信号与系统教案第6章-2016

1、第六章 离散系统的z域分析 6.1 z变换 6.2 z变换的性质 6.3 逆z变换 6.4 z域分析 6.5 系统函数与系统特性 6.6 z域分析的Matlab实现一、从拉氏变换到z变换对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到: 取样信号两边取双边拉普拉斯变换，得 令 ，上式将成为复变量z的函数，用 表示； ，得6.1 z变换序列f(k)的双边z变换序列f(k)的单边z变换若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。 F(z) = Zf(k) f(k)= Z-1F(z) f(k)F(z)6.1 z变换二、收敛域 z变换定义为一无穷幂级数之和，

2、显然只有当该幂级数收敛，即时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。 收敛域的定义： 对于序列f(k)，满足 的所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。 6.1 z变换例1： 有限长序列的z变换(1) f1(k)=(k) k=0 (2) f2(k)=1 , 2 , 3 , 2,1 解：(1) 可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关， 所以其收敛域为整个z 平面。 (2)收敛域为 0z 0由于序列是有限长的，则F(z)是有限项级数和，所以F(z)除了在 0和处外都收敛，有时在0和处也收敛。结论一：有限长序列的收敛域是 ，要讨论 0和两点。6.1

3、 z变换例2： 因果序列 解：z a 结论二：因果序列的收敛域是某个圆的圆外。z a6.1 z变换例3： 反因果序列 解： b-1z1，即zb时，其z变换存在。 收敛域为|z| |b|结论三：反因果序列的收敛域是某个圆的圆内。6.1 z变换例4： 双边序列解： 收敛域为azb （显然要求ab，否则无共同收敛域) 结论四：双边序列的收敛域是环状区域。6.1 z变换注意：例5： 对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆 以外的区域。可以省略。 对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序 列将不唯一。 6.1 z变换三、常用序列的z变换 1 ， 收敛域整个z平面 6.1 z变换四、s域与z域的

4、关系 式中T为取样周期从S平面到Z平面的映射:6.1 z变换 s平面的左半平面(z平面的单位圆内（z=0)-z平面的单位圆外（z=1) s平面的j轴(=0)-z平面中的单位圆上（z=1) s平面上实轴(=0)-z平面的正实轴（=0)s平面上的原点(=0，=0)-z平面上z=1的点（=1，=0） 由上式可看出：6.1 z变换6.1 z变换一、线性 其收敛域至少是F1(z) )与F2(z)收敛域的相交部分。 例： 2(k)+ 3(k)2 +6.2 z变换的性质6.2 z变换的性质二、移位（移序）特性 单边、双边差别大！ 对于双边Z变换，移位后的序列没有丢失原序列的信息；而对于单边Z变换，移位后的序

5、列较原序列长度有所增减。双边z变换的移位： 且对整数m0，则 6.2 z变换的性质单边z变换的移位： 且对整数m0，则 6.2 z变换的性质特例：若 为因果序列，则6.2 z变换的性质例1：求周期为N的有始周期性单位序列 的z变换。 解：z1例2： 求 的单边z变换F(z)。 解：6.2 z变换的性质三、序列乘ak(z域尺度变换) 例1：例2：且有常数a0 ，则：若a换为a1,则：6.2 z变换的性质四、卷积定理 对单边z变换，要求f1(k)、 f2(k)为因果序列其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。 例： 求 的z变换。 解：6.2 z变换的性质五、序列乘k（z域微分） 若

6、 则 , z0， 则, z0，则 例：求序列 的z变换。 解：6.2 z变换的性质七、k域反转(仅适用双边z变换） 例： 求a k( k 1)的z变换。 解：，|z| |a| ，|z| 1/ |a| ，|z| 1/ |a| 6.2 z变换的性质八、部分和 , max(,1)zmax(|a|,1)6.2 z变换的性质应用： LTI离散系统 6.2 z变换的性质九、初值定理和终值定理 初值定理： 如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 则序列的初值对因果序列f(k)6.2 z变换的性质终值定理： 如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k) F(z) ，z 且01 则序

7、列的终值 含单位圆例：已知因果序列的象函数 ，求序列的初值和终值。 6.2 z变换的性质求逆z变换的方法有：幂级数展开法; 部分分式展开法; 反演积分（留数法）。 一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即 f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(k) +f(k)(k 1) 相应地，其z变换也分为两部分 F(z) =F1(z) +F2(z) ， |z| 2 (2) |z| 1 (3) 1 |z| 2 ，f(k)为因果序列。用长除法将F(z)展 开为z-1的幂级数： z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + f(k

8、)=1，1，3，5， k=0 （2） z1，f(k)为反因果序列。用长除法将F(z) （按升幂排列）展开为z的幂级数: k=2 6.3 逆z变换（3） 1z2，f(k)为双边序列。将F(z)展开为部分分式，有 再将它们分别展开为z-1及z的幂级数，有难以写成闭合形式。 k=0 6.3 逆z变换二、部分分式展开法 mn时先从F(z)中分出多项式部分，再将余下的真分式展开为 部分分式。根据极点的类型， 的展开有几种情况：1）实单极点；2）共轭单极点；3）重极点6.3 逆z变换（1）F(z)均为单极点根据给定的收敛域，将上式划分为F1(z)(z)和F2(z)(z2 (2) z1 (3) 1z2，因果

9、序列 (2) z1，反因果序列 (3)1z2，双边序列 6.3 逆z变换例2：求象函数 ,1z1，后两项满足z1)，若z ,对应原序列为 （3） F(z)有重极点 6.3 逆z变换 当r=3时，为 可这样推导记忆： Zak(k)=两边对a求导得 Zkak-1(k)= 再对a求导得 Zk(k-1)ak-2(k)=故 Z0.5k(k-1)ak-2(k)=当r=2时，为 kak-1(k)6.3 逆z变换例3：已知象函数，z1,求其原函数。解：f(k)=k(k-1)+3k+1(k)6.3 逆z变换一、差分方程的变换解 时域差分方程时域响应y(k)z域代数方程解差分方程单边z 变换解代数方程 z域响应Y

10、(z)逆z变换6.4 z域分析 二阶系统响应的z域求解 已知 f(k) , y(-1) , y(-2)，求y(k)。 求解步骤 1）经单边z变换将时域差分方程变换为z域代数方程；2）求解z域代数方程，得出 和 ；3）逆z变换，求出响应的时域表示式。6.4 z域分析6.4 z域分析例1：若某系统的差分方程为 y(k) y(k 1) 2y(k 2)= f(k)+2f(k 2)已知y( 1)=2，y( 2)= 1/2，f(k)= (k)。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。 解:方程两边取单边z变换 6.4 z域分析6.4 z域分析二、系统的z域框图 另外两个基本单元：数乘器和加法器，k域

11、和z域框图相同。6.4 z域分析例2： 某系统的k域框图如图，已知输入f(k)= (k)。(1) 求系统的零状态响应yzs(k)。(2) 若y(-1)=0，y(-2)=0.5 ，求零输入响应yzi(k)。解:(1)画z域框图z-1z-1F(z)Yzs(z)设中间变量X(z)X(z)z-1X(z)z-2X(z)X(z)=3z-1X(z) 2z-2X(z) +F(z)Yzs(z)=X(z) 3z-1X(z)= ( 1 3z-1)X(z)6.4 z域分析yzs(k) = 2k + 32 (2)k(k)(2)由H(z)可知，差分方程的特征根为1=1， 2=26.4 z域分析yzi(k) = Cx1 +

12、 Cx2 (2)k由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有Cx1 + Cx2 (2)-1= 0Cx1 + Cx2 (2)-2= 0.5Cx1 =1, Cx2 = - 2yzi(k) = 1 2 (2)k,k0一、系统函数 H(z)的求解方法：1. 2. 已知差分方程，在零状态下做单边z变换3. 已知系统框图，找出零状态下系统的响应与 激励的关系；6.5 系统函数与系统特性例1： 某系统，已知当输入f(k)=( 1/2)k(k)时，其零状态响应 求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。 解:h(k)=3(1/2)k 2( 1/3)k(k) 再求g(k)?6.5 系统函数与系统特性二、系

13、统函数的零、极点分布图LTI离散系统的系统函数是复变量z的有理分式，即 A(z)=0的根p1，p2，pn称为系统函数H(z)的极点；B(z)=0的根1，2，m称为系统函数H(z)的零点。 将零极点画在z平面上得零、极点分布图。 6.5 系统函数与系统特性三、系统函数与时域响应单位序列响应的函数形式由H(z)的极点确定。 下面讨论H(z)极点的位置与其时域响应的函数形式。 所讨论系统为因果系统。 H(z)按其极点在z平面上的位置可分为: 单位圆内 单位圆上 单位圆外6.5 系统函数与系统特性根据z与s的对应关系，有结论： H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。即 当k时，响应均趋于0

14、。 H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳态响应。 H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其所对应的响应序列都是递增的。即当k时，响应均趋于。 6.5 系统函数与系统特性四、系统函数与频率响应 由于z = esT ， s=+j，若离散系统H(z)收敛域含单位园，则若连续系统的H(s)收敛域含虚轴，则连续系统频率响应离散系统频率响应定义为存在。令T = ，称为数字角频率。 幅频响应,偶函数；相频响应,奇函数1、频率响应6.5 系统函数与系统特性设LTI离散系统的单位序列响应为h(k),系统函数为H(z)，其收敛域含单位园，则系统的零状态响应 当 时正弦指数序列的响应：2、正弦周

15、期序列激励下系统的稳态响应6.5 系统函数与系统特性 在正弦指数序列的激励下，系统的稳态响应仍然是一个正弦指数序列； 稳态响应的频率与输入信号的频率相同，但幅度和相位由不同频率点上的 确定。例2： 某因果系统的差分方程为y(k)-0.5y(k-1)=f(k)，若激励f(k)=(-1)k(k)，求系统的稳态响应。6.5 系统函数与系统特性解：收敛域包含单位园，频率响应存在，系统稳定6.5 系统函数与系统特性6.5 系统函数与系统特性若输入则其正弦稳态响应为6.5 系统函数与系统特性例3: 图示为一横向数字滤波器。（1）求滤波器的频率响应；（2）若输入信号为连续信号f(t)=1+2cos(0t)+

16、3cos(20t)经取样得到的离散序列f(k)，已知信号频率f0=100Hz，取样fs=600Hz，求滤波器的稳态输出yss(k) 。6.5 系统函数与系统特性解: （1）求系统函数Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z) H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3 ，|z|0H(ej) =1+ 2e-j+2e-j2+ e-j3 =e-j1.52cos(1.5)+ 4cos(0.5)（2）连续信号f(t) =1+2cos(0t)+3cos(20t) 经取样后的离散信号为(f0=100Hz,fs=600Hz ) f(k)=f(kTs)= 1+2cos(k0Ts)+3c

17、osk(20Ts) 6.5 系统函数与系统特性f(k)=f(kTs)= 1+2cos(k0Ts)+3cosk(20Ts) 1=0 , 2=0Ts=/3 , 3=20Ts= 2/3 H(ej1)=6 ，H(ej2)=3.46e-j/2 , H(ej3)= 0 稳态响应为 yss(k)= H(ej1)+2 H(ej2)cosk0Ts+(2) +3 H(ej3)cos2k0Ts+(3) = 6 + 6.92cos(k/3-/2) 可见消除了输入序列的二次谐波。 f0=100Hz, fs=600Hz6.5 系统函数与系统特性五、系统的因果性 因果系统是指系统的零状态响应yzs(k)不会出现于f(k)之

18、前的系统。离散因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(k)=0, k0 或者，系统函数H(z)的收敛域为：6.5 系统函数与系统特性即对于任意激励f(k)，如果， 则系统的零状态响应六、系统的稳定性 （2）离散系统稳定的充分必要条件是 （1）离散系统稳定的定义 5.5 系统函数与系统特性如果系统对于所有的激励 其零状态响应为 则称系统是稳定的。 （3）离散因果系统稳定的充要条件（时域） 因果系统单位圆内的极点对应的响应为衰减函数。故若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳定的因果系统。 5.5 系统函数与系统特性（4）连续因果系统稳定的充要条件（z域） 一、利用Matlab实现z变换 函数

19、：ztrans( )6.6 z域分析的Matlab实现调用格式：fz= ztrans( fk, k, z)例1：求下列序列的z变换。（1）（2）解：调用ztrans( )实现仿真。syms k; %定义时间符号变量fk=(1/2)k; %定义连续时间信号符号表达式fz=ztrans(fk) %计算z变换的符号表达式程序运行结果为：fz =2*z/(2*z-1)6.6 z域分析的Matlab实现syms k a; fk=cos(a*k); fz=ztrans(fk)； 程序运行结果为： fz=(z-cos(a)*z/(z2-2*z*cos(a)+1)二、利用Matlab实现部分分式展开 函数：r

20、esiduez( )调用格式：r,p,k= residuez( num, den)例2：已知 ，用Matlab对其部分分式展开。解：调用residuez( )实现仿真。6.6 z域分析的Matlab实现num=0 2; % 定义的分子多项式系数向量，缺项补零den=1 0 -1; % 定义的分母多项式系数向量，缺项补零r,p,k=residuez(num,den) % 对部分分式展开程序运行结果为： r=-1 1 p=-1 1 k= 由运行结果可知，F(z)的部分分式展开为三、利用Matlab实现逆z变换 函数：iztrans( )6.6 z域分析的Matlab实现调用格式：fn=iztrans( fz, z, n)解：调用iztrans( )实现仿真。syms n z; %定义符号变量z，nfz=(z2)/(z+1)*(z-2); %定义z变换符号表达式fn=iztrans(fz,z,n) %计算fz的逆z变换程序运行结果为： fn =2/3*2n+1/3*(-1)n例3：已知 ，用Matlab求其原序列。则有：四、利用Matlab绘制零极点分布图 函数：zplane( ) 6.6 z