一般形式的柯西不等式作业

1、重庆名校柯西不等式运用试题一、选择题.设 a, b, cR+,且 a+b + c=l,则g +的最大值是（） TOC o 1-5 h z A. 1B.小C. 3D.92 2.设a, b, c是正实数，且a+b + c=9,则；+;:的最小值为（）d U CA. 4B. 3C. 6D.2.设姓孙，“为实数，p=产耳三，Qj+和:+而则p与Q的大小 关系为（）A. PQB. P2QC. Pb0,则a+石一不的最小值为（）（2a b）bA. 1Be 3C. 8D.12.设 a, b, c, x, y, z 是正数，且 a2+b? + c2 = 10, x2+y2+r=4O, ax+by+cz=20,

2、）a+b+c=（ci3D4x+y+z.已知 a, b, cGR-,且 a + b+c=6,则/ +、2b不 1 +2c+3的最大值为. ABC的三边长为a, b, c,其外接圆半径为R 求证：（abc2）（募+磊+康|23612.已知 a, bR-且 a+b = l,则=孰+6丫）?与 QuaW+by2 的关系是（）A. PWQ B. PQ.若a, bR,且a2+b2=10,则ab的取值范围是（）A. 一25,2巾 B. -2小,2yW C. -yfw, D.（一木,木） TOC o 1-5 h z .已知x+y=l,那么2x?+3/的最小值是（）36D255625A6B5C36.函数y=/x

3、-5 + 246x的最大值是(D. 5A /By5C. 4.1.设xy0,则(xr+RG+r)的最小值为.y x.设实数x、y满足3/+歹忘6,则P = 2x+y的最大值为.函数侬=42-日+、2-1的破大值为.已知 a, bR+且 a+b = l,则 P=(ax+by)2与 Quaf+by2的关系是()A. PWQ B. PQ.若a, bGR,且a2+2=10,则ab的取值范围是()A. 2小，2f5 B.2 C.一恒， D.(一小，小).已知又+y=1,那么的最小值是()A 5n 6厂 25n 36A tB -C.Z7D -o5oo25.函数y=4x5 + R6x的最大值是()A 小By5

4、C. 3D. 5.设xy0,则(+%a+J)的最小值为.y 人17设实数x、y满足3/+2/W6,则P = 2x+y的最大值为.重庆名校柯西不等式运用试题答案一、选择题.设a, b, cER,且a+b + c=l,则g +的最大值是()A. 1B.y3C. 3D,9【解析】由柯西不等式得Kg)? + (Vb)2 +(Vc)2(l2 + I2 +加+加FM )+必)Y3X1 =3,当且仅当a = b = c = g时等号成立.Va +y/b +,的最大值为也.故选B.【答案】B.设a, b, c是正实数，且a+b+c=9,则:的最小值为（） a d cA. 4B. 3C. 6D.2【解析】V(a

5、 +b + c)修+ ： + ,n、，, qc/ /ai + a： + 人 ai +a- + , -ban .,.,.设 a，a2, an 为实数，P=A/-kQ=则 P 与 Q 的大小关系为()A. PQB. P2QC. Pa 2 一2 na典，P2Q. 【答案】B.若实数x+y+z=l,则FnzW+V+bz2的最小值为（）A. 1B. 6C. 11D11【解析】(2X2 +/+ 3力 + 1 + 324x右+ yl +-/3z = (x + y + z)2 = 1,当且仅当2x = y = 3z时，取等号.【答案】DA2X2 + y2 + 3Z2 2吉=* 即 F 2M14 9.已知x,

6、y, z均大于0,且x+y+z=L则q+.十1的最小值为（）入 y /A. 24【解析】1 4 9+-36.【答案】C入 y ，二、填空题6.已知 a, b, cR,且 2a+2b+c=8,则(a 1 + 侬+2)2 + (:3)2 的最小值是.解析由柯西不等式得：(4 + 4 + 1)X(a - 以 + (b + 2)2 + (c - 3)22(a - 1) + 2(b + 2)+ c-32,.*.9(a - I)2 + (b + 2f + (c- 3力2Qa + 2b + c - I)2.V2a + 2b + c = 8, /.(a - I)3 + (b + 2)2 + (c - 3)22

7、掌，(a-if + 8+ 2/+ (c-3)2的最小值是了.【答案】y.已知 a, b, cR, a+2b+3c=6,则 a?+4b?+9c2 的最小值为【解析】Va +2b + 3c = 6, .*.1 Xa + 1 X2b + 1 X3c = 6.(a2 +4b2 + 9cr)(l2 + 针 + F)2(a + 2b + 3c)2,即f +4b2 + 9/212.当且仅当上学，即a =2, b = 1, c =:时取等号.【答案】12.设 x, y, zR,若(x1)2 +(7+2)2+=4,则 3xy2z 的取值范围是 又3xy2z取最小值时，x的值为.解析 1 (x-l)2 + (y

8、+ r32 + (-1)2 +(-2)2(3x- 3 -y-2 - 2z)2,4 X14 (3x - y - 2z - 5)2, - 2a/14一通+1 i7,入7 tjl【答案】52,/14, 5+2,/14-+ i三、解答题9.已知正数x, y, z满足x+y+z=l.22(1)求证：吴； 7 y+2z z+2x x+2y 3(2)求4x+4y+4r的最小值.【解】证明：岛(y + 2z + z + 2x + x + 2y) 2 , / 6y + 2z +y + 2z v(2)由基本不等式,得由+ 4丫 +d2因为 x + y + z= 1,Z-2所以 x + y + 3 = l - z

9、+ z3故 4x + 4y + 4r 23、/? = 34, 当且仅当乂 = 丫 = ；, z =：时等号成立,所以4X + 4y + 4Z3的最小值为3啦.10.已知f(x) = aT + bx+c的所有系数均为正数，且a+b+c=l,求证：对于任何正数苞，x2, 当 XX2 = 1 时，必有 f(Xi) f(X2)21.【证明】由于*x) = ax3 + bx+c,且a, b, c大于0.f(Xi)f(X2)= (a + bxi + c)(a4+ bx2 + c)(VxrVx2 + c)2=(axiX2 + bjxix2 + c)2= f(l)2.又 f(l) = a+b + c,且 a+

10、b + c = l,能力提升41.若2ab0,则a +(2a-bb的最小值为()A. 138D.12【解析】V2ab0, .2a-b0,418.而而=眄i) + b +正3 /8河3/(2a -b) b -rrr = 3.2/ (2a - b) bQ当且仅当2a - b = b = -7r,即a = b = 2时等号成立,(2 a -d) d4当a = b = 2时，a+,2a-b)b有最小值二【答案】B.设 a, b, c, x, y, z 是正数，且 ai+b + JulO, x2+y2+r=4O, ax+by+cz=20,c4-【解析】由柯西不等式得，(a2 + b2 + c2)(r +

11、jr +r)(ax + by+ cz)2 = 400,当且仅当)= - x y5 =：时取等号，因此有六言=今【答案】c.已知 a, b, cER- 且 a + b+c=6,则+,2b312c47的最大值为.【解析】 由柯西不等式得：(回 +也b + 1 + 72c + 3f = (1 X / + 1 X 42b + 1 + 1 X2c + 3)2(12 + I2 + l2)(2a + 2b + 1 + 2c + 3) = 3(2 X6 + 4) = 48.当且仅当 = 72b + 1 = 72c + 3,即2a = 2b + 1 = 2c + 3时等号成立.8137 .又 a+b + c =

12、 6, a=?, b =(, c = j 时,/ + 42b + 1 + 2c + 3取得最大值4币.【答案】. ABC的三边长为a, b, c,其外接圆半径为R求证：(a2+b? + c2)(募+ 磊+法)236R)【证明】由三角形中的正弦定理，得sin A =所以siirA4R2-e 14R214R2同理而年=京，嬴记=于是由柯西不等式可得-222，4屋 4R2 4R、左边= (a-+b-c-“F + F + TjI2 = 36屋,原不等式得证.已知 a, bR十且 a+b = l,则 P=(ax+by)2M QuaW+by2 的关系是()A. PWQ B. PQ解析：设 m = C/ax

13、 m丫)，n = (/a, yjb),则|ax + by| = |m,n|W|m|n| = y/(yfaxf + (yjby)29y/(y/a f + (y/b f = + by7 a +b = y/af + b,(ax + byfWax? + by?即 PQ 答案：AC. -V10, y10 D.(一事,于)6.若a, bGR,且22+=10,则ab的取值范围是( ) A.一印，2y/5 B.一八河 2/6 解析：(a- + b-)12 + ( l)2(ab)-,Va2 + b2= 10, /.(a -b)2=20-2小Wa-bW2小.答案：A7.已知x+y=l,那么 夕+3丁的最小值是(5

14、A66B525C36)36D25解析：(父+ 3办(/)2 + (理)223(&x + Wy)2 =衽(x + y)f = 6,(当且仅当 x = , y =；时取等号)6-5 /3r+夕即答案：B.函数y=，x5 +卬6x的最大值是（）AB 邓C. 3D. 5解析：根据柯西不等式，知y = 1 X-yJx- 5 + 2X.6+ 2?一 5尸+ （:尸=木（当且仅当x =,时取等号）.答案：B.设xy0,则（W+jrAa+S的最小值为.解析：原式二团+力汉犬/尹力汉当且仅当到=建时取等号）答案：9.设实数仄y满足sV+ZyWG,则P = 2x+y的最大值为.解析：由柯西不等式得（Zx + y）

15、2W（G）2 + （py）2H（主）2 + ）2 =（3/ + 2，（3 + 26X =（当且仅当 取等号）.于是 2x + yW/rL答案：yfu.函数版=42/+比9- 1的最大值为.解析：设函数有意义时x满足，由柯西不等式得阚2 =严彳 + 后w（i + 2）（2 - / + f Y* /. Rx）W芈， j1111当Ji仅当2- = 即/ = 2时取等号.答案，芈.已知 a, bR+且 a+b = l,则 P=(ax+by与 Q = ax+by-的关系是()A. PWQ B. PQ解析：设 m = (Vax,加y), n = (/a, /b),则|ax + by| = |m-n|m|n

16、| = yj(/xF + (那= + b9 7a +b = ax2 + by.(ax + by/Wax2 + by2 即 P这Q答案：A.若a, bGR,且22+1?=10,则ab的取值范闱是()A.一邓,24 B, -2yfw9 2yy0 C.一回，回D.(一书，木)解析：(a2 + b2)|l2 + (-l)2(a-b)2,Va2 + b2=10, A(a-b)220. 二-25Wa-bW2小答案：A TOC o 1-5 h z .已知x+y=l,那么 攵+3寸的最小值是()562536A6B5C36D2530解析：(2r + 3/)(V3)2 + (2)2(Vx + Vy)2 = 6(x + y)2 = 6,(当且仅当 x = 0 则+Tj）-（jr+7?）的最小值为y x解析：原式=$ + ）2（1