论非数学类线性代数的内容改革

1、论非数学类线性代数的内容改革如何用最浅显的理论解决更广泛的问题西安电子科技大学陈怀琛 hchchen1934摘要：为了弄清线性代数中哪些理论是非数学类（下简称工科）学生必学的，采用了逆向思考的方法，把后续课和工程中遇到的问题加以归纳，找到其最低限度需要的理论。凡是后续课需要的，讲透加强；凡是找不到直接需求的，即予省略；凡是能找到简明证法的，均予采纳。根据工科学生的特点，尽量从具体到抽象，加强形象教学在理论证明中的作用。经过多年尝试，提出一些原则，并写出了教材2。一、工科大学为什么要开线性代数课？1960年前后，线性代数进入美国大学数学系本科教学计划1，以后修这门课的非数学系学生却成了主流；三十

2、年前中国的工科是没有线性代数课的，80年代起增设这门课。线性代数为什么在近几十年如此风靡呢？不是它在理论上有新突破，而是在应用上的创新。1973年的诺贝尔经济奖发给了Leontiff教授，因为他1949年首创用计算机解了54阶线性方程组；80年代初，线性代数软件包LINPACK开发成功。这样人们不需要精通矩阵求解的数学细节，就可以解决大型复杂的线性代数命题，MATLAB也是用此软件包作为后台支撑的。线性代数不再是少数理论尖子才能学会的秘笈，而成为非数学专业大学生都能掌握的计算工具。现代社会对工科数学提出了更高的要求。钱学森先生在1989年写道：“今后对一个问题求解可以全部让电子计算机去干，不需

3、要人去一点一点算。而直到今天，工科理科大学一二年级的数学课是构筑在人自己去算这一要求上的。所以理工科的数学课必须改革，数学课不是为了学生学会自己去求解，而是为了学生学会让电子计算机去求解，学会理解电子计算机给出的答案”。4线性代数是数值计算的基础，不但该率先使用计算机、而且该由它推动其他数学和工程问题的计算机化。线性代数的重要性主要体现在它把愈来愈多的新领域与计算机联系起来，Leontiff获经济奖说明，想用计算机解决问题就得学线性代数。这种“需求牵引”对非数学专业而言，体现在用计算机求解高阶复杂的矩阵模型，不是去手工推证课程内部的微观数学公式。它与原数学系的指导思想相差很大，在实施中师生都提

4、出了改革要求。实践多年后，美国在1990年提出了线性代数作为公共课的五条改革建议：(i)线性代数课程要面向应用，满足非数学专业的需要；(ii)它应该是面向矩阵的（不是面向向量空间）；(iii)它应该适应学生的水平和需要；(iv)它应该利用最新的计算技术；(v)抽象内容应另设后续课程来讲。这五条建议鲜明地指出了非数学系的线性代数与原有课程的重大区别。二、“面向应用，满足非数学专业的需要”如何体现？要做到这一点，必须深入到非数学专业的实践中去，而用计算机解矩阵方程组是问题的核心。作者从十多门后续工程与管理课程中找到了两百多个应用例题，归纳它们的共同需求。大体情况是：（）最多的是解高阶方程组：阶次为

5、515，工程中可高至数千。类型则适定的最多，超定的其次，欠定的极少见；（）向量相关性：大部分题目涉及空间几何形状和运动，三维为主；高维问题极少，而且通常都看做解方程，用行阶梯变换来解；（）线性变换：大量的应用问题属于欧几里得空间的坐标变换。把同类问题适当合并后，在本文末的附录中列举了教材2中近50个应用实例，给出了它们的阶数及特性。教材改革的理论选材，就是围绕这些题目的需要组织起来的。把高斯消元法解线性方程组作为全书的理论主线，把行列式也纳入这根主线上。尽量去除不必要的繁琐推导，使理论单一化；为了与计算机结合，要使学生建立计算复杂度和计算精度的概念，引入的方法和概念都要把工程和计算可实现性摆在

6、重要位置；根据大一学生的水平，着重建立三维空间概念，不要求N维向量空间；讲透适定和超定方程的MATLAB解法，弱化欠定方程的解，不讲基础解及解空间。特征方程和特征根、二次型都只以二阶为主，但兼顾复数根。.这样组织的内容，与原有的数学系的线性代数就有了很大的不同，特别表现在以下方面。三、行列式的定义和性质的讲法改革我们发现，在所有的应用命题中，除了硬凑的求面积体积的题用到三阶行列式外，没有一个问题真正要算三阶以上行列式的，花了很多学时讲的各种行列式理论和方法竟然没用处。原因何在？这是因为用消元法解方程时，已经用主元都不为零判定了解的存在和唯一，不知不觉中已用了主元连乘定义下行列式；不必另起炉灶，

7、让学生去学其他两种繁琐的高阶行列式定义，也用不到克拉默法则。主元连乘法是高斯消元的自然延伸，不引进新概念新名词，并可很容易地证明行列式的各种有用的性质，也是软件编程的依据。对于工程人才，数学定义和方法的可实现性是必须关注的问题。数值计算中通常用所需的乘法次数来标志计算的复杂度，下表给出了行列式三种定义方法在不同阶数下的计算量比较 表3-1 行列式的三种定义方法所需乘法次数阶数n234510251.显式法(不含正负号计算) (n-1)n!21272480326592003.72*10262. 代数余子式法2n!294020572576003.10*10253. 对角主元连乘法n3/3413244

8、53425233拿1,3两种方法所需的乘法次数加以比较，可以看出，只有n=2时，用显式法求行列式才比消元法方便。当n=10时，用显式法算的计算量为三千万次，主元连乘法才342次。n更大时，两种老定义的运算量不仅超越了人们笔算可能性，也超越了计算机的能力。这种现象称为“维数灾难(Curse of Dimensionality)”。在新定义下，不但计算量大大缩减，那些“逆序数、代数余子式、随伴矩阵、行列式按行展开、”等等只能给爱数学的人练练推导，根本没有实用价值。非数学系避开了这些“拦路虎”，可大大压缩篇幅，降低难度，何乐而不为呢。不讲这些概念水平就低吗？其实这才是有水平：高屋建瓴，看透了传统定义

9、的致命痼疾，让后人别白费时间。经典的行列式定义出现最早，最繁琐，围绕它的公式也多，但只能推导不能算；高斯消元法可直接得出行列式的主元连乘公式，计算很简单，有人就把简化说成水平低，宁可用繁琐的老定义加上复杂的推导来绕圈子，非要繁才算高水平；这是荒唐的逻辑。好在到了计算机时代，编程中自然会扬弃一切无用的中间环节。所以MATLAB中就没有这些繁琐过时的术语及其子程序。当前全世界有几百万教学、科研和工程用户都在靠它解大规模、高难度的线性代数问题，说明从应用出发，确实不需要这些概念。美国MIT的教材3也不细讲这些术语，只通过二、三阶矩阵简单介绍了一下。好比登山，老定义是靠手工攀岩，要一尺一尺地爬。高斯法

10、找到了筑台阶的办法，可以一级一级地走；计算机相当于发明缆车，可以一步到顶。根据非数学专业学生的基础和面临的实际问题，该教什么是不言自明的。让少数数学系的学生练两天攀岩也许还有点道理，让千百万非数学系的学生都去学攀岩，不坐缆车，实在讲不过去。四、向量空间要讲透三维，减缩N维。帮助大学低年级学生建立立体概念是大学教学计划中的重要一环，为此有制图、画法几何、多变量微积分、物理中场的演示、数学中的场论、电工中的复信号、电机中的旋转磁场等等多门课程，说明三维空间的概念不是那末好建立的。线性代数本应该有责任帮助学生建立空间概念，但现有教法却弱化三维，过分强调N维空间。国外的各种面向工科的线性代数优秀教材，

11、都是以三维空间为主的，并且有大量的立体图辅助。中国教材强调N维，全是公式，没法画图，很不利于学生接受。我们强调二、三维，使例子形象化，并使图形作为建立概念的重要工具。利用三维空间向量的概念又可以推导出超定方程组的最小二乘解，为扩大线性代数的应用领域起了很好的作用。强化和讲透三维可通过许多应用实例来实现，例如在三维空间中如何认识欠定方程组和超定方程组的解，如何认识和应用坐标变换、投影和QR分解等。N维只用于解方程组，不用于向量空间，这也是和传统教材的区别。不是说N维不重要，而是说要循序渐进，先感性积累，后理性抽象，按美国改革线性代数的第(v)点，N维应另设后续课程来讲。五、弱化欠定，加强超定。欠

12、定方程组是由于命题条件不足造成的，工程师可以拒绝处理，在强调解的存在和唯一性的高等数学入门阶段，找不到基础解系的工程实例，不可能让学生理解其意义，在此让大学新生花很多学时是太超前了。超定方程则是工程上常见的问题，它来源于实践中不可避免的干扰和测量误差，而且其证明又可加强向量空间概念。世界各国的教材都讲，只有我国的教材不讲，大量的应用命题就不会解。“大讲欠定，不讲超定”是我国线性代数教学脱离工程的突出表现。有用的不讲，讲的却没用，浪费了很多课时，对工程应用完全没有帮助。六、特征根的意义和解法不讲高阶，只讲到两阶为止，但实数和复数根都要讲。实际上三阶及以上的特征根，多数老师都不会笔算，也没有一本教

13、材讲它的求法。应该老老实实告诉学生，三阶以上系统的特征值问题，手工解是不行的，只有依靠计算机。二次型可以只讲到二阶，高阶实二次型不但计算有难度，而且很难找其物理意义和几何模型，更谈不上工程应用。而复数特征根却是工程中很有用的。它是理解振动问题的基础，它是学生在日常经验中能够接受的。 采用了这些改革措施后，理论是大大减少了，新教材2只用了100多页的篇幅，就打下了初步的理论基础，足以解决所列举的几十个线性代数问题。这些问题中约四分之一用现在教的线性代数是很难解或解不出的，用最小的学习成本以获得最大的应用效果，这是内容改革的目标。原有的线性代数书为什么解不了这些题呢？（）因为不用计算机，表中十几个

14、超过三阶的题目就很难解，甚至无法解；即使是三阶题，手工解起来也是少慢差费；（）因为空间概念不清，对于空间多点共面性、刚体运动和坐标变换方面的题目就感困难；（）因为不讲超定方程，几个超定命题也不会解；（）不讲复数特征值，振动问题也不会解。可见我们删除的内容完全不影响学生解工程问题的能力，只是减少了工程上用不到（可惜考研有些还要）的数学推演，增补的内容却都是有的放矢地提高了解决多种应用问题的能力。需要说明的是，上述改革是针对大学生和工程师提出的理论上的最低要求，比较合适于学时数30左右，培养目标为应用型、技能型的专业，并且不参加现在的考研。对于理工科中研究型人才培养，除了达到最低要求外，要根据各专

15、业的需要和大纲所给的学时，适当地加强一些理论以应付考研，但实践也要加强。对计算速度和精度的讨论、对三维空间概念的强化、对超定方程解法、对复数特征根、对应用问题的建模、对用MATLAB解题的能力、.，总之，在线性代数建模和实践环节上，都应该有适应工科需求的变革与加强。参考文献：1 A. Tucker, The Growing Importance of Linear Algebra in Undergraduate Mathematics, Resources for Teaching Linear Algebra. MAA Note Series 42, 19972 陈怀琛，实用大众线性代数（

16、MATLAB版），西安电子科技大学出版社，2014年7月3 Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, 4th Edition, Wilsley-Cambridge Press, Feb.2009, ISBN:978-0980232714 钱学森，回顾与展望，老交大的故事，江苏人民出版社,1989附录：教材实用大众线性代数(MATLAB版)中的应用实例汇总表序号 例题名称矩阵阶数方程类型向量空间线性变换矩阵运算页数1例 HYPERLINK l _Toc374415773 1.8 插值多项式4适定222例 HYPERLINK l _Toc374

17、415774 1.9 平板稳态温度的计算4适定223例 HYPERLINK l _Toc374415775 1.10 交通流量的分析4欠定补充其他条件求解234例 HYPERLINK l _Toc374415776 1.11 化学方程的配平3欠定补充其他条件求解235例 HYPERLINK l _Toc374415794 2.14 成本核算问题 3矩阵乘法426例 HYPERLINK l _Toc374415795 2.15 列乘行生成网格矩阵 1021矩阵乘法437例 HYPERLINK l _Toc374415795 2.16 Vander矩阵的生成 4*4矩阵乘法438例 HYPERLI

18、NK l _Toc374415795 2.17 特殊矩阵的生成4求逆阵439例 HYPERLINK l _Toc374415796 2.18 图及其矩阵表述4矩阵乘法4410例 HYPERLINK l _Toc374415797 2.19 网络的矩阵分割和连接22矩阵乘法4511例 HYPERLINK l _Toc374415798 2.20 微分矩阵和积分矩阵3求逆阵4612例 HYPERLINK l _Toc374415813 3.7 用行列式判解的存在性4行列式计算5813例 HYPERLINK l _Toc374415814 3.8 行列式为零时无逆阵 3求逆阵5914例 HYPERL

19、INK l _Toc374415814 3.9 用行列式计算面积2行列式计算5915例 HYPERLINK l _Toc374415815 3.10 特征行列式的计算2行列式计算6016例4.7 欠定方程解的几何意义23欠定空间概念7517例4.8 超定方程解的几何意义31超定空间概念7618例4.9 超定方程解的几何意义32超定空间概念7719例 HYPERLINK l _Toc374415839 4.6.1 减肥配方的实现3适定7820例 HYPERLINK l _Toc374415840 4.6.2 三维空间中的平面方程3空间概念7921例 HYPERLINK l _Toc3744158

20、41 4.6.3 价格平衡模型 3适定8122例 HYPERLINK l _Toc374415842 4.6.4 混凝土配料中的应用5超定8223例5.1 平面线性变换的几何意义2空间概念线性变换8824例5.2 斜体字母生成2空间概念线性变换9125例5.3 刚体平面运动3空间概念线性变换9326例5.5 测量数据直线性判断42超定空间概念线性变换9927例 HYPERLINK l _Toc374415863 5.6.1 字母阴影投影的生成 2线性变换10228例 HYPERLINK l _Toc374415864 5.6.2 雷达坐标与地面坐标系 3正交线性变换10329例 HYPERLINK l _Toc374415864 5.6.3 人口迁徙模型 2矩阵幂次实特征根10430例 HYPERLINK l _Toc374415865 5.6.4 物料混合问题 2微分方程矩阵指数实特征根10531例 HYPERLINK l _Toc374415865 5.6.5 单自由度机械振动2微分方程矩阵指数复特征根10732 HYPERLINK l _Toc