初中数学课程标准解读终稿(王庆永)

1、初中数学课程标准解读梯门中学 王庆永2013年7月交流提纲史宁中教授解读新课标修订一、新课标（2011年版）的宏观研读修改课程标准的四基本原则第一个是充分地肯定成绩，也看到问题实质所在 ； 第二修改的基础是课程改革4年的实践和调查研究的结果 ； 第三修改应稳步进行，使得标准更加准确、规范、明了、全面 ； 第四增强可操作性，更适合于教材编写、教师教学、学习评价；课标修改的思路第一是关注过程和结果的关系。 第二是学生自主学习和教师讲授的关系。第三是既能培养学生良好的学习习惯，也能让学生掌握有效的学习方法。 第四是合情推理和演绎推理的关系。 第五是生活情境和知识系统性的关系。课标的作用1.标准提出的

2、课程理念和目标：对义务教育阶段的数学课程和教学具有指导作用。2.所规定的课程目标和内容标准：是义务教育阶段每个学生应当达到的基本要求.3.标准是教材编写、教学、评估和考试、命题的依据。 1.“数学定义”的修改 【课标】 （实验稿）数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。 【课标】（2011版）数学是研究数量关系和空间形式的科学。(一)“核心理念”的修改 2、“核心理念”的修改“三句话”变成“两句话” 课标（实验稿） 人人学有价值的数学， 人人都能获得必需的数学， 不同的人在数学上得到不同的发展. 【课标】（2011版） 人人都能获得良好的数学

3、教育； 不同的人在数学上得到不同的发展. 交流1：什么是良好的数学教育？解读一：什么是良好的数学教育？从以下八个方面理解，就是在数学活动中，能够探索数学的本质， 体验到数学的精神，进而学到数学知识， 学会数学的思维，掌握数学的方法， 逐步形成一定的数学能力，慢慢感悟和理解数学的思想，在不知不觉中提升数学素养解读二：不同的人在数学上得到不同的发展 新体系下的数学课程将在使所有学生获得共同的数学教育的同时，让更多的学生有机会接触、了解乃至钻研自己所感兴趣的数学问题，最大限度地满足每一个学生的需要，对有特殊数学才能和爱好的学生提供更多的发展机会。3、“基本理念”的表述有所变化【课标】 （实验稿）数学

4、课程数学数学学习数学教学评价信息技术【课标】（2011版） 数学课程课程内容教学活动学习评价信息技术变化：在结构上由原来的6条改为5条，将原标准第2条关于对数学的认识整合到理念之前的文字之中，新增了对课程内容的认识，此外，将“数学教学”与“数学学习”合并为数学“教学活动”。“课程内容”【课标】 （实验稿）学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，【课标】（2011版）课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索。课程内容的组织要处理好过程与结果，直观与抽象的关系，直接经验与间接经验的关系。比较：充分利用现实背景材料，发展学生的数学素养“教学活动”关于学习途径【课标】

5、 （实验稿）：主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。【课标】（2011版）学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。关于教师的主导作用【课标】 （实验稿）教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。【课标】（2011版）注重启发式和因材施教，处理好讲授与学生自主学习的关系，通过有效的措施，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生比较：发挥教师的主导作用并不排斥教师讲授知识“教学活动”“学习评价”【课标】 （实验

6、稿）要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度【课标】（2011版）要关注学生学习的结果，也要关注他们学习的过程；要关注学生数学学习的水平，也要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，比较：过程与结果、学习水平与情感态度两者同等重要“信息技术”【课标】 （实验稿）应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，【课标】（2011版）要注意信息技术与课程内容的整合，注

7、重实效。改进教与学的方式，比较：既要开发运用，又要考虑教学内容的需要，以及培养目标的实现.总体目标总体表述知识技能数学思考问题解决情感态度学段目标第一学段第二学段第三学段（二）“课程目标”的修改 1.在总体目标中突出了“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向。数学课程目标的新变化？基础知识基本技能“双基”基础知识基本技能基本思想基本活动经验“四基”2、明确提出“四基”3、明确提出“四能”分析问题解决问题 “双能”发现问题提出问题分析问题解决问题 “四能”4.突出强调了（1）加强数学联系，提出“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系”（2）对于情感态度的培养，进

8、一步明确“了解数学的价值,提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯”（3）针对学科精神的培养，明确提出“具有初步的创新意识和科学态度” (三)“设计思路”的修改1.四个学习领域部分名称的修改，并对四个方面的内容做了明确的阐述.2.明确提出“十个核心概念”的修改（6个）几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。什么是几何直观? 图形可以帮助我们刻画描述数学问题，图形可以帮助我们找到解决数学问题的思路，图形能帮助我们理解和记忆

9、我们所得到的数学结果 。 希尔伯特 交流2：如何培养几何直观？在教学中使学生逐步养成画图习惯。重视变换让图形动起来 。学会从“数”与“形”两个角度认识数学。掌握、运用一些基本图形解决问题。如何培养几何直观？例：求底角为15度，腰长为2的等腰三角形的面积？精确作图重视变换让图形动起来学会从“数”与“形”两个角度认识数学数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。 华罗庚： 数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。例如，若每两人握一次手，则3个人共握几次手

10、，4个人共握几次手， n个人共握几次手？ 用归纳的方法探索规律，如下表: 人数 握手次数 规律 2 1 1 3 3 1+2 4 6 1+2+3 n 1+2+3+(n-1)即使是很抽象的数学也可以通过图形直观变得简单,如：对3长的线段三等分，取一份；对取出的1长线段三等分，取一份；对取出的长线段三等分，取一份；如此类推，中间取出的线段越来越小，无限接近于0 当中间的线段趋向于0时，两边的线段之和都趋向于 这个例子的特点：特点：能同时演示两个无穷过程，其一是通项趋向于0：其二是部分和趋向于特点：将无穷的过程始终置于我们视野之内的有限图形之中，看得清楚，听得明白，直观、浅显。基本图形泰安市中考应用举

11、例例1：（2012泰安）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EFAE，EF分别交AC，CD于点M，F，BGAC，垂足为C，BG交AE于点H（1）求证：ABEECF；-“K型”（2）找出与ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长ABhECM -“K型”、“A型”例2：（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF（1）证明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，EFD=BCD，并说明理由ABFADFBCFDCF

12、翻折型对数学建模的认识 所谓数学模型，就是根据特定的研究目的和问题，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的 一种数学结构。 在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。 标准中模型思想的含义及要求模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。 使学生体会和理解数学与外部世界的联系是这一核心概念的本质要求

13、初中常见数学模型1.“方程（组）”模型它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组）”模型，通过列方程（组）加以解决.2.“不等式（组）”模型现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。3.“函数”模型 函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸如最大获利、用料价造、

14、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。4.几何”模型 几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实际问题转化为几何问题加以解决5.“统计”模型 统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用。诸如公司招聘、人口统计、各类投标选举等问题，常要将实际问题转化为“统计”模型，利用有关统计知识加以解决。6.概率”模型概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛，诸如游戏公平问题、彩票中奖问题、预测球队胜负等问题，常可建立概率模型求解。同一模型的多重情境看图说故事511152由模型想情

15、境说明 通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满 足模型的实际情境，以加深对函数模型的理解。 学生可以设计多种情境，比如，把这个图看成“小王跑步的s-t图”，可以说出下面的故事：小王以常速度400米/分，跑了5分钟，在原地休息了6分钟，然后以常速度500米/分，跑回出发地。再比如：有一个容积为2升的开口空瓶子，小王以常速度0.4升/秒，向这个瓶子注水，灌了5秒后停水，等6秒后，然后以常速度0.5升/秒，倒空瓶中水。老师可以鼓励学生，创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。在同一情境中的多种模型例 “糖水加糖（m）变甜了”（糖水未饱和） 请以这一生活常识为背景提炼数学 模型，然后给出严格的数学证

16、明。 可得到1：若 ，则 . 将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后一样甜，浓度还相同由这一情境可得2：等比定理： 将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡，于是有3：“中间不等式”： 对 ， ，有 取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合 在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大呢？ 4：这时需比较 与 的大小， 而这两者的关系是不确定的 1.删减的主要内容(1)有效数字.(2)一元一次不等式组的应用. (3)利用一次函数的图象,求方程组的近似解. (4)梯形、等腰梯形的相关内容. (5)视点、视角、盲区.(6)计算圆锥的侧面积和全面积.47(四)“课程

17、内容”的修改 2.适当增加的内容(1)会用根号表示算术平方根.(2)了解最简二次根式的概念. (3)能解简单的三元一次方程组. (4)能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等. (5)了解一元二次方程的根与系数的关系 (韦达定理). (6)体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系. (7)知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数. (8)了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系. (9)会利用基本作图完成:作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和正六边形. (10)为适当加强推理,增加了下列定理的证明:相似三角形的判定定理和性质定理,垂径定理,圆周角定理、切

18、线长定理等.但是,不要求运用这些定理证明其它命题.48 *能解简单的三元一次方程组 *知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数 *了解一元二次方程的根与系数的关系 *了解平行线性质定理的证明 *探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧 *探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等49 3、选学内容（标注“*” ）主要有4.要求上有变化的内容会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算理解整式的概念，掌握合并同类项和去

19、括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）掌握等式的基本性质。能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系。会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单实际问题。会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。 六条基本事实一条

20、直线截两条平行直线所得的同位角相等两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行若两个三角形两边及其夹角（两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等的全等全等三角形的对应边、对应角分别相等 九条基本事实两点确定一条直线。两点之间线段最短。过一点有且只有一条直线与这条直线垂直两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行两边及其夹角分别相等的两个三角形全等两角及其夹边分别相等的两个三角形全等三边分别相等的两个三角形全等两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对

21、顶角相等 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质 了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法（不要求证明） 在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。 灵活运用不同的方式确定物体的位置 在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置 能在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化坐标与图形运动：在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系。 通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到

22、不同的结果 体会抽样的必要性，通过案例了解简单随机抽样 在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述 探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差，并会用它们表示数据的离散程度 体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差 (1)数学基础教育中的“双基”是指：数学的基本概念、基本公式、基本运算、基本性质、基本法则、基本定理、基本作图、基本推理、基本语言、基本方法、基本操作、基本技巧，等等。 (2)“双基”为什么要发展为“四基”？ 一是与三维目标“知识与技能、过程与方

23、法”和“情感态度与价值观”的要求； 二是仅有“双基”教学常常是“以本为本”，“以人为本”的教育理念凸显不够； 三是仅有“双基”难以培养创新性人才。53二、数学基础教育中“四基”的实践研究（微观研读）（一）数学基础教育中的“双基”。 (二)数学的基本思想与方法（1）数学思想 （2）数学方法：在用数学思想解决具体问题时，对某一类问题反复推敲，会逐渐形成某一类程序化的操作，就构成了“数学方法”。数学方法也是具有层次的。55 （3）数学思想与数学方法的区别 56区别联系数学思想 “数学思想”往往是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的.数学思想常常通过数学方法去体现；数学方法又常常反映

24、了某种数学思想.数学方法 而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的. 数学思想是数学教学的核心和精髓，教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想，让学生体会和领悟数学思想，提高学生的数学素养。（4）教学中如何渗透数学思想方法 例1 小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家后的时间与距离之间的关系？哪一个图形是表示母亲的行走过程？58数形结合的思想 典型例题中蕴含的数学思想函数的思想 例2 : 某书定价8元。如果一次购买10本以上，超过10

25、本部分打8折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。 说明 这是一个分段函数，函数的三种表示法均适用于这个例子。一般来说，列表法适用于变量取值是离散的情况；分段函数应当画图，并且关注分段点处函数的变化情况。可以分组讨论三种方法，然后让学生分析比较。59数学推理的思想 例3： 探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等 说明 通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。 教学中可以参考安排如下的过程： （1）发现结论。在透明纸上画出如图，设PA ，PB 是O的两条切线，A，B是切点。让学生操作：沿直线OP将图形对折，启发学生思考，或者PA = PB ， APO

26、= BPO 。 这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。 组织学生交流。学生可以发现：60（2）证明结论的正确性。如图19 - 2，连接OA和OB。因为PA和PB是O的切线，则 PAO = PBO =90 ，即POA 和POB均为直角三角形。又因为OA =OB和OP =OP ，则POA 与 POB 全等。于是有 PA = PB ， APO = BPO 。 这是通过演绎推理证明图形性质的过程。 由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。 上述证明过程没有采用形式化的三段论，但有利于初学者把握证明的条理和说理

27、的逻辑。61典型课例中渗透数学思想对称的思想符号表示的方法数学推理的思想62课例1.垂 直（七年级下册8.5）对称的思想示范：两条直线相交，交角逐渐变大的过程。两条直线相交，交角变大为90时，出现对称的情况，并且4个角都是90。这时称为两条直线垂直。两条直线垂直，一定是“互相”垂直。63符号表示的方法记为 AB CD ; 或者 a b形象，简洁符号 的读法回忆“角的表示”中的符号 采用适当的符号来表述，在数学中是常见的。64数学推理的思想在实践上，一定要知道相交的4个角都是直角，才能判断“两条直线垂直”吗？那么，从相交的4个角中有一个是直角，如何推出其他三个角也是直角？对顶角相等；平角减直角

28、= 直角数学中的结论，不能仅仅是“看出来的”，必须是“证出来的”，这是数学的游戏规则。65课例2.二元一次方程组的图像解法（八年级10.4一次函数与二元一次方程）有限与无限的思想、数形结合的思想、一一对应的思想、方程的思想 、函数思想66有限与无限的思想你会解二元一次方程 x + y =5 吗？列表，给出“解集合”（由许多“有序数对”组成）这种“不定方程”一般都有无穷多解。 67x10110100y654-5-95数形结合的思想你能在直角坐标系中标出以上述方程的解为坐标的点吗？这些点的集合构成什么图形？联系已经学过的一次函数的图像，是直线。数形结合，我们可以把求出该直线称为上述方程的图像解法。

29、数形结合，我们能否想象出二元一次方程组的图像解法？两条直线交点的坐标是该方程组的解。（形数）68一一对应的思想二元一次方程的解对应着一条直线有一个二元一次方程，就有一条直线不同的二元一次方程，就有不同的直线这就是说，二元一次方程与直线一一对应。69解方程的思想凡是讨论解方程的内容，都需要讨论以下三点： 该方程有没有解？ 如果有解，有多少解？ 解的表示形式如何？每次课上遇到解方程的内容，都重复说这三句话，潜移默化地，学生对于“解方程”的素养，就慢慢培养出来了。今天讨论的二元一次方程组， 无解、有唯一解、有无穷多解的情况，在图像上的反映如何？70 教材各章中凸显的数学思想 （青岛版版八年级教材20

30、12年版）。 教材利用“云图”，广角镜加油站“等栏目，突出数学思想与方法，并在各章小结“要点”中进一步强化。第3章“分式”突出“联想类比，转换化归的思想”（见八年级上册91页“广角镜”，突出“类比”的思想，106页“加油站”体现了数学模型思想，103页“云图”体现了“化归”的思想）； (三)数学的基本活动经验可以按不同的标准分成若干类型。比如，有的学者把它分为如下四种： 直接的活动经验，间接的活动经验，设计的活动经验和思考的活动经验。 1）直接的活动经验是与学生日常生活直接联系的数学活动中所获得的经验，如购买物品、校园设计等。 2）间接的活动经验是学生在教师创设的情景、构建的模型中所获得的数学

31、经验，如鸡兔同笼、顺水行舟等。 3）设计的活动经验是学生从教师特意设计的数学活动中所获得的经验，如随机摸球、地面拼图等。 4）思考的活动经验是通过分析、归纳等思考获得的数学经验，如预测结果、探究成因等。72基本数学活动经验基础知识基本技能基本思想“四基”是一个有机的整体基础知识、基本技能、基本思想方法形成三维“数学基础模块”：第一维度：基础知识的积累过程；第二维度：基本技能的演练过程；第三维度：基本思想方法的形成过程。在以上过程中获得基本活动经验。 掌握基础知识、训练基本技能当然重要，但这还不够，还要领悟基本思想，还要积累基本活动经验。 “四基”的核心在基本思想，基础在基本活动经验，都根植于活

32、动的开展，判断活动质量的标准是看活动中思维的参与程度。 “四基”是客观性知识与主观性体验的结合，是结果性知识与过程性活动的结合。案例：“一元一次方程”的教学“四基”呈现顺序：基础知识的掌握 ，练习获得基本技能 ， 通过反思获得基本思想方法.在整个学习过程中，收获基本数学经验.基础知识：一元一次方程的概念基本技能：解一元一次方程基本思想方法：化归方法；未知到已知的转换；变化中的“不变”思想（同解）；方程解法与算术解法的区别.基本活动经验（提升到方程是一种关系）：方程是为了求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种关系.解方程就是通过关系找出未知数.这样一来，如何寻求未知数（解方程）的数学活动经验，就自然地获得了.三、初中数学教材整体研读（青岛版）年级章名旧版新版七上1章：基本几何图形2章：有理数3章：有理数的运算4章：数据的收集与简单统计图5章：代数式与函数的初步认识6章：整式的加减7章：数值估计8章：一元一次方程1章：基本几何图形2章：有理数3章：有理数的运算4章：数据的收集、整理与描述5章：代数式与函数的初步认识6章：整式的加减7章：一元一次方程七下9章：角10章：平行线11章：图形与坐标12章：二元一次方程组13章：走进概率14章：整式的乘法15章：平面图形的认识8章：角9章：平行线10章一次方程组11章：整