6.2等比数列-2023届高三数学（艺考生）一轮复习讲义（解析版）

1、注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.专题六 数列第2讲 等比数列1等比数列的有关概念(1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq f(an1,an)q(q0，nN*)(2)等比中项如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项G2ab“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana1qn1(2)前n项和公式：

2、Sneq blc(avs4alco1(na1，q1，,f(a1（1qn）,1q)f(a1anq,1q)，q1.)3等比数列的性质已知数列an是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，kN*)(1)若mnpq2r，则amanapaqaeq oal(2,r)(2)数列am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列(3)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比q1)常用结论4记住等比数列的几个常用结论(1)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)，aeq oal(2,n)，anbn，eq blcrc(avs

3、4alco1(f(an,bn)仍是等比数列(2)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(3)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等比数列。一选择题（共15小题）1已知等比数列an中，a24，a5=12，则公比q（）A2B12C12D2【解答】解：等比数列an中，a24，a5=12，可得a2q3a5，即4q3=12，解得q=12故选：B2已知数列an满足an+1=12an，若a48，则a1等于（）A1B2C64D128【解答】解：数列an满足an+1=12an，公比为12a48，则a1(12)3=8，解得a164故选：C

4、3已知在等比数列an中，a11，a59，则a3（）A5B5C3D3【解答】解：设公比为q，由等比数列的通项公式可得 a5a1q4，即 91q4，解得 q23，a3a1 q23，故选：D4在各项均为正数的等比数列an中，a21，2a9a3a6，则a8的值为（）A2B12C14D18【解答】解：由a9a3a6，则2q61q3，又q0，所以q3=12，a8=a2q6=14，故选：C5若等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a4b48，a2b2=（）A4B1C1D4【解答】解：等差数列an的公差设为d和等比数列bn的公比设为q，由a1b11，a4b48，可得1+3dq38，可得d3，q2，则a2b

5、2=1+3(2)=1，故选：C6在正项等比数列an中，a11，且3a3，a2，2a4成等差数列，则数列an的前n项和Sn（）A212n1B1(2)n3C212nD12n3【解答】解：设等比数列公比为q，因为3a3，a2，2a4成等差数列，所以2a23a3+2a4，即2a1q3a1q2+2a1q3，因为正项等比数列an，所以2q2+3q20，解得q=12或q2（舍去），所以Sn=1(1(12)n)112=212n1，故选：A7在等比数列an中，已知a1a34，a9256，则a8（）A128或128B128C64或64D64【解答】解：由等比数列的性质可得，a1a3=a22=4，a22或2，a92

6、56，当a22时，q7128即q2，则a8128，当a22时，q7128即q2，则a8128，故选：A8已知各项均为正数的数列an为等比数列，若a1a516，a3+a412，则公比q（）A12B1C2D4【解答】解：根据题意，等比数列an的公比q0，由a1a5a 32=16，解得a34或a34（舍去），又a3+a412，得a41248，所以q=a4a3=84=2故选：C9设数列an是各项为正数的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a416，a4+a5+a8a1+a2+a5=8，则S5（）A40B20C31D43【解答】解：设等比数列an的公比为q0，a2a416，a4+a5+a8a1+a2+a

7、5=8，a12q4=16，q38，解得q2，a11则S5=25121=31故选：C10已知等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a216，2a2+a3a4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a100等于（）A11000B5050C5000D10000【解答】解：设等比数列an的公比为q（q0），由2a2+a3a4，得a1（2q+q2）a1q3，又a10，所以2q+q2q3，整理得q（q+1）（q2）0，解得q2或q1（舍去），q0（舍去），由2a1+3a216，得2a1+6a116，解得a12，所以an22n12n，所以log2a1+log2a2+log2a3+log2a1

8、00log2（a1a2a100）log221+2+1001+2+100=1002（1+100）5050故选：B11设递增的等比数列an的前n项和为Sn，已知S4=403，3a410a3+3a20，则a4（）A9B27C81D83【解答】解：根据题意，设等比数列an的公比为q，若3a410a3+3a20，则3a2q210a2q+3a20，即有3q210q+30，解可得q3或13，又由数列an为递增的等比数列，则q3，若S4=403，则S4=a1(1q4)1q=40a1=403，解可得a1=13，则a4a1q39，故选：A12记等比数列an的前n项和为Sn，已知S12，S36，且公比q1，则a3（

9、）A2B2C8D2或8【解答】解：S12；a12，设等比数列an的公比为q，则：S3=2(1q3)1q=2(1+q+q2)=6；q2+q20；q1；解得q2；a3=a1q2=24=8故选：C13已知各项均为正数的等比数列an中，a22，a3a4a529，则a3（）A16B8C4D2【解答】解：各项均为正数的等比数列an中，a22，a3a4a529，a1q=2a1q2a1q3a1q4=29q0，解得a11，q2，a31224故选：C14在正项等比数列an中，若a11，a3a2+2，Sn为其前n项的和，则S6S3=（）A6B9C12D15【解答】解：设正项等比数列an的公比为q，则 q0a11，a

10、3a2+2，q2q+2q2S6S3=1q61q3=1+q39，故选：B15设Sn是等比数列an的前n项和，若2S3a4+1，2S2a3+1，则a1（）A2B1C1D2【解答】解：2S3a4+1，2S2a3+1，两式相减可得2a3a4a3，即a43a3，则公比q3，2（a1+3a1）9a1+1，a11，故选：B二多选题（共2小题）（多选）16等比数列an中，a1=18，q2，则a4与a8的等比中项可能是（）A4B4C14D14【解答】解：设a4与a8的等比中项是x由等比数列an的性质可得x2a4a8=1823182716，x4，a4与a8的等比中项x4故选：AB（多选）17已知等比数列an中，满

11、足a11，q=12，则（）A数列a2n是等比数列B数列1an是递减数列C数列log2an是等差数列D数列an中，S10，S20，S30仍成等比数列【解答】解：等比数列an中，满足a11，q=12，则an=(12)n1，a2n=(12)2n1=12(14)n1，1an=2n1，log2an1n，可得数列a2n是等比数列，数列1an是递增数列，数列log2an是等差数列，因此AC正确，B不正确由S10=1(12)10112=21(12)10，S20=1(12)20112=21(12)20，S30=1(12)30112=21(12)30，S20S10=1+(12)10，S30S20=1+(12)10

12、+(12)201+(12)10，S10，S20，S30不成等比数列，因此D不正确故选：AC三填空题（共2小题）18已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且a1a62a3，a4与2a6的等差中项为32，则S531【解答】解：设正项等比数列an的公比为q，q0，a1a62a3，可得a12q52a1q2，即a1q32，a4与2a6的等差中项为32，可得a4+2a6a1q3+2a1q53，解得a116，q=12（负的舍去），则S5=16(1125)112=31故答案为：3119记正项等比数列an的前n项和为Sn，若S3=74，a2a4=116，则S101023512【解答】解：因为正项等比数列an，S

13、3=74，a2a4=116，所以a1(1+q+q2)=74a12q4=116，整理得6q2q10，解得q=12或q=13（舍），a11则S10=11210112=1023512故答案为：1023512四解答题（共4小题）20已知等差数列an的前n项和为Sn，且a36，S420（1）求an；（2）若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值【解答】解：（1）设公差为d，则a3a1+2d6，S4=4a1+432d=20，解得，a12，d2，所以：an2+（n1）22n（2）因为 ak=2k，Sk+2=(k+2)2+(k+2)(k+1)22=(k+2)(k+3)又a1，ak，Sk+2成等比数列，

14、所以2（k+2）（k+3）（2k）2，化简得：k25k60解得：k6或k1，又kN*，k621已知等差数列an的前n项和为Sn，a5+3a21，S63（1）求an的通项公式；（2）设bn=2an，求证：数列bn是等比数列，并求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由a5+3a21，S63，得4a1+7d=16a1+652d=3，解得a1=2d=1an2（n1）3n；证明：（2）bn=2an=23n，则bn+1bn=23(n+1)23n=12，又b1=231=22=40，数列bn是以4为首项，以12为公比的等比数列，可得Tn=4(112n)112=823n22已知数列an是等差数列，Sn为其前n项和，a49，S424（1）求an的通项公式；（2）若bn=3an，求证：bn为等比数列【解答】（1）解：因为an是等差数列，a49，S424，所以a1+3d=94a1+6d=24，解得，a13，d2，所以an3+2（n1）2n+1；（2）证明：bn=3an=32n+1，所以bnbn1=32n+132n1=9，所以bn是以9为公比的等比数列23已知正项数列an的前n项和为Sn，且Sn=14（an+1）2（nN*）（1）求a1，a2；（2）求证：数列an是等差数列【解答】（1）解：正项数列an的前n项和为Sn，且Sn=1