语学校（集团）高2023届高三第一次月考数学测试试题卷本卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及

8、草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1. 全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的补集和交集的运算公式进行计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：B2. 复数的虚部为 （ ）A. 1B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简复数为的形式，由此求得复数的虚部【详解】依题意，故虚部为，所以选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.3. 反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减

9、少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变对程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，己知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（ ）A. 12贝克B. 12e贝克C. 24贝克D. 24e贝克【答案】C【解析】【分析】求出关于的导函数，由求得，再计算即得【详解】由题意，故选：C4. 已知一个圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为4，其母线与底面所成的角为45，则这个圆台的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出辅助线，求出上、下底面半径和高，从而求出圆台体积【详解】如图，由题

10、意得：BD=4，AB=2CD，ABD=45，过点D作DEAB于点E，则DE=BE，因为圆台的上、下底面半径之比为1：2，所以CD=AE=BE=，则圆台上底面面积为，下底面面积为，故圆台的体积为故选：B5. 下列说法正确的是（ ）A. 函数为实数集上的奇函效，当时，（a为常数），则B. 已知幂函数在单调递减，则实数C. 命题“，”的否定是“，”D. 中.角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则是的充分不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，求得，从而可判断A；根据幂函数的定义及性质可得，从而可求出，即可判断B；根据全称命题的否定相关知识，即可判断C；直接利用正弦定理边角互化结合充分条件

11、和必要条件的定义即可判断D.【详解】对于A，因为函数为实数集上的奇函数，当时，（a为常数），所以，所以，则，故A错误；对于B，因幂函数在上单调递减，所以，解得，故B正确；对于C，命题“，”的否定是“，”，故C错误；对于D，在中，由正弦定理可知，所以是的充要条件，故D错误.故选：B.6. （ ）A. 4B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式，诱导公式和辅助角公式直接求解.【详解】.故选：D.7. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B

12、【解析】【分析】根据角平分线的性质得出，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.【详解】设双曲线的半焦距为， 离心率为，由，则，因为是的平分线，所以,又因为，所以，所以，解得，即，所以双曲线的离心率取值范围为.故选：B8. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数可求得，；分别代入和，整理可得的大小关系.【详解】令，则，在上单调递增，即，即；令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，（当且仅当时取等号），即（当且仅当时取等号），即；综上所述：.故选：D.【点睛】思路点睛：本题考查与指数、对数有关大小关系的比较，解题基本思路是能够将问题转化为两个函

13、数的函数值大小关系的比较，进而通过构造函数的方式，利用导数求得函数单调性，从而得到两函数的大小关系.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知平面向量，则下列命题中正确的有（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】由向量的定义判断A，由模的坐标表示求出模判断B，根据垂直的坐标表示判断C，由数量积求得向量的夹角余弦判断D【详解】对于A，由于向量不能比较大小，故A错误；对于B，故B正确；对于C，不成立，故C错误；对于D，故D正确故选：BD10. 下列说法正确的是（ ）A

14、. 设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均增加2个单位B. 若的二项展开式共有9项，则该展开式中各项二项式系数之和为256C. 10件产品中有8件正品，2件次品，若从这10件产品中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为D. 已知一组数据的方差为4，则数据的标准差为8【答案】ABD【解析】【分析】选项A明显正确，选项B由二项展开式共有9项确定的值，即可求出各项二项式系数之和，选项C根据题意利用公式算概率即可，选项D先求出新数据的方差，再求标准差即可.【详解】变量增加1个单位时， ，故平均增加2个单位，正确，故A正确；由于的二项展开式共有9项，故，故各项二项式系数之和为，故B正确； 对于选项C，

15、恰好取到1件次品的概率为，故C错误； 一组数据的方差为4，则数据的方差为，故标准差为8，故选项D正确.故选：ABD.11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 是周期函数B. 满足C. D. 在上有解，则k的最大值是【答案】BCD【解析】【分析】A选项，分子和分母分别考虑，看是否是周期函数，B选项，化简得到；CD选项，求出的值域进行判断.【详解】是周期函数，但不是周期函数，所以不是周期函数，A选项错误；，故B选项正确；因为，等号成立时，所以，而，当时，此时，故，C选项正确；当时，故的最大值为，故在上有解，则k的最大值是，D选项正确故选：BCD12. 如图，梯形ABCD中，M，P，N，Q分别

16、是边AB，BC，CD，DA的中点，将ACD以AC为轴旋转一周，则在此旋转过程中，下列说法正确的是（ ）A. MN和BC不可能平行B. AB和CD有可能垂直C. 若AB和CD所成角是，则D. 若面ACD面ABC，则三棱锥的外接球的表面积是28【答案】AD【解析】【分析】对于A，MN和BC平行，则N应该在DM上，即可判断；对于B，利用线面垂直结合反证法可判断；对于C，当ACD旋转到，即在平面ABCD内，由分析知，AB和CD所成角是即，此时在，再分别求出，即可求出答案.对于D，找到三棱锥的外接球的球心，求出半径，即可得出答案.【详解】对于A，若MN和BC平行，则N应该在DM上，但在旋转过程中，N不可

17、能在DM上，所以MN和BC不可能平行，则A正确；对于B，当不在平面中时， 若，因为，故平面，而平面，故平面平面，过作，垂足为，因为平面平面，平面，故平面，而平面，故，故，矛盾，当当在平面中时，也不成立，故B错误. 对于C，因为在未旋转时AB和CD是平行的，若某一时刻AB和CD所成角是，即CD与旋转后的所成角为，如下图.当ACD旋转到，即在平面ABCD内，此时因为，则，所以， AB和CD所成角是，即和CD所成角是.此时旋转到，取AC的中点，连接，则，所以，则在三角形中，所以C错误 ；对于D，因为，所以的外接圆的圆心在的中点上，在中，因为，所以为钝角三角形，则外接圆的圆心在外，则的中垂线和的中垂线

18、的交点即为，过做平面的垂线，过做平面的垂线，两垂线的交于点，与重合，即即为外接球的球心，则，则，所以，则三棱锥的外接球的表面积是，所以D正确.故选：AD.【点睛】三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S972，则a2a4a9_.【答案】24【解析】【分析】由等差数列的性质结合S9求得a5，然后利用等差数列的性质可得答案.【详解】an是等差数列，由S972，得S99a5，a58，a2a4a9(a2a9)a4(a5a6)a43a524.故答案为：24.14. 若直线l经过抛物线的焦点，与该抛物线交于A，B两点，且线

19、段AB的中点的纵坐标为3，则线段AB的长为_.【答案】8【解析】【分析】求出焦点坐标，设出直线方程为，并设，直线方程代入抛物线方程，由韦达定理得，由中点纵坐标求得值，由弦长公式得结论【详解】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，则其斜率存在，设的方程为，则由得，又，所以，即，所以故答案为：815. 安排3名志愿者完成5项不同的工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有_.【答案】150种【解析】【分析】先将5项工作按参与完成的人数分成3组，再分配三人完成三组任务即可.【详解】将5项工作按参与完成的人数分成3组为：或，若分组为，则有(种)安排方式；若分组为，则有(种)安排方

20、式；故总的安排方式有：(种).故答案为：150种.16. 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先构造函数，利用，最终求得，即时，恒成立，参变分离后使用切线放缩，最后求得的取值范围.【详解】设，则，故，则，又因为，即，所以，因为，所以在上恒成立，其中，理由如下：构造，则，令得：，当得：，当得：，故在处取的极小值，也是最小值，从而得证.故，故，实数a的取值范围为故答案为：【点睛】切线放缩是一种很重要的方法，再使用导函数证明不等式或者求参数的取值范围时，经常使用，常见的切线放缩有以下几个：，等，在做题中做到灵活运用，可以有很好的效果.四、解答题：本

21、大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知中，内角所对边分别为，若.（1）求角B的大小；（2）若，求的最大值.【答案】（1） （2）4【解析】【分析】（1）根据正弦定理，边角互化，再利用三角恒等变换化简求值即可.（2）利用余弦定理得出，配方得，再利用基本不等式求最值即可.【小问1详解】因为，是三角形内角，根据正弦定理，又因为，所以，所以，.小问2详解】因为，所以，配方可得又因为，所以，当且仅当时等号成立.所以，解得.故的最大值为4.18. 已知等比数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若_，求数列的前n项和.在，这三个条件中任选一个补充在第

22、（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1） （2）若选，；若选，；若选，【解析】【分析】（1）根据题意设出等比数列的公比为，结合条件求解即可；（2）若选，则根据分组求和法求和即可；若选，根据裂项相消法求和即可；若选，根据错位相减法进行求和即可.【小问1详解】设等比数列的公比为，因为，所以，则，解得，所以数列的通项公式.【小问2详解】若选，则，所以.若选，则，所以.若选，则所以，则，两式相减，得则.19. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A，B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n（）个人数超过1000人的大集团和4个人数低于200人的小集团中随

23、机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为.（1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；（2）若一次抽取3个集团，假设取出小集团的个数为X，求X的分布列和期望.【答案】（1） （2）X的分布列见解析，【解析】【分析】（1）由题意根据全是小集团的概率列方程求出的值，根据条件概率的概率公式计算全为大集团的概率值；（2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值【小问1详解】由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，故全是小集团的概率是，整理得到即，解得若2个全是大集团，共有种情况；若2个全是小集团，

24、共有种情况；故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为【小问2详解】由题意知，随机变量的可能取值为，计算，故的分布列为： 0123 数学期望为20. 如图，在底面是菱形的四棱锥中，平面ABCD，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.（1）已知平面平面，求证：.（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）先证明平面，然后由线面平行性质定理得线线平行；（2）以为轴建立空间直角坐标系，如图，写出各点坐标由共面，即由向量共面定理求得，再求得平面一个法向量，由向量法求得线面角的正弦值【小问1详解】由已知，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以；【小问2详解】由已知是正三角形，是中点，则，而，所以，又平面，故