1-5-1　平面上两点间的距离(共17张PPT)

1、1.5平面上的距离1.5.1平面上两点间的距离学习目标1.掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式.2.能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题.3.理解坐标法的意义,并会用坐标法研究问题. 1 |两点间的距离1.公式平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式P1P2=.2.特殊情况当直线P1P2垂直于y轴时,P1P2=|x2-x1|;当直线P1P2垂直于x轴时,P1P2=|y2-y1|;当点P1,P2中有一个是原点时,P1P2= (或).2 |中点坐标公式1.公式对于平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0),则.2.中点坐

2、标公式的推导对于平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),线段P1P2的中点是M(x0,y0).如图,过点P1,M,P2向x轴作垂线,垂足分别为P1,M,P2,则P1,M,P2的横坐标分别为x1,x0,x2.因为M是P1P2的中点,所以P1M=MP2,又P1P1MMP2P2,可知P1M=MP2 ,则x0-x1=x2-x0,解得x0=.同理可得y0=.所以线段P1P2的中点M的坐标为. 判断正误,正确的画“”,错误的画“”.1.P1(0,a),P2(0,b)两点间的距离为a-b.()提示:P1(0,a),P2(0,b)两点间的距离应该为|a-b|.2.已知平面内的两点A(x1,y1),

3、B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则直线上A,B两点间的距离AB=|x1-x2|.()提示:AB=|x1-x2|,即AB=|x1-x2|.3.已知点A(-2,-1),B(a,3),且AB=5,则a的值为1.()提示: 由题意知AB=5,解得a=1或-5.4.已知A(4,0),B(0,4),从点P(1,0)射出的光线被直线AB反射后,再射到直线OB上,最后经OB反射后回到P点,则光线所经过的路程是.()提示:点P关于y轴的对称点P的坐标是(-1,0),设点P关于直线AB:x+y-4=0的对称点为P(a,b),解得P(4,3),光线所经过的路程PP=. 1 |常见的对称问题点关于点的对称求点P

4、1(x1,y1)关于点P2(x2,y2)的对称点P(x,y).由中点坐标公式得 则有点关于直线的对称(1)如图,已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,求点P关于直线l的对称点P(x,y)的步骤如下:第一步,直线PP和l垂直,故kPPkl=-1.第二步,PP的中点在直线l上,即点满足直线方程Ax+By+C=0,得到A+B+C=0.第三步,联立两式可以解出x,y.(2)点关于直线对称的常用结论:点P(x0,y0)关于x轴的对称点P(x0,-y0);点P(x0,y0)关于y轴的对称点P(-x0,y0);点P(x0,y0)关于直线y=x的对称点P(y0,x0);点P(x0,y0)关于直线y=

5、-x的对称点P(-y0,-x0);点P(x0,y0)关于直线x=m(m0)的对称点P(2m-x0,y0);点P(x0,y0)关于直线y=n(n0)的对称点P(x0,2n-y0).直线关于点的对称直线关于点的对称实际上可以转化为点关于点的对称.直线关于直线的对称已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,求直线l1关于直线l2的对称直线的方程.如果l1l2,则设所求直线的方程为A1x+B1y+m=0(mC1),然后在l1上找一点P,求出点P关于直线l2的对称点P(x,y),再代入A1x+B1y+m=0,即可解出m.如果l1与l2相交,则先找出l1与l2的交点P,然后在

6、l1上确定一点M(不同于交点),找出这一点关于l2的对称点M,由两点即可确定所求直线的方程.已知直线l:x+2y-2=0,试求:(1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标;(2)直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线l2的方程;(3)直线l关于点A(1,1)对称的直线方程.解析(1)设点P(-2,-1)关于直线l的对称点为P(x0,y0),则线段PP的中点M在直线l上,且PPl.所以有解得故P点的坐标为.(2)解法一:由得直线l与l1的交点为N(2,0),在l1上任取一点B(0,-2),设B关于直线l的对称点为B(x1,y1),则解得即B,所以直线l2的斜率为kNB=7,所以l2的方程

7、为y=7(x-2),即7x-y-14=0.解法二:由于直线l1:y=x-2关于直线l对称的直线为l2,则l2上任一点P1(x,y)关于l的对称点P1(x,y)一定在直线l1上.由得把(x,y)代入方程y=x-2并整理得7x-y-14=0,故l2的方程为7x-y-14=0.(3)设直线l关于点A(1,1)对称的直线为l,则直线l上任一点P2(x2,y2)关于点A的对称点P2(x2,y2)一定在直线l上.由得将(x2,y2)代入直线l的方程得x2+2y2-4=0,所以直线l的方程为x+2y-4=0.方法技巧关于对称问题,要充分利用“垂直平分”这个基本条件,“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直

8、,“平分”是指两个对称点连成的线段的中点在已知直线上,可通过这两个条件列方程组求解.2 |对称在求最值中的应用在直线l上求一点P,使P到两个定点的距离之和最小的求法(1)当两定点A、B在直线l的异侧时,如图,连接AB,线段AB交直线l于点P,此时AB与l的交点P到两定点的距离之和最小,最小值为AB的长.在直线l上任取一点P,则PA+PBAB.(2)当两定点A、B在直线l的同侧时,如图,作点A关于直线l的对称点A,连接AB交直线l于点P,此时点P到两定点A,B的距离之和最小.在直线l上求一点P,使P到两定点的距离之差的绝对值最大的求法(1)当两定点A、B在直线l的同侧时(A、B连线与l不平行),

9、连接BA并延长,交直线l于点P.此时点P到两定点的距离之差的绝对值最大,最大值为AB的长.如图,在l上任意取一点P,则有|PB-PA|AB=|PB-PA|.(2)当两定点A、B在直线l的异侧时,作点A关于直线l的对称点A,连接BA并延长,交l于点P.此时点P到两定点距离之差的绝对值最大,最大值为|PB-PA|=|PB-PA|=AB.如图,在l上任取一点P,则有|PB-PA|=|PB-PA|AB.已知直线l:x-2y+8=0和两点A(2,0),B(-2,-4),且点P在直线l上.(1)当PA+PB最小时,点P的坐标为;(2)当|PB-PA|最大时,点P的坐标为.思路点拨(1)利用对称性将直线同侧两点转化为异侧两点,利用两点之间线段最短求最小值,进而得出点P的坐标.(2)A、B两点在直线l的同侧,根据三角形两边之差小于第三边,得出当A,B,P三点共线时,|PB-PA|取得最大值,进而得出点P的坐标.解析(1)设点A关于直线l的对称点为A(m,n),则解得故A(-2,8).因为P为直线l上一点,所以PA+PB=PA+PBAB,当且仅当B,P,A三点共线时,PA+PB取得最小值,最小值为AB的长,此时点P为直线AB与直线l的交点.又直线AB的方程为x=-2,所以由得故点P的坐