2022年上海高中数知识点归纳总结

1、上海高中数学学问点总结 一,集合与常用规律 1集合概念 元素：互异性,无序性 B B A B 2集合运算 全集 U：如 U=R 交集： A B x x A 且 x B 并集： A B x x A或 x B 补集： CU A x x U且 x A 3集合关系 空集 A 子集 A B : 任意 x A x B A B A A B A 注：数形结合 - 文氏图,数轴 4四种命题 原命题：如 p 就 q 逆命题：如 q 就 p 否命题：如 p 就 q逆否命题：如 q 就 p原命题 逆否命题 否命题 逆命题 5充分必要条件 p 就是 q 得充分条件： P qp 就是 q 得必要条件： P qp 就是 q

2、 得充要条件： p. q6复合命题得真值 q 真（假） . “ q ”假（真） p, q 同真 . “ pq”真 p, q 都假 . “ pq”假 7,全称命题,存在性命题得否定 M, px ）否定为 : M, p X M, px ）否定为 : M, p X 二,不等式 1一元二次不等式解法 2 如 a 0 , ax bx c 0 有两实根 , ,就 第 1 页,共 16 页2 ax bx c 0 解集 , （ 0 a 1） 2 ax bx c 0 解集 , , 注：如 a0 ,转化为 a 0 情形 2其它不等式解法转化 x a ax a2 x a2x ax a 或 x ax2 a 2 f x

3、 0f x g x 0g x af x ag x f x g x （ a 1） log a f x log a g x f x 0f x g x 3基本不等式 a 2 b 2 2ab abab a2b 2 如 a, b R ,就 2注：用均值不等式 a b2 ab , ab 求最值条件就是“一正二定三相等” 三,函数概念与性质 1奇偶性 fx 偶函数 f x f x fx 图象关于 y 轴对称 fx 奇函数 f x f x fx 图象关于原点对称 注： fx 有奇偶性 定义域关于原点对称 fx 奇函数 , 在 x=0 有定义 f0=0 “奇 +奇=奇”（公共定义域内） 2单调性 fx 增函数：

4、 x 1 x 2 或 x 1 x2fx 1 fx 2 fx 1 fx 2 或 f x1 x1 f x2 x2 0fx 减函数：？ 第 2 页,共 16 页注：判定单调性必需考虑定义域 fx 单调性判定 定义法,图象法,性质法“增 +增 =增” 奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3周期性 T 就是 f x周期 f x T f x 恒成立（常数 T 0 ） 4二次函数 解析式： fx=ax 2+bx+c, fx=ax-h 2 +k b2, 递增 fx=ax-x 1x-x 2 对称轴： x b顶点： b, 4 ac 2 a 2 a 4 a 单调性： a0, , ba 递减,

5、 b22 a 当 x b, fx min 4 ac b22a 4 a 奇偶性： fx=ax 2 +bx+c 就是偶函数 b=0 闭区间上最值： 配方法,图象法,争辩法 - 留意对称轴与区间得位置关系 注：一次函数 fx=ax+b 奇函数 b=0 四,基本初等函数 1指数式 a 0 1 a 0 an1nman a m an2对数式 log a NbabN（ a0,a 1） log a MN log a M log a N log a Mlog a M log a N Nlog M ann log M alog blog m b lg b log m a lg a 第 3 页,共 16 页log

6、a b loga n bn1Nlog b a 注：性质 log a 1 0log a a 1alog a N 常用对数 lg Nlog10 N, lg 2 lg 5 1自然对数 ln Nlog e N, ln e 13指数与对数函数 x y=a 与 y=log x 定义域,值域,过定点,单调性？ x 注： y=a 与 y=log ax 图象关于 y=x 对称（互为反函数） 14幂函数 y x 2 , y x 3 , y x2 , y x 1y x 在第一象限图象如下： 五,函数图像与方程 1描点法 函数化简定义域争辩性质（奇偶,单调） 取特殊点如零点,最值点等 2图象变换 平移：“左加右减,上

7、正下负” y f x y f x h 来的 倍 y 1 f x 伸缩： y f x 每一点的横坐标变为原 对称：“对称谁,谁不变,对称原点都要变” 1010第 4 页,共 16 页y f x xy f x aay y=|fx| c x x 轴 y f x yy f x 轴 y f x 原点 y f x 注： y f x 直线 x ay f 2a x 翻折： y f x y | f x |保留 x 轴上方部分, 并将下方部分沿 x 轴翻折到上方 y y=fx aobc x oby f x y f | x | 保留 y 轴右边部分, y y=f|x| c 并将右边部分沿 y 轴翻折到左边 y y=

8、fx oaobc x b3零点定理 如 f a f b 0 ,就 y f x 在 a,b 内有零点 （条件： f x 在 a,b 上图象连续不间断） 注： f x 零点： f x 0 得实根 在 a, b 上连续得单调函数 f x , f a f b 0就 f x 在 a, b 上有且仅有一个零点 二分法判定函数零点 - f a f b 0 ？ 六,三角函数 1概念 其次象限角 2k 2,2k k Z 2弧长 lr1 lr 2扇形面积 S 3定义 sin y rcos x rtan y x 第 5 页,共 16 页4符号 其中 P x, y 就是 终边上一点, PO r“一正全,二正弦,三正切

9、,四余弦” 5诱导公式： “奇变偶不变,符号瞧象限” 如 Sin2 sin , cos / 2 sin 6特殊角得三角函数值 sin 064320132012311222cos 1300021222tg 0/ / 31337基本公式 同角 sin 2cos 21sin tan atan 2 12 tan cos 与差 sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan 倍角 sin 2 2sin cos cos2 2 cos 2 sin 2 2cos 2 11 2sin 2 tan 降幂 cos = 2 1 cos2 2s

10、in 2 = 1 cos 2 2叠加 sin cos 2 sin 4y=tanx 3 sin cos 2 sin 6asin bcos a22 b sin tan b8三角函数得图象性质 y=sinx y=cosx 第 6 页,共 16 页单 调 性 ： 图 cosx tanx , 2 2 增 象 0, 减 sinx , 增 2 2 注 ： 值域 -1 , 1 -1 , 1 无 k Z 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 9解三角形 周期 2 2 基 本 关 无 系 ： 对称轴 x k / 2 x k sinA+B=si nC中心 k , 0 / 2 k ,0 k / 2,0 cosA+B=-cos

11、C tanA+B=-tanC sin A B C cos 2sin A : sin B : sin C 2正弦定理 ： asin A b = sin B = c sin C a2Rsin A a : b : c 余弦定理 ： a2=b2+c2 2bccosA（求边） 2 2 2cosA= b c a（求角） 2bc 面积公式 ： S 1absinC 2注： ABC 中, A+B+C=？A B sin A sin B a2 b2+c2 . A 2七,数 列 1,等差数列 定义 ： an 1an d 1 2nn 1d 通项 ： an a1 n 1d 求与 ： Sn n a1 an na1 2中项

12、： b a2c （ a,b, c 成等an a p aq 差） 性质 ：如 mnp q,就 am 2,等比数列 第 7 页,共 16 页定义 ： an 1an qq 0 a p aq 通项 ： a na q n 1 求与 ： Sn na1 q 1 na1 1 q q 1 1 q中项 ： b2 ac（ a, b, c 成等比） 性质 ：如 mnpq就 am an 3,数列通项与前 n 项与得关系 an s1 a1 n 1 sn sn 1 n 2 4,数列求与常用方法 公式法,裂项法, 错位相减法,倒序相加法 八,平面对量 1向量 加减 三角形法就,平行四边形法就 AB BC AC 首尾相接, O

13、B OC = CB 共始点 中点公式： AB AC 2 AD D就是 BC 中点 2 向量 数量积 ab = a b cos = x1 x2 y1 y2 注： a , b 夹角： 0 180 a, b 同向： ab ab3 基本定理 a 1e1 2 e2 （ e1 ,e2 不共线 - 基底） 平行： a / b a b x1 y2 x2 y1 （ b 0 ） 垂直： a b ab 0 x1 x2 y1 y2 02模： a x 2 y 2 a b a b 2夹角： cos a b | a | b | 注 ： 0 a ab c a b c （结合律）不成立 第 8 页,共 16 页 a b a c

14、 bc （消去律）不成立 九,复数与推理证明 1复数概念 复数 ： z a bi a,b R ,实部 a,虚部 b C分类 ：实数（ b 0 ）,虚数（ b0 ）,复数集 注： z 就是纯虚数 a0 , b 0相等 ：实,虚部分别相等 共轭 ： z a bi z z 2 z 模 ： z a 2 b 2 复平面 ：复数 z 对应得点 a,b 2复数运算 加减 ：（ a+bi ） c+di= ？ 乘法 ：（ a+bi）（ c+di） =？ 除法 ： a c bi = a bi c di = di c di c di 乘方 ： i 2 n 1 , i i4 k r ir3合情推理 类比 ：特殊推出特

15、殊 归纳 ：特殊推出一般 演绎 ：一般导出特殊（大前题小前题结论） 4直接与间接证明 综合 法 ：由因导果 比较法 ：作差变形判定结论 反证法 ：反设推理冲突结论 分析法 ：执果索因 分析法书写格式： 要证 A 为真,只要证 B 为真,即证 , 这只要证 C 为真,而已知 C 为真,故 A 必为真 注：常用分析法探究证明途径,综合法写证明过程 5数学归纳法： 1 验证 当 n=1 时命题成立 , 2 假设 当 n=kk N* , k 1 时命题成立 , 证明 当 n=k+1 时命题也成立 由 12 知这命题对全部正整数 n 都成立 注：用数学归纳法证题时,两步 缺一不行 ,归纳假设必需使用 十

16、,直线与圆 第 9 页,共 16 页1, 倾斜角 范畴 0, 斜率 k tan y2 y1 x2 x1 注：直线向上方向与 x 轴正方向所成得最小正角 倾斜角为 90 时,斜率不存在 2, 直线方程 点斜式 y y0 k x x0 ,斜截式 y kx b1两点式 y y1 x x1 , 截距式 x y y2 x2 y1 x1 ab一般式 Ax By C0留意适用范畴：不含直线 x x0 不含垂直 x 轴得直线 不含垂直坐标轴与过原点得直线 3, 位置关系 （留意条件） 平行 k1 k2 且 b1 b 2 A1A2 B1B2 0垂直 k1k2 1垂直 4, 距离公式 两点间距离： |AB|= x

17、1 2 x2 y1 2 y2 ,半径 r点到直线距离： dAx0 By0 C圆心 a , b A2 B2 2 5,圆标准方程： x a 2 y b r2圆一般方程 ： x2 y2 Dx Ey F 0（条件就是？） 圆心 D, E 半径 rD22 E 4 F 2226, 直线与圆 位置关系 位置关系 d相切 d相交 d相离 注 ： 点 与 圆 位 置 关 系 x0 a 2 y0 b 2r2点 几何特点 rrrP x0, y0 在圆外 代数特点 0 0 07,直线截圆所得 弦长 第 10 页,共 16 页AB 2 2 r d2 十一,圆锥曲线 一,定义 椭圆 ： |PF 1|+|PF 2|=2a2

18、a|F 1F2| 双曲线 ： |PF 1|-|PF 2|= 2a02ab0 a b2 2双曲线 x 2 y 2 1 a0,b0 a b中心原点 对称轴？ 焦点 F1c,0 , F2-c,0 顶点 : 椭圆 a,0,0, b ,双曲线 a,0 范畴 : 椭圆 -a x a,-b y b 双曲线 |x| a , y R 焦距：椭圆 2c（ c= a 2 b 2 ） 双曲线 2c（ c= a 2 b 2 ） 2a, 2b: 椭圆长轴,短轴长, 双曲线实轴,虚轴长 离心率： e=c/a 椭圆 0e1 n注：双曲线 2 x 2 y 1 渐近线 y b x a a2b22 方程 mx 2 ny 1 表示椭

19、m0,n 圆 2 方程 mx 2 ny 1 表示双曲mn 0线 2 抛物线 y =2pxp0 顶点（原点） 对称轴（ x 轴） 开口（向右） 范畴 x 0离心率 e=1 焦点 F p ,0 2准线 x p 2 十二,矩阵,行列式,算法初步 十,算法初步 一程序框图 程序框 名称 功能 第 11 页,共 16 页起止框 起始与终止 二基本算法语句 及格式 输入,输出框 输入与输出得信息 1 输入语句 ： INPUT “ 提 示 内 容”；变量 处理框 赋值,运算 2 输出语句 ： PRINT“ 提示内容”； 判定框 判定某一条件就是否成立 表达式 3 赋值语句 ： 变量 =表达式 4 条件语句

20、循环框 重复操作以及运算 “ IF THEN ELSE ” 语 句 “ IF THEN”语句 IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句 1END IF 语句 ELSE 语句 2END IF 5 循环语句 当型循环语句 直到型循环语句 WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 当型“先判定后循环” 直到型“先循环后判定” 三算法案例 1,求两个数得最大公约数 辗转相除法：到达余数为 0更相减损术：到达减数与差相等 2,多项式 fx= a nx n+a n-1x n-1 + , +a1x+a 0 得求值 秦九韶算法： v1=anx+an 1 v2=v1

21、x+an 2 v3=v 2x+an 3 vn=v n 1x+a 0 注：递推公式 v0=an vk=vk 1X +ankk=1,2, n 求 fx 值,乘法,加法均最多 n 次 3,进位制间得转换 k 进制数转换为十进制数： a n an 1 .a1a 0 k an n k a n 1n 1 k . a1 k a 0 十进制数转换成 k 进制数：“除 k 取余法” 例 1 辗转相除法求得 123 与 48 最大公约数为 3例 2 已知 fx=2x 54 3 2 5x 4x +3x 6x+7,秦九韶算法求 f5 123248 27 v 0=2 48127 21 v 1=2 55=5 第 12 页

22、,共 16 页27 121 6v v 2=5 5 4=21 2136 3 3=21 5+3=108 623+0 v 4=1085 6=534 v5=534 5+7=2677 十三,立体几何 1三视图 正视图,侧视图,俯视图 02直观图：斜二测画法 X O Y =45 平行 X 轴得线段,保平行与长度 平行 Y 轴得线段,保平行,长度变原先一半 3体积与侧面积 V 柱 =S 底 h V 锥 = 1S 底 h V 球 = 43 R 233S 圆锥侧 = rl S 圆台侧 = R r l S 球表 = 4 R4公理与推论 确定一个平面得条件 ： 不共线得三点 一条直线与这直线外一点 两相交直线 两平

23、行直线 公理 ：平行于同一条直线得两条直线平行 定理 ：假如两个角得两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补； 5两直线位置关系 相交,平行,异面 异面直线 不同在 任何一个平面内 6直线与平面位置关系 aa I A a / 7平行得判定与性质 线面平行 ： a b , b, a ba aba ,a , a b 面面平行 ： AB , AC 平面 ABC a , a 8垂直得判定与性质 线面垂直 ： p AB, p AC p 面ABC 面面垂直 ： a , a 第 13 页,共 16 页假如一个平面经过另一个平面得一条垂线 , 那么这两个平面垂直； 如两个平面垂直, 就一个平面内垂直于交线得

24、直线与另一个平面垂直 三垂线定理 ： 那 A P PO , AO aPA a O PO , PA aAO aa在平面内得一条直线, 假如它与这个平面得一条斜线得射影垂直, 么它也与这条斜线垂直逆定理？ 9空间角,距离得运算 异面直线所成得角 范畴（ 0, 90 平移法：转化到一个三角形中,用余弦定理 直线与平面所成得角 范畴 0 , 90 定义法：找直线在平面内射影,转为解三角形 二面角 范畴 0 , 180 定义法：作出二面角得平面角,转为解三角形 点到平面得距离 体积法 - 用三棱锥体积公式注：运算过程, “一作二证三求” ,都要写出10立体几何中得向量解法 r 法向量求法 ：设平面 AB

25、C 得法向量 n =（ x,y ） CA B nAB, n AC nAB 0,n AC 0解方程组,得一个法向量 r n ur uur线线角： 设 n1, n2 就是异面直线 l1 ,l 2 得方向向量, l1 ,l 2 所成得角为 ,就 cos cos n1 , n2 即 l1 ,l2 所成得角等于 n1 , n2 或 ruur n1, n2 线面角： r 设 n 就是平面 得法向量, AB 就是平面 得 l得大小为 ,就 cos cos n1 , n2 或 一条斜线, AB 与平面 所成得角为 , 就 sin cos n, AB AB nAB nur uur 二面角： 设 n1 , n2 就是面 , 得法向量,二面角 第 14 页,共 16 页cos n1, n2 即二面角大小等于 n1, n2 或 ruur n1, n2 点到面距离： r 如 n 就是平面 得法向量, AB 就是平面 得一条斜线段,且 B , 就点 A 到平面 得距离 duuur r AB . n r n 十四,计数原理 1. 计数原理 加法分类 , 乘法分步 2排列组合 差异 - 排列有序而组合无序 公式 An = n n 1 m n m1 = n n！ m！m n n 1 n m 1 n！ Cn = 1 2 m = m n m ！ m m关系