向量的应用-求空间坐标旋转变换

1、-1-向量的应用求空间坐标旋转变换山石摘要：利用向量的投影意义推导出空间直角坐标转换公式，并举例应用点绕定直线转动的问题。此方法易理解掌握、计算简单，不仅拓宽了向量知识的应用范围，为解决三维直角坐标转换提供了一种新方法，同时对测绘学、计算机图形学都有借鉴意义。介绍一种利用空间向量求解坐标变换关系的方法，简化了传统的坐标系之间坐标变换关系求解的复杂计算减小了采样误差对计算结果的影响，为建立各种物体之间的位姿描述提供了有效的数学计算手段。关键词：向量；坐标转换。什么是三维直角坐标转换呢？简单的说：就是空间的点在两个不同空间直角坐标系中的坐标转换关系。1Z*求解它的方法多涉及高数内容。笔者经研究发现

2、：利用向量知识也可以求三维直角坐标转换。一利用向量推导三维直角坐标转换已知空间直角坐标系O-XYZ中一点P(x,y,z)在另一空间直角坐标系O-XYZ的坐标(xyz)，点O在坐标系O-XYZ的坐标为(x,y,z)，且两个坐标系符合右手旋000转规则，如图一，X轴、Y轴、Z轴正方向的单位向量分别为n、n、n，设n=(x,y,z)、n=(x,y,z,)、XYZXXXXYYYYn=(x,y,z)。ZZZZ证明：TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark30 o Current Document x二(xx)x+(yy)y+(zz)z0X0X0Xy=(xx)x+(yy)y+(

3、zz)z0Y0Y0YO-X1Y1Z1,(如图一)则点l水=(xx0)笃+(yy0)乙+(zZ0)ZZ，(公式一)证明：将空间直角坐标系O-XYZ按OO平移得新空间直角坐标系P(x,y,z)在OO-XYZ的坐标为(x-x,y-y,z-z)。根据向量的投影知识OOp在n上的投影就是点111000XP在坐标系O-XYZO中的横坐标，OP在n上的投影就是点P在坐标系O-XYZ中的纵坐标，OPY在n上的投影就是点P在坐标系O-XYZ中的竖坐标。Z(x-x0)xx,+(y-y0)yx,+(z-z0)zx，FS=OTPnYOPnz，=OTPnZ=(X-X0)XY，+(y-y0)yY，+(Z-Z0)ZY=(x

4、-X0)XZ，+(y-y0)yZ，+(z-z0)ZZ即：x二(xx)x+(yy)y+(zz)z0X0X0Xy=(xx)x+(yy)y+(zz)z0Y0Y0Y这就是空间点在两个空间直直角坐标系坐标变换的公式其中(x,y,z)是点P在空间直角坐标系OXYZ的坐标,xx,x?九是点y在空间直角坐标系O-XYZ式的坐标；点O,在坐标系OXYZ的坐标为(x,y,z).(x,y,z)、(xY,，yY,，zY,)、(x,y,z)分别是OX、OY、OZ在空间直角坐标系000XXXYYYZZZOXYZ的单位向量坐标。二运用点绕定直线转动的问题已知定直线I的向量为T，点P(x,y,z)为直线I上一点，设空间一点P

5、(x,y,z)绕直线I旋转角00000到点P(x,y,z)(图三)，下面介绍求旋转变换的方法。思路：1.将点P在坐标系-XYZ的坐标变换为在坐标系O-XYZ的坐标；2导出点P绕I轴旋转角0到点P的两坐标之间关系；3.将点P在坐标系O-XYZ的坐标，变换为在坐标系O-XYZ的坐标。步骤：.建立符合右手旋转新坐标系O-XYZ，求出X轴、Y轴、Z轴正方向的单位向量。以点P为原点O，取直线I为Z轴，以过P且垂直于Z轴、Z轴的直线为X轴建立符合右手00Y轴、Z轴正方向的单位向量分别为nX巴由向量计算出Z轴的单位向nZ=(xZ,儿,J且八n0；由X轴分别垂直Z轴、Z轴计算出n=(xX,yXX,zX垂直X轴

6、、Z轴计算出n=(x,y,z)，且nYYYYY表示出点P(x,y,z)在坐标系O-XYZ的坐标。设点P(x,y,z)在坐标系OXYZ的坐标(x,y,z1x=(xx)x+(yy)yy=(xx)x+(yy)y10Y0Yz=(xx)x+(yy)y+(zz)zJ10Z0Z0Z将点P绕Z轴旋转角0在坐标系OXYZ中，设点P(x,y,z)绕Z轴旋转角0到点P(x,y2,z_)得x=xcos0一ysin0211y=xsin0+ycos00,Y1Z1YY且nn0，得出n=(1,0,0)，得出nY=(o-丁)表示出点p(x,y,z)在坐标系O-XYZ的坐标。111设点P(x,y,z)在空间直角坐标系O-XYZ的

7、坐标(x,y,z)，根据公式一11得x1=xxl+(y-2)x0+zx0=xZYyi=xx0+竿y-2)卑z-0)書y-耳z-近z=xx0+(y-2)+(z-0)=y+z-、：212222将点P(x,y,z)绕Z轴旋转角兀得到点P(x,y,z)。根据公式二11222厂x=xcos兀一ysin兀=一x2111y=xsin兀+ycos兀=一y211-Iz2=z1表示出点P(x,y,z)在坐标系O-XYZ的坐标。222由题知点P(x,y,z)在坐标系OXYZ的坐标(x,y,z)，根据公式一222=xx1+(y-2)x0+zx0=x=xx0+互(y2)一2(z0)=2y2z-迈22222z2=xx0+(y-2)+(z-0)=y+z一空2Z*x图三-首Y22222整理得fx二一xy=z+2z=y，-2又z二x2+y2，得方程y，-2二x，2+(z，+2)2,