选修3课程的作用和定位

1、.：.；第四章 选修3课程的作用和定位第一节 选修3系列课程的作用对于系列3课程的定位和作用，“规范中已讲得很清楚： “系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置的，所涉的内容都是数学的根底性内容，反映了某些重要的数学思想。有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是经过典型实例引见数学的一些运用方法。这些专题的学习有利于学生的终身开展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、运用价值、文化价值的认识，有助于学生进一步打好数学根底，提高应意图识。“专题力求深化浅出、通俗易懂，进一步提高学生发现和提出问题的才干，分析和处理问题的才干，让学生掌握和领会一些重

2、要的概念、结论和思想方法，领会数学的作用，开展应意图识。“系列3所涉及的内容都是根底性的数学内容，不仅应鼓励那些希望在理工、经济等方面开展的学生积极选修，同时也应鼓励那些希望在人文、社会科学方面开展的学生选修这些课程。另外，对系列3课程建立、教学方式、评价方式等，都给出了详细的阐明，这里就不一一反复了。在系列3教学中应该留意的几个问题：系列3是根底。系列3不是学习大学数学的预备课程，也不是为未来预备进入数学系学习的学生做预备。 在系列3的教学中，应该把重点放在引见根本的数学思想。 在系列3的教学中，要不断地开发资源，把难的东西变容易，用详细来反映普通，用直观来反映笼统。系列3课程是不进入高考的

3、课程，但是学习这部分课程对于提高数学素养、培育学生处理问题的才干和激发学生学习数学的兴趣是非常有用的。各个学校可以按照各自的情况有选择性地逐渐开设这些专题。下面我们按专题引见：背景，知识构造和内容定位，重、难点定位，教学要求，参考文献等。第二节 选修3各专题的定位和教学要求2.1数学史选讲一、背景每一个学生从小学起，直到大学中的理工农医等学科，乃至不少专业的研讨生阶段，都要学习数学，近年来有一种新的趋势，就是人文社会科学的学生也需求继续学习数学，为什么我们的学生要学那么长时间的数学？数学为什么这么重要？这是由数学本身的特点、作用、意义所决议的。例如，学习数学有利于培育我们的思想才干，如：推实际

4、证的才干、空间想象才干、计算才干、笼统归纳才干、数据处置才干、以及发现问题、提出问题、分析问题、处理问题的才干等等；此外，还会有利于提高我们处理日常生活中遇到的各种实践问题，等等。开设本专题还有一个非常重要的目的，就是希望能从数学开展的历史来认识数学。每一门学科都有本人的历史，对于数学来说，更是源远流长，她与人类的文明共同开展，本专题的学习将协助 学生从历史的角度，了解数学在人类开展史上所起的不可估量的意义，了解数学文化在人类文化中的位置，了解数学与其他学科的历史渊源和联络，了解数学在人们日常生活中的作用，了解数学开展中艰苦的事件，了解为数学开展呕心沥血的出色人物，等等。我们希望经过开设数学史

5、选讲开辟学生的视野，提高学生对数学的价值、意义、作用的认识，激发学生学习数学的兴趣和动力。这对于未来在各行各业任务的学生来说，都会起到积极的作用。学习数学史选讲这门课程，不仅可以开辟本人的视野，提高学习数学的兴趣，而且它将会对日常的数学学习起到积极的作用，对于一些重要的数学概念，经过数学史的学习加深对它们的认识和了解。数学史选讲是不进入高考的，我们希望教师和学生不要以过分“功利的目光来对待这件事情，应该值得思索的地方是，一旦提高了学生学习数学的兴趣，加强了学习数学的动力，了解了学习数学的作用，那么他们的潜在能量是不可估量的。二、知识构造和内容定位1知识构造框图在“数学史选讲中，选取了数学开展史

6、上重要的并且和高中数学教学严密联络的内容，不同的教材有不同的选择，例如，可以采取以下的选择：第一讲，数学开展的几个重要时期第二讲，代数学的开展第三讲，几何学的开展第四讲，微积分分析的开展第五讲，无限集合论数理逻辑计算机科学第六讲，名题赏析。我们可以用以下框图详细表示 2内容定位1在高中课程的“数学史选讲中，一定要结合高中学生的认知程度和知识根底。2在高中课程的“数学史选讲中，不强调数学史的体系严密，可以从中选择几个可以引起中学生兴趣的专题。 3在高中课程的“数学史选讲中，选材一定要生动活泼。三、教学要求“数学史选讲专题不是系统地讲授数学史。主要是结合中、小学有关的数学内容，例如，对于一些重要的

7、数学概念，可以经过数学史的学习加深对它们的认识和了解。也可以经过引见相关的史料，或数学开展的梗概，提高学生对数学的价值、意义、作用的认识，激发学生学习数学的兴趣和动力。也可以结合中学数学内容较系统地引见一些专题。如：数学开展概论、几何开展史欧式几何、非欧几何、分形几何等、代数开展史数与符号、方程等、微积分等。还可以引见一些重要的数学问题，如：费马大定理、欧拉公式、集合的势等，经过这些问题使学生了解数学的开展，提高学生学习数学的兴趣。在开设“数学史选讲的过程中，实验区大体有两种不同的讲授方式，一种是集中教学；另一种是把“数学史选讲的各个专题插入到日常教学中，例如，在讲授“立体几何初步时，可以引见

8、几何开展史，在讲授“平面向量时，可以引见运算在数学开展中的作用，在讲授“导数及其运用时，可以引见微积分开展史以及近代分析学的一些情况，等等。从实验区的情况来看，“数学史选讲是一个受学生欢迎的专题，教师在教学中应认识到：本专题可以协助 教师养成一个不断开发数学资源的习惯，使得日常教学更加丰富、生动和深化；本专题可以更好的把握日常教学中某些知识点的本质，以及他们在整个数学中的位置；教师应在日常教学中，经过对每一部分数学史内容的引见，引起学生的兴趣。在本专题的教学中，要引导学生写好读书报告，这是提高数学素养的重要载体，希望教师在这方面要下功夫。建议教师在条件允许的情况下，积极发明条件，开设数学史选讲

9、这一课程，把他作为提升个人专业素养的一个重要渠道。五、文献参考1 李文林：数学史概论，高等教育，2002 2 李文林：文明之光图说数学史，山东教育，20053 张顺燕：数学的源与流，高等教育，20004 张顺燕：数学的美与理，北京大学，2004 5 M. 克莱因：古今数学思想，张理京等译，上海科学技术，19796 A. 亚历山大洛夫等，数学它的内容、方法和意义，孙小礼等译，19587 M. 克莱因：现代世界中的数学，齐民友等译，上海教育，20042.2 信息平安与密码一、背景进入21世纪，“信息是我们听到或看到最多的词汇之一。我们天天都在与信息打交道，比如收发信件、听报告、采集数据、看照片、影

10、视等等，交流信息的方式也是多种多样的，如当面交谈、交流、发送电报、手语、旗语等如今还可以用电子邮件、可视等方式来交流和传送信息有些信息是公开的，大家都可以知道但是，也有一些信息是需求严密的，比如银行里的存款，仅仅希望本人人知道，不希望让“外人知道。政治、军事、外交、金融等活动中，信息平安更是一件特别重要的事情.为了保证信息的平安，在信息传送的过程中，经常要运用密码，进展严密通讯。经过本专题的学习，我们将了解信息平安的根本原理、根本方法以及在社会开展中的重要意义，并了解数学在信息平安中不可替代的作用。二、知识构造和内容定位1知识构造框图2内容定位在本专题中，以下几点是需求特别留意的。 1认识映射

11、函数在信息平安中的作用。当甲、乙双方传送信息时，为了不使信息被第三者知道，通常的作法是用密码对信息加密。比如，5是一个信息，甲要把5通知乙，甲在发送信息之前，先将5加3，然后将8传输给乙。乙收到加密后的信息8，再用8减去3就可以获取原来的信息。加3是加密的过程，减3是解密的过程，加3和减3是甲、乙事先商定好的，这个过程可以用图示明晰地表示出来。在处理这件事情的过程中，加密和解密是最重要的。自古以来，人们发明了许多加密和解密的方法。由于人们不断地寻求破译加密信息的方法，所以对密码的信息平安性能的要求不断提高。加密和解密的方法在不断地开展。从上图不难看出，加密的过程其实就是映射函数作用的过程。加密

12、就是把函数作用在信息上，得到函数值加密的信息的过程；解密的过程其实就是函数反作用的过程，就是把函数值加密的信息复原成自变量的值原来的信息的过程。不难看出，加密函数和解密函数是互为反函数的，显然，加密函数是一个一一对应的映射，这样就可以保证“加得上去也能“解得下来。人们希望加密函数要简单，即加密要容易；解密时，对知道密码的人要容易；对不知道密码的人要很困难，甚至无法解密。要得到这样的加密函数和解密函数，靠的是数学中函数的思想。2单向函数与公开密钥原理由上可知，加密函数和解密函数是互为反函数的，即，加密函数是一个一一对应的映射，记作f，它存在反函数f-1，显然有：f-1f(x)=x。假设能找到这样

13、一种加密函数f加密密码，即使把它公开，人们也无法在我们希望的有限时间内确定它的反函数f-1解密密码。也就是说，假设我们把加密函数公开，人们也无法找到解密函数来破解密码，我们把这样的加密函数称为单向函数。在普通的密码体制中，通讯双方要记住彼此的加密密码和解密密码。例如，n=100个单位要相互传输信息，那么每个单位都需求记住99对加密、解密的密码。整个系统需求约等于5000对加密、解密密码。而且还经常需求改换密码，以加强严密功能。假设单位的个数n更大，情况就更复杂。有了单向函数就可以把加密函数密码公开，一切公开的加密函数编成一个加密函数密码本，供人们查阅。对于100个单位只需求公开100个加密函数

14、密码，而每一个单位只需求记住一个解密函数密码就可以了。我们把这种体制称为公开密钥体制。公开密钥系统的详细任务原理如下：用户需求把信息发给用户B，操作程序如下： = 1 * roman i用户在公开的加密密码本上查找到B的加密密钥f； = 2 * roman ii用户A用f对信息进展加密，得到f，并将密文发给用户B； = 3 * roman iii用户B收到密文，用本人的解密密钥f-1进展解密，得到f-1f-1f。这样，用户B就收到了用户发来的信息。其他人即使知道密文是发给用户B的，也能查到B的加密密钥f，但是由于从f求f-1非常困难，在需求的严密时间内是不能把恢复成明文的。采用这种公开密钥体制

15、，大大减少了每个单位保管的密钥数量，从而可以减少很多失误。严密通讯体系的信息平安程度因此大大提高。3在学习本专题的过程中，需求掌握常见的密码，例如，恺撒码、转置码、流密码、RSA公钥体制、离散对数公钥方案等，重要的是学会运用这些密码，但是，要想弄懂这些密码的数学原理是比较困难的事情，需用到数论的有关知识，对普通的学生，重要的是了解信息平安的根本原理。有兴趣的同窗可以进一步搞清楚这些数学原理，对于提高他们的数学素养是非常好的一种训练。三、重、难点本专题的重、难点是了解严密通讯的根本方式和公开密钥原理。四、教学要求1在本专题的教学中，应该把了解严密通讯的根本方式和公开密钥原理放在重要的位置上，不要

16、把过多的精神放在数学推导上，可以针对学生的不同情况提出不同的要求，对于感兴趣的同窗可以引导他们掌握数学原理。2在本专题的教学中，可以设置一些活动，经过操作、实际来协助 学生了解严密通讯的根本方式和公开密钥原理。3在本专题的教学中，对于数论的知识一定要把握好“度，能掌握的同窗就掌握，不用对全体学生作一致要求。4在本专题的教学中，要引导学生写好读书报告，这是提高数学素养的重要手段，希望教师在这方面要下功夫。五、文献参考1 闵嗣鹤 严士健：初等数论第三版，高等教育，20032 万哲先 刘木兰：谈谈密码，人民教育，19853 冯克勤：初等数论及运用，北京师范大学，20034 COMAP：数学的原理与实

17、际，申大维等译，高等教育和施普林格，19985 谈祥柏：编码纵横谈，上海教育，1999年2.3 球面上的几何一、背景我们生活在地球上，地球是个球体，现实生活中也有许多球体，很自然的，我们需求了解球体的几何性质，也需求了解球面上图形的几何性质。这些性质的讨论对于航空、大地丈量、宇宙飞行等方面的研讨是有重要意义的。在17世纪前后，球面几何就曾经成为人们关注的一个研讨方向。球面几何讨论的问题是球面上点、线的位置关系、度量关系和其他的几何性质。所以，了解和掌握一些根本的球面几何的性质，对于学习和生活都是非常有益的。在中小学的数学学习中，我们更多接触到的是“直的东西，例如，直线、平面，等等，用代数的言语

18、来说，这些是“线性的东西，例如，二元一次方程、线性方程组，等等。当然我们也学习了一些“弯曲的东西，例如，圆、椭圆、抛物线、双曲线，等等，用代数的言语来说，这些就是一元二次方程、二元二次方程，等等。经过学习球面几何可以提高空间想象才干，前面我们曾经说过空间想象才干、几何直观才干、空间洞察力等等，这些都是非常重要、非常根本的才干，几何课程的目的之一就是要培育学生的这些才干，球面几何是一个很好的载体。本专题利用综合法来研讨球面几何。根本的想法是，把球面几何与平面几何进展类比。我们希望学生能很好地用类比的方法，来学习球面几何。平面几何的性质是我们所熟习的，我们希望学生经过不断领会球面和平面上图形性质的

19、差别：哪些是一样的？哪些是不同的?在类比的过程中来逐渐感受产生这些差别的本质缘由。球面几何是与平面几何不同的数学模型。它们都有着广泛的运用。经过本专题的学习应认识到，几何中存在着不同的几何模型，初步认识到可以有不同的非欧几何，它们是有意义的。二、知识构造和内容定位 1知识构造框图和平面几何的类比：2内容定位 1学习平面几何的根本思绪是综合几何和图形运动，这也是学习球面几何的根本思绪，但是还需求有很好的空间想象力。例如，计算以北京、上海、重庆为顶点的球面三角形的边长和面积，需求根据空间想象力画出空间图形如以下图所示 2球面几何的根本概念可以类比平面几何给出 平面上两点的间隔 ：过这两点之间的线段

20、长度。球面上两点的间隔 ：经过A、B两点的大圆上以A、B为端点的劣弧的长度。对于球面上的恣意两点，在数学上可以严厉证明过这两点的大圆的劣弧长度是最短的。应该把大圆上这段劣弧的长度看作是这两点的间隔 。如下图平面直线：直线没有端点，向两个方向无限延伸。球面直线：过球面上两点A、B的大圆叫作过A、B两点的球面直线。大圆是封锁的、有限的。如下图平面上的线段：直线上两点以及这两点之间的部分。球面上的线段：过球面上两点A、B的大圆的劣弧叫做衔接A、B两点的线段。如下图平面角：过平面上一点A的两条射线AB、AC构成的图形叫做角。球面角：从球面S上的一点出发的两条大圆半弧所构成的图形叫做球面角。如下图平面三

21、角形：在平面上，假设三点不在同一条直线上，那么连结三点的线段组成的图形叫做三角形.球面三角形：在球面S上，假设三点不在同一个大圆上，并且三点中没有对径点，那么由衔接三点的大圆的劣弧组成的图形叫做球面三角形。 3球面几何的根本结论可以类比平面几何得到一样的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边边角关系：大角对大边；大边对大角 三角形的全等的断定：SSS ，SAS，ASA不同性质：平面上的恣意两条直线相交或平行。球面上恣意两条直线都相交。平面三角形的内角和等于180度。球面三角形的内角和大于180度。平面三角形类似的断定：AAA。球面三角形全等的断定：AAA。 平面三角形的余弦定理：球面三角

22、形边的余弦定理： 平面三角形的正弦定理： 球面三角形的正弦定理： 三、重、难点重点：在球面上建立根本概念难点： 极三角形和三角形的面积定理四、教学要求1在讲授球面几何时，要先复习平面几何的有关知识。2在讲授球面几何中的概念、性质时，要与平面几何中的概念、性质作类比。并且这种类比的方法要贯穿整个球面几何教学的一直。3在球面几何的教学中，几何直观，画图的习惯、实物操作、信息技术等，都是协助 学生建立空间想象力的方法。五、文献参考1 项武义：根底几何学，人民教育，20042 项武义 王申怀 潘养廉：古典几何学，复旦大学，19862.4 对称与群一、背景“对称景象是现实生活中最常见的景象，例如，建筑物

23、的对称性，生物的对称性，化学构造和物理构造的对称性，各种图案的对称性，等等。根据丰富多彩、各式各样的对称形状；人们遭到启发，发明出了各种各样的对称图形。如何从数学上来描写这些“对称景象呢？“对称的数学背景是什么呢？“群就是描写对称景象的数学概念，“群是描画对称的数学工具，群是现代数学中最根本、最重要的概念。 “群产生于用根式求解方程的问题，它在整个数学的开展史上有着重要的意义。了解一些群的概念对于学生未来的开展是非常有益的。我们可以经过丰富的对称几何图形，使学生对变换，特别是对称变换，变换的合成等，有所认识和了解，在此根底上，让学生领会和感受“群意义。二、知识构造和内容定位1知识构造框图 2内

24、容定位 本专题首先给出大量的图形，特别是对称图形。让学生认识到在自然界存在着大量的对称景象。然后让学生从直观上认识到不同图形的对称性是有差别的。从而产生问题：如何描画具有不同对称性的图形？2先从详细的图形出发，例如，正三角形、正方形、正五边形等，先引入学生熟知的对称变换：轴对称变换。经过对它的分析，再针对不同图形，引入反射、平移、滑动反射这几种对称变换。3再从一个图形对称变换的多少来阐明该图形对称性的好坏。即，以为一个图形的对称变换越多，它的对称性越好。4进而针对一些详细的对称图形，讨论这些图形的对称变换之间的关系。引入对称变换合成的概念，给出变换的乘法运算。分析这种乘法运算的性质。并讨论变换

25、的逆变换。在此根底上，阐明一个图形的全体对称变换的特性，给出该图形对称变换群的概念。三、重、难点重点：认识对称变换与对称变换的合成，在此根底上构成群的概念。难点：群的普通概念。四、教学要求在对称与群的教学过程中，一定要强调从详细图形的对称到笼统的群的一系列研讨过程，分别是：详细的对称图形到详细的对称变换从详细的平面对称变换到平面的普通对称变换从对称变换到对称变换合成从对称变换的合成到建立平面对称变换群从平面对称变换群到群的笼统定义教师在教学的过程中要留意展现这5个过程，这样就可以给学生一个清晰的认识群的思绪，更能加深学生对与群这样一个笼统概念的了解。五、文献参考1 段学复：对称2 H. 外尔：

26、对称，冯承天等译，上海科技教育，20023 COMAP：数学的原理与实际，申大维等译，高等教育和施普林格，19982.5 欧拉公式与闭曲面分类 一、背景分类是数学的根本思想，例如，用未知数的次数来对方程进展分类，用边数来对平面上的图形进展分类，用群、环、域来对代数构造进展分类。几何学的主要义务之一也是对图形进展分类。按照不同的原那么可以得到不同的分类，例如，利用全等可以对图形分类、利用类似可以对图形分类、利用保距变换也可以对图形进展分类，我们还可以找出对于曲面的分类方法。当我们把一个图形做变换时，这个图形的一些性质能够不再坚持。例如，思索下面一个圆和圆中两条相互垂直的直径。我们把它紧缩，如图：

27、紧缩后，圆变成了椭圆，圆心到圆上的间隔 相等这一性质不再成立，两条直径也不再垂直。好似原来图形的性质都不再坚持了。但是，还是有一些性质没有改动。例如，直线仍变为直线，原来的两条直径的交点仍是这两条直线段的中点。那些在变换下坚持不变的性质，看来是图形更本质的性质。给定一类变换，我们可以问，在这类变换下，几何图形的哪些性质坚持不变，这些坚持不变的性质构成了和这类变换相关的几何。这种按几何不变性和不变量来对几何分类的思想，是现代几何学重要的思想。而过去我们根本上是按研讨方法来对几何学进展分类的。如，综合几何、解析几何。中学学过的欧拉公式在许多变换下是不变的。特别是，它在一种非常普通的变换下不变。这种

28、变换只需求：变换是一一对应的因此它有逆变换且变换和逆变换都是延续的。换句话说，我们可以恣意地拉伸、扭曲几何图形，只是不许把图形撕裂，也不许把图形中不同的部分粘合在一同。这种变换在数学上叫做拓扑变换。拓扑学和代数学一样，是现代数学的根底。在本专题中，我们希望学生经过欧拉公式的讨论，对拓扑变换的思想有一点领会，了解用不变性和不变量对几何图形分类的想法。二、知识构造和内容定位1知识构造框图 2内容定位 1欧拉公式及其证明经过合情推理，由大量凸多面体图形归纳而得到欧拉公式：面数-边数+点数=2，我们发现，当把图形拉伸变形时，欧拉公式不会改动。在此根底上，我们可以给出欧拉公式的证明。2还有哪些图形满足欧

29、拉公式如下图，把一个多面体放进一个球的内部，在多面体中找一个点，然后向外作射线，那么每个点都能映在球面上，就好似往多面体内吹气，最后这个多面体就变得跟球“差不多了。利用这种方法可以给出欧拉公式的不同证明。 除了凸多面体，还有一些空间图形，例如，蹄形磁铁如下图，也满足欧拉公式。 现实上，欧拉公式在拓扑变换下是不变的。两个图形，假设存在一个拓扑变换把其中的一个变为另一个，就称这两个图形是同胚的。我们可以得到这样的结论： = 1 * GB3 球面满足欧拉公式 = 2 * GB3 凡是和球面同胚的多面体都满足欧拉公式。3有没有不满足欧拉公式的图形如下图这个掏空的长方体与“游泳圈同胚。由于“游泳圈无法和

30、球面同胚，这个“长方体不满足欧拉公式，即，凡是和“游泳圈同胚的多面体都不满足欧拉公式。4欧拉示性数由上可以看出，同是闭曲面却存在着本质的不同。为了对闭曲面进展分类，我们讨论了亏格和欧拉示性数的概念。5几何直观和函数思想几何直观是本专题的中心。可以很好的把握图形的才干也是我们设置本专题的目的之一。教师需求协助 学生建立几何直观的才干。拓扑变换的思想也就是函数思想，它贯穿在本专题的一直。另外，如前所述，本专题表达的分类思想，对几何来说是本质的，是需求教师和学生深切领会的重要思想。三、重、难点重点和难点： 发现欧拉公式和证明欧拉公式的过程。 建立拓扑变换的概念四、教学要求 1把合情推理和演绎推理有机

31、的结合起来 发现欧拉公式的过程是一个合情推理的过程，证明的过程是一个演绎推理的过程，希望同窗们在这个过程中去领会这两种推理的关系。 2在教学过程中，协助 学生经过直观感知、操作确认、思辨论证、拓展运用的过程来学习这部分内容。 3在教学过程强调空间想象才干，是这部分教学的重要环节。4在教学过程中，应该协助 学生拓展视野，了解这部分内容在数学开展中的作用，领会数学文化的意义 5协助 学生写好读书报告。五、文献参考1 R. 柯朗 和 H. 罗宾：什么是数学，左平等译，复旦大学，20052 王敬庚：直观拓扑，北京师范大学，19952.6 三等分角与数域扩展一、背景在数学历史的开展中，曾经有过许许多多的

32、著名数学问题，例如，古希腊的三大作图问题，歌德巴赫猜测，费玛大定理，哥尼斯堡七桥问题，四色问题，等等。在一定意义上说，处理这些问题的过程就是数学历史开展的过程，有人这么描画：问题是数学的心脏。在处理这些问题的过程中，创建了很多新的数学分支，例如，哥尼斯堡七桥问题是引发图论和拓扑学的重要问题。树立问题认识，提高发现问题、提出问题、分析问题、处理问题的才干，是数学教育最根本的义务。用尺规三等分角等三大几何作图问题是数学历史上著名的问题。三等分角的问题曾经在很长一段时间里没有得到处理，开场人们总是寻求如何利用尺规三等分角的普通方法，经过很长一段时间的实际和思索，人们开场疑心这些问题能否可解，从而产生

33、了一个新的思绪，即证明它们是不可解的。在数学的学习中，这样思索问题的方法是很重要的，我们希望利用这个专题，协助 学生建立起这样一种思索数学问题的方法。设置这个专题的还有一个缘由，就是时至今日，还有一些人在努力于试图用尺规三等分角，或思索其他类似的问题，白白破费了大量的时间和精神，我们也希望经过这个专题能使得更多的人了解这样的历史问题曾经得到处理。二、知识构造和内容定位1知识构造框图作图欣赏三大作图问题非尺规作图的方法尺规作图原那么尺规作图的范围1能作的范围尺规作图的范围2仅能作的范围运用不能作的范围能作的范围倍方三等分角正十七边形范例有理数域与尺规作图数域扩展与尺规作图扩域“列、扩域“树与尺规作图尺规作图代数化直线的表示圆的表示数域与尺规作图的封锁性圆规作图与扩域补