离散型随机变量及其概率分布-高考理科数学章节练习题-逐题详解

1、课时作业;卜知能提升1.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3个抢答题，比赛规定：对于每一个 题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误 的扣1分（即得一1分）；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分 （分数高者胜），求 X的所有可能取值.解析：X=1,甲抢到一题但答错了.X=0,甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错.X=1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且1错2对.X = 2时，甲抢到2题均答对.X=3时，甲抢到3题均答对.所以X的可能取值为：一1,0,1,2,3.一个袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不 再放回去，直到取得白球为止，求取

2、球次数的概率分布.解析：设取球次数为己，则己的可能取值为1,2,3,4,5,1 TOC o 1-5 h z 1a4 1P（土1户AT5, P（Q2）=A2= 5， a4 1a4 1P（土3）=晨=5, 4）=晨=5,C, A a41P（土 5）=A5= 5，随机变量己的概率分布为:12345若离散型随机变量X的概率分布为X01P9c2 c3-8c试求出常数c,并写出X的概率分布.一 2c=Q 或 Q,3 3(9c -c什(3-8c尸 1, 解析：由题意9c2 O0,3-80 0.1解之得c=e，从而X的概率分布为:3X01P2313.某校组织一次冬令营活动，有8名同学

3、参加，其中有5名男同学，3名女同学， 为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记 其中有X名男同学.求X的概率分布；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.解析：(1)X的可能取值为0,1,2,3.cmcn m根据公式P(X=m)= CN M算出其相应的概率，即X的概率分布为CNX0123P11515556562828(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为15 15 45P(X=1)+P(X = 2)=袤+不=忘. 56 28 56.设S是不等式x2-x-600的解集，整数m, nS.(1)记“使得m+n=0成立的有序数组(m, n)”为事件A,试列举A包含的基

4、本 事件；(2)设上 m2,求己的概率分布及其数学期望E E.解析：(1)由 x2x 6 0,得一20 x&3,即 S= x|-2x 3.由于m, nCZ, m, nCS且m+n=0,所以A包含的基本事件为(一2,2), (2, 2), (-1,1), (1, -1), (0,0).由于m的所有不同取值为一2, 1,0,1,2,3,所以 个m2的所有不同取值为0,1,4,9,一，12 12 11且有 p(e= 0)=6，P( D=6=3，P(4)=6=3 P(2= 9)=6.故己的概率分布为0149P11116336所以 ee= 0 x|+i x3+4x3+9x6=69.6.某迷宫有三个通道，

5、进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷 宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智 能门时，系统会随机打开一个你未至IJ过.的通道，直至走出迷宫为止.令 己表示走 出迷宫所需的时间.(1)求己的概率分布；(2)求己的数学期望.解析：(1)己的所有可能取值为1,3,4,6. TOC o 1-5 h z c、 1 八 1 八、1p( 1)=3，p(3)=6, p(土4)=6，p(k6)=3,所以己的概率分布为1346P13161613 TOC o 1-5 h z 11117(2)E(9=

6、1 *3+3*6+4*6+6乂3=2(小时)7. 一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出12个球，得到黑球的概率是2；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率 5是7.若袋中共有10个球；求白球的个数；从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为 X,求随机变量X的概率分布.(2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于10.并指出袋中哪种颜色的球的个数最少.解析：(1)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A,设袋中 白球的个数为X,则C10 x 7_p(a)= i CT = 9,行到 X=5.故白球有5个.随机变量X的取值为0,1,23

7、其中P(X=0)=悬=卷，P(X=1)=-1-2C5c55C10-2-1C5C512,P(X=2)=E7=上，-、c5P(X=3)=C30=方.X的概率分布是(2)证明：设袋中有X0123p155_112121212个球，其中y个黑球,由题意得 y= 2n,所以 2yn,2y&n-1,故一yw：. 5n 1 2记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则P(B) = 5+1xS3,5 27_10.所以白球的个数比黑球多，白球个数多于 |n,红球的个数少于5.故袋中红球个数 最少.8.在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3,4的四个小球.现从这个盒子中，有放 回地先后摸出两个小球，它们

8、的标号分别为x、y,记X=|xy|.(1)求随机变量X的概率分布；(2)求随机变量X的数学期望；(3)设“函数f(x) = nx2 Xx 1(xC N+)在区间(2,3)上有且只有一个零点”为事件A,求事件A发生的概率.解析：(1)X的所有取值为0,1,2,3,x = 2,S=2,x二3,3,x=4、四种情况.y=4X=1 时,有x=1,Z=2,x = 2, 1=1,x=2,尸3,3, 1=2,x= 3,尸4,x= 4,六种情况.y=3X = 2 时,有x=N=1,3,x = 3, y=1,x= 2,y= 4,x=4, 四种情况.y=2X=3 时,有x= 1,7=4,x = 4,I两种情况.6 3-z=:16 841.P(X=0)=词=1, P(X= 1)=4121p-2)=而=1, p(X=3)=n=8.则随机变量X的概率分布为:X0123p13114848(2)数学期望 E(X) = 0 x4+1x8 + 2x4+3x8 = 5.函数f(x) = nx2 Xx1在(2,3)有且只有一个零点, TOC o 1-5 h z 1当f(2)=0时，X=2n ，舍去.1,.当f(3) = 0时，X=3n1,舍去.3当 f(2)f(3) = (4