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文档简介

1、积分中值定理的改良和应用摘要：本文在?数学分析?假设函数与在闭区间上连续，且在上不变号，那么在上至少存在一点，使。特别地，当g(x)=1时有定理：假设函数在在区间非负单调递减，为可积函数，那么存在。定理：假设在上且单调递增，为可积函数, 那么存在.定理因为与在及连续，且由假设知在及上不变号。由定理5得：存在使得而，于是我们得到，这与矛盾。即证在内至少存在两点。证明二：假设在内=0只有一个根，由知f(x)在内异号。设在，而=为单调递增函数，所以这与矛盾。例2设函数二次可微，且严格单调，证明：在内存在唯一的一点，使得。在中有一个类似的例题，联想到定理6，本文的将其中的条件作减弱，将具有二阶连续导数

2、;改为二次可微;，然后利用定理6给予证明。分析：由题目的条件和结论，我们首先想到将在=处用Taylor公式展开，然后对展开式的两边在区间上同时积分，然后利用积分中值定理和定理6推出结论。证明：令=，在=处用Taylor公式展开得：，其中介于与之间。即对其中。而|keyimg150|虽然不一定连续，但导数具有介值性，因而由定理6得：存在唯一的点，使得=将又使，且，由定积分的几何意义知，因此，由显然在区间上，函数是单调递减且非负的，在区间上，函数是单调递增且非负的，故由积分中值定理，存在，使得，所以，故再由式有即证。3. 在与积分极限有关的问题中的应用无论是在数列极限，还是函数极限的计算中，如果含

3、有定积分式子，首先用定积分的相关知识，如积分中值定理等，把积分式简化，然后再运用解决极限问题的各种方法，就能到达解决问题的目的。例5设在上连续，,求.分析：此题在中将变形为，然后用洛必达法那么解得答案，本文我们可以将变形为，再用变量代换变为，然后用积分中值定理也可以得到相同答案。解：=，其中介于与之间，介于与之间。所以当时，有，故=.例6 设是的连续函数，证明：=|keyimg293|。分析：此题是黎曼引理的一个具体应用，其中取,由黎曼引理可得结论，这里我们用积分中值定理来证明结论。证明：=， .=又，所以=。4.在与收敛有关的问题中的应用例7 设函数,为正实数，证明：收敛并求其值。在中有一个

4、一般的结论，本文在的根底上令，得到一个具体的结果。分析：我们先将变为，其次将变形为，再利用变量代换将式子变形为，然后用积分中值定理即可证明。证明：令=，由积分中值定理，存在介于与之间，使得=，所以=收敛，且=0参考文献【1】华东师范大学数学系编.数学分析上第三版，217，222.北京：高等教育出版社，2002.【3】程其襄等编.实变函数与泛函分析根底第二版，197. 北京：高等教育出版社，2003.【4】裴礼文著.数学分析中的典型问题与方法，317，224，435,348,362，411，北京：高等教育出版社,2006.【5】舒斯会著.数学分析选讲，115，北京：北京大学出版社.2007.【6】刘三阳，李广民,于力等编.数

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