物理大物雷雨

1、波动基础( 第八章 )目录机械波的基本特征描述波的物理量平面简谐波的波方程波动方程波的能量原理 6 7 波的驻波8543211 121 2 zyBEx (v)1.2 1.1 S1 机械波的基本特征1，波阵面波是振动的可以认为，波是相位的。把相位相同的点组成的曲面称为波阵面 ( 波面 )。:显然，波的最前面的那个曲面是一个特殊的波阵面。称为波前。波阵面为平面的波称为平面波。波面为球面的称为球面波。1.3 波阵面（波面）与波线1 2S2 描述波的物理量1，波幅：介质振动的振幅即为波的波幅。2，波长（）在某一波线上相位差为 2 的两点的距离为波长。或者说，波长等于某波线上相邻同步调振动的质点间的距离

2、。3，波的周期( T )对任意截面，通过一个波长所需的时间为波的周期4，波的频率( f )时间内通过波长的个数称为波的频率S2 描述波的物理量显然有关系1T =f波的周期和频率等于振源的振动周期和频率:5，波速任一波面速度称为波速。由于波面代表相位，所以波速指的是相位的一般称为相速。显然有关系速度，u =TS3 平面简谐波的波方程振源的振动为简谐振动，且只向一个方向波称为平面简谐波。，这种可以证明，无衰减的平面简谐波的波幅与位置无关。I，设波源在原点，先写出波源的振动方程yO = A cos(t + 0)II，再写出 x 处质点的振动方程x u振幅 = A,角频率 = ,(相位 = 0 x )

3、y(x) = A cos t + 0 u3.2 平面简谐波的波方程3.1 平面简谐波S3 平面简谐波的波方程改写成y = A cos u + 0(tx )该方程的物量含义? 对于一固定的质点 x，它是 x 处的质点的位置与时间的关系。或者说是 x 处的质点的振动方程。? 对于一固定的时间 t，它反映了该时刻每一个质点的位置。即是该时刻的波形曲线。? 如果 x 和 t 都在变化，则它反映了一个行进中的波。S3 平面简谐波的波方程称, t) = A cos u + 0(tx )y(x为平面简谐波的波方程。III，同理可证，如果波是沿 x 负向分析可知，只要将 x 前的负号变成正号即可，则用相同的,

4、 t) = A cos + 0(tx )y(xuIV，更一般地，如果振源没有在原点，而位于 l 处，则无衰减平面简谐波的波方程可写为：, t) = A cos (tx l )y(x+ 0uS3 平面简谐波的波方程结论：波源位于 l 处的无衰减平面简谐波的波方程可写为：其中，A：振源的振幅 ：振源的角频率 0：振源的初相u：速率l：波源的位置向 x，取“”;向 x 轴负，取“+” ()y(x, t) = A cos t x l + 0u例1 一横波在弦上，其方程是y = 0.02 cos (5x 200t) (SI)试求波的波幅、波长、频率、周期和波速解：对比标准的波方程, t) = A cos

5、 (tx l )y(x+ 0u得A = 0.02 = 200u= 5例2 一波源作简谐振动，振动的振幅 0.1m，周期为0.01s，经平衡位置向 y 正方向运动时为计时起点。设波速为 400m/s, 沿 x向,且没有衰减。（1）求波方程。（2）距波源 16m 处和 20m 处的质点的振动方相差。解：先写出振源的振动方程22A = 0.1m, = 200,0 = )T(2yO = 0.1 cos 200t 再写出波方程200 (SI)(t x )y = 0 1 cos 400 2. y = A cos + 0 (SI) = tx1 1u y = A cos + 0 (SI) = tx2 2u x

6、1 x2 1 2 = t + 0 t + 0uu x2 u x1=2 x2 x1=1 2 = 2 (x2 x1)例3 已知一平面简谐在 t1 时刻波形曲线x，波速为 c 。向。求波方程ycA解： 原点的振动方程()ccy= A cost tO1xb2b波方程y = A cosbc(xc)t t1bc2b例4 左图为 0 时刻的波形，右图为质点 P 的振动曲线，求波方程y(m)y(m)0.5x(m)t(s)P10.1P 的振动方程波方程(10t + )2 +2(tx 1 )y = 0 5 cosy = 0 5 cos10. +P10例5 一平面简谐x向， t = 0 刻的波形如图虚线所示， t

7、= 1 时波形如图程。实线所示。求波方y(m)2解：原点的振动方程 (1 + 4k)2 cost +2y=x(m)O2k = 0, 1, 2, 12波方程2 (1 + 4k) (2 cost x )y =+21 + 4k2例6 沿 x向的简谐波，在某一波线上分别有两点 x1，x2 的振动图象如图所示。已知：x2 x1 且x2 x1 （ 为波长），求 x2 x1y解：两点的振动相差t3(x1) =2求得两点的距离 x|=2 3 4x(x2)=S4 波动方程将平面简谐波方程对坐标求二次偏导，得2yx22(x l )= A u2 cos t + 0u将平面简谐波方程对时间求二次偏导，得2yt2(x

8、l )2= A cos t + 0u对比以上两式，得波动方程可以证明，上面方程的解即为沿 x 轴的波。2y1 2yx2 = u2 t24.1 波动方程S4 波动方程简单证明波动方程2yx22y1=u2 t2的通解为y(x, t) = f (x ut) + (x + ut)第一项 f (x ut) 描写了沿 x向以 u的波。的波。第二项 (x + ut) 描写了沿 x 轴负向以 u一般地，只要任意物理量满足上述波动方程，它一定:能在空间中以波的形式传播。且 u 即为波速:例1 证明绳上的横向并求波速动能沿绳以波的形式，ym = xFx = F1 cos 1 + F2 cos 2 = 0Fy =

9、F1 sin 1 + F2 sin 2 = my2F2动 1 0,2 01xxFx = F1+F2 = 0 = F1 = F2 = TT tan 1 + T tan 2 = myF1x()d tan d2 yd2 y d2 yTx = my = T dx2 x = my = dx2 =dxT dt22yx2 2y=T t22yx22y1=u2 t2 Tu =T 例2证明电场或磁场能以波的形式，并求波速真空中的电磁场规律(1864)证明 E00= Bt E= B= 00 E B=t将第四式两边对时间求偏导2 Et2 Bt = 00利用第二式2() E E = 00t2 2 E = E + ( E

10、) 2 E = E 2 Et22 E = 00 1 2.99792 108 m/su =00S5 波的能量1，动能在介质中取微小体积 dV，得动能211(x )22 2E = 2 mv = 2 A sin t u + 0 dVk2，势能可以证明，势能与动能相等:21(x )2 2V = 2 A sin t u + 0 dV3，总能2(x )2 2E = A sin t u + 0 dV5.1 波的能量S5 波的能量4，能量密度dE2(x )2 2w = A sin t u + 0dV平均能量密度1 A22w =2定义定义波的能流密度就是时内通过垂直于波的方向上面积的能量S = wuS = wu

11、5.2 波的能流密度1 t 1 2 12S1t1 = S2t2 w1u11 = w2u22u1 1 A22u11 = 1 2 A22u2221 12A1 = A22 2例2 求一点波源在均匀收介质的波方程。设在离波源 R0 处的质点的振幅为 A0解： 取两个以波源为中心的球面，t 内从 1 传进的平均能量等于从 2 传出的平均能量。S1t1 = S2t21 1 A221u1 = 1 2 A222u221 122 2即4r2 A2 = 4r2 A21 12 2令 r1 = r,r2 = R0R0 A0A =r得波方程R0(r )y =A0 cos t u + 0rS6原理原理过波在?，波阵面上的

12、每一个点都可以看成一个点波源点波源都要发射新的波（称为子波）所有子波的包迹就是下一个时刻的波阵面6.1 原理 6DBBiACACD ACD CABCDA = ACB = |BC|/| AC| sin in =sin | A D|/| AC|= |BC|/ | A D|u un =6.2 为波的。能够的几列波称为相干波。7.1 波的条件相干波条件：频率相同、振动方向相同、相差恒定:7.3的强弱位置1，波的独立原理空间中一列波的与有无其它波无关。2，的强弱位置S7 波的7.1 波的几列波在同一空间相遇，形成有的地方介质振动始终很强，有的地方介质振动始终很弱（稳定的强弱分布），称S7 波的Pr1y1

13、 = A1 cos(t + 01)y2 = A2 cos(t + 02)S1(= A cos t + r)1yr2P1101ur(= A cos t + )2yP2202uS2由同方向同频率的简谐振动可知AP =A2 + A2 + 2 A1 A2 cos 01 02 + u (r2 r1)12S7 波的由此得强弱条件2k强( A = | A1 + A2|) +(r r ) =010221 2(k + 1) 弱( A = | A A |)u12特别是，当两波源同相时，有2k强( A = | A1 + A2|) (r r ) =21 2(k + 1) 弱( A = | A A |)u12或式中，k

14、 为所有整数。r r k强( A = | A1 + A2|)21 = (k + 1 ) 弱( A = | A A |)212例1 如图为声音仪。S 为声源， D 为人耳，B 可以上下滑动。现当 B 在某一位置时，听到的声音为最小值，强度100；往下移动 1.65 cm 时声音逐渐增强为最大，强度 900o求1）声源频率，2）抵达人耳的两波的相对振幅（设声速 330 m/s。）解：由题意，有1rB rA = (k +)A2rB + 2h rA = (k + 1)于是得SD1 2h = = 4h2Bu u f = 5000 Hz4h又因波的强度与振动幅平方成正比，所以最大强度与最小强度之比为| A

15、1 + A2|2Imax900100=I| A1 A2|2min求得两列波的波幅之比A1= 2 : 1A2S8 驻波定义两列振幅相同，方向相反的相干波的叠加为驻波y = A cos ux )(t1y = A cos +x )(t2uy = y1 + y2x )x )u(= A cos t u+ A cos t +8.2 驻波的特点8.1 驻波定义S8驻波y = 2 A cos x cos tu()y = 2 A cos 2x cos t或1，驻波中有的点振动始终很强（波腹），例如 , 2 , 0, 2 有的点振动始终很弱（波节），例如3 , 4 , 4 , 42，相邻两波节（腹）的距离称驻波的

16、波长行驻 =2S8 驻波相邻两波节之间的质点振动同相；任一节点两边的质点振动反相波节附近动能为零，势能最大；波腹附近势能为零，动能最大或：势能与动能在一波腹内互相转换（驻波没有能量的传递）半波损失一般地，反射波的写法为?写出入射波在反射点引起的振动?以反射点为波源，写出它激起的波，即为反射波。可以证明，由上面方法写出的反射波与入射波的合成必然引起反射点为波腹345S8 驻波如果反射点固定，必为波节，这时写反射波时要在上:面的基础上附加 的相位。:这种反射波的相位突变，称为半波损失。波从波疏媒质到波密媒质表面反射时有半波损失:例1 如图，设原点的振动振幅 A，角频率 ，从平衡位置向 y 轴负向运动时开始计时。 M 是波密媒质反射面，OP = 7 ， PM =，求入射波和反射波的波方4程；P 点的振动方程。4解：原点的振动方程yyO = A cos(t + 2 )得入射波方程xOMP= A cos u + 2(tx )y入可以改写成= A cos t 22xy+入反射波的写法(I)入射波在反射点 M 点引起的振动2x2My入M=