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1、现代控制理论第十三讲1主要内容:1、李雅普诺夫第二法（直接法） 二次型标量函数 希尔维斯特判据 稳定性判根据243 李雅普诺夫第二法（直接法）3方法：不求解系统的状态方程，通过一个系统的能量函数来直接判断系统的稳定性。一、标量函数及其符号 设V(x)是定义在n维空间Rn上的标量函数，且当X=0时，V(x)=0，而对其余XRn，如果：V(x)0，则称V(x)是正定的。 V(x)0，则称V(x)是半正定的（非负定）。 V(x)1时， 0,单位圆外是不稳定的；当 |x1|1， 是负定的，在这个范围内系统平衡点是渐近稳定的。取17五、对李雅普诺夫函数的讨论（1） 是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函

2、数，且对 应具有连续的一阶偏导数。 （2）对于一个给定系统，如果 是可找到的，那么通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。 （3） 的最简单形式是二次型函数。但 并不一定都是简单的二次型。 （4）如果 为二次型，且可表示为 则： 在几何上表示状态空间中以原点为中心，以 为半径的超球面， 就表示从原点至 点的距离 。 便表征了系统相对原点运动的速度。 18若这个距离随着时间的推移而减小，即 ， 必将收敛于原点，则原点是渐近稳定的。 若这个距离随着时间的推移而非增，即 ，则原点是稳定的。 若这个距离随着时间的推移而非增，即 ，则原点是稳定的。 （5） 函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的稳定情况。但丝毫不能提供域外运动的任何信息。 （6）由于构造 函数需要较多的技巧，因此李雅普诺夫第二法主要用于确定那些使用别的方法无效或难以判别其稳定性的问题。例如高阶非线性系统或时变系统 19 作 业 P166 41 42 43 202、李雅普诺夫在线性系统中的应用 线性定常连续系统渐近稳定性判根据 线性时变连续系统渐近稳定性判

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