数学函数的发展史

1、.：.； 总课题：数学的开展史 子课题：函数的开展史 一、 组长：李 组员：刘 田 仁 姬 孙 二、 指点教师：张 三、班级：高一12班四、成员简介： 李：性格开朗、刻苦仔细 担任组长 刘 ：喜欢英语、大方 担任搜集 仁 ：喜欢信息、刻苦仔细 担任写作 姬：开朗大方、热情 担任搜集 孙：喜好动漫、画画 性格外向 担任整理田 ：开朗大方刻苦仔细 担任整理五、选题的缘由： 开阔视野，增长见识。提高我们的数学涵养可以使我们更好的交融在一同，加强团结，了解数学。六：研讨方案：共六人： 姬 刘 担任搜集 李 仁 担任写作 孙 田 整理资料七： 研讨成果： 历史阐明，重要数学概念对数学开展的作用是不可估量

2、的，函数概念对数学开展的影响，可以说是贯穿古今、旷日耐久、作用非凡，回想函数概念的历史开展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件非常有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的明晰度，而且更能协助 我们领悟数学概念对数学开展，数学学习的宏大作用 一1.早期函数概念几何观念下的函数十七世纪伽俐略(GGalileo，意，15641642)在一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的言语表达函数的关系。1673年前后 HYPERLINK baike.baidu/view/4704.htm t _blank 笛卡尔(Descartes，法，15961

3、650)在他的 HYPERLINK baike.baidu/view/17601.htm t _blank 解析几何中，已留意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时髦未认识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期 HYPERLINK baike.baidu/view/1511.htm t _blank 牛顿、 HYPERLINK baike.baidu/view/20062.htm t _blank 莱布尼兹建立 HYPERLINK baike.baidu/view/3.htm t _blank 微积分时还没有人明确函数的普通意义，大部分函数是被当作曲线来研讨的。 马克思曾经以为，函数概念来

4、源于代数学中不定方程的研讨由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研讨，所以函数概念至少在那时曾经萌芽 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运转的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研讨在地球外表上抛射物体的道路、射程和所能到达的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图处理的问题，也是军事家要求处理的问题，函数概念就是从运动的研讨中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源 二 早在函数概念尚未明确提出以前，数学家曾经接触并研讨了

5、不少详细的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，曾经留意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时髦未认识到需求提炼普通的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的普通意义 1673年，莱布尼兹初次运用函数一词表示“幂，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中，运用另一名词“流量来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰贝努里才在莱布尼兹函数概念的根底上，对函数概念进展了明确

6、定义，贝努里把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数，表示为yx. 当时，由于衔接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算衔接变数x和常数c而成的式子，取名为解析函数，还将它分成了“代数函数与“超越函数 18世纪中叶，由于研讨弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“恣意的函数的说法在解释“恣意的函数概念的时候，达朗贝尔说是指“恣意的解析式，而欧拉那么以为是“恣意画出的一条曲线如今看来这都是函数的表达方式，是函数概念的外延 三十八世纪函数概念代数观念下的函数1718年约翰贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，16671748)在莱布

7、尼兹函数概念的根底上对函数概念进展了定义：“由任一变量和常数的任一方式所构成的量。他的意思是凡变量x和 HYPERLINK baike.baidu/view/346799.htm t _blank 常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。 1755，欧拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函数定义为“假设某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。 18世纪中叶欧拉(LEuler，瑞，17071783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰

8、贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为为代数函数和超越函数，还思索了“随意函数。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 四 十九世纪函数概念对应关系下的函数1821年，柯西(Cauchy，法，17891857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，那么将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他依然以为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。1822年 HYPERLINK baik

9、e.baidu/view/46054.htm t _blank 傅里叶Fourier，法国，17681830发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而终了了函数概念能否以独一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。函数概念缺乏科学的定义，引起了实际与实际的锋利矛盾例如，偏微分方程在工程技术中有广泛运用，但由于没有函数的科学定义，就极大地限制了偏微分方程实际的建立1833年至1834年，高斯开场把留意力转向物理学他在和W威伯尔协作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验任务，提出了“力与间隔 的平方成反比例这个重要的实际，使得函数作为数学的一个独立分支而

10、出现了，实践的需求促使人们对函数的定义进一步研讨 后来，人们又给出了这样的定义：假设一个量依赖着另一个量，当后一量变化时前一量也随着变化，那么第一个量称为第二个量的函数“这个定义虽然还没有道出函数的本质，但却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的提高 在函数概念开展史上，法国数学家富里埃的任务影响最大，富里埃深化地提示了函数的本质，主张函数不用局限于解析表达式1822年，他在名著中说，“通常，函数表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是恣意的，我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；他们以任何方式一个挨一个在该书中，他用一个三角级数和的方式表达了一个由不延续的“线所给出的函数更确切地说就

11、是，恣意一个以2为周期函数，在，区间内，可以由 y x表示出. 其中，富里埃的研讨，从根本上动摇了旧的关于函数概念的传统思想，在当时的数学界引起了很大的震动原来，在解析式和曲线之间并不存在不可跨越的鸿沟，级数把解析式和曲线沟通了，那种视函数为解析式的观念终于成为提示函数关系的宏大妨碍 经过一场争论，产生了罗巴切夫斯基和狄里克莱的函数定义 1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x一同变化函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法函数的这种依赖关系可以存在，但依然是未知的这个定义建立了

12、变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个艰苦开展，由于“对应是函数概念的一种本质属性与中心部分 1837年 HYPERLINK baike.baidu/view/53379.htm t _blank 狄利克雷(Dirichlet，德，18051859) 突破了这一局限，以为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。这个定义防止了函数定义中对依赖关系的描画，以明晰的方式被一切 HYPERLINK baike.baidu/view/66878.htm t _blank 数学家接受。这就是人们常说

13、的经典函数定义。根据这个定义，即使像如下表述的，它依然被说成是函数 HYPERLINK baike.baidu/view/53379.htm t _blank 狄利克雷函数： fx= 1x为有理数， 0 x为无理数 在这个函数中，假设x由0逐渐增大地取值，那么fx忽0忽1在无论怎样小的区间里，fx无限止地忽0忽1因此，它难用一个或几个式子来加以表示，甚至终究能否找出表达式也是一个问题但是不论其能否用表达式表示，在 HYPERLINK baike.baidu/view/53379.htm t _blank 狄利克雷的定义下，这个fx仍是一个函数 HYPERLINK baike.baidu/vie

14、w/53379.htm t _blank 狄利克雷的函数定义，出色地防止了以往函数定义中一切的关于依赖关系的描画，以完全明晰的方式为一切数学家无条件地接受至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义曾经构成，这就是人们常说的经典函数定义 等到 HYPERLINK baike.baidu/view/114226.htm t _blank 康托(Cantor，德，18451918)创建的集合论在数学中占有重要位置之后，维布伦(Veblen，美，18801960)用“集合和“对应的概念给出了近代函数定义，经过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步详细化了，且突破了“变量是数的极限，变量可以是数

15、，也可以是其它对象。五现代函数概念集合论下的函数 1914年豪斯道夫(FHausdorff)在中用不明确的概念“序偶来定义函数，其避开了意义不明确的“变量、“对应概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶使豪斯道夫的定义很严谨了。 随着消费实际和科学实验的进一步开展，又引起函数概念新的锋利矛盾，本世纪20年代，人类开场研讨微观物理景象1930年量子力学问世了，在量子力学中需求用到一种新的函数-函数， 即x 0，x0， ,x=0 且 -函数的出现，引起了人们的猛烈争论按照函数原来的定义，只允许数与数之间建立对应关系，而没有把“作为数另外，对于自变量只需一个点不为

16、零的函数，其积分值却不等于零，这也是不可想象的然而，-函数确实是实践模型的笼统例如，当汽车、火车经过桥梁时，自然对桥梁产生压力从实际上讲，车辆的轮子和桥面的接触点只需一个，设车辆对轨道、桥面的压力为一单位，这时在接触点x=0处的压强是 P0=压力接触面=10= 其他点x0处，因无压力，故无压强，即Px=0.另外，我们知道压强函数的积分等于压力，即 函数概念就在这样的历史条件下能动地向前开展，产生了新的现代函数定义：假设对集合M的恣意元素x,总有集合N确定的元素y与之对应，那么称在集合M上定义一个函数，记为y=fx.元素x称为自变元，元素y称为因变元 函数的现代定义与经典定义从方式上看虽然只相差

17、几个字，但却是概念上的艰苦开展，是数学开展道路上的艰苦转机，近代的泛函分析可以作为这种转机的标志，它研讨的是普通集合上的函数关系 函数概念的定义经过二百多年来的锤炼、变革，构成了函数的现代定义，应该说曾经相当完善了不过数学的开展是无尽头的，函数现代定义的方式并不意味着函数概念开展的历史终结，近二十年来，数学家们又把函数归结为一种更广泛的概念“关系 设集合X、Y，我们定义X与Y的积集XY为 XY=x,yxX,yY 积集XY中的一子集R称为X与Y的一个关系，假设x,yR，那么称x与y有关系R，记为xRy.假设x,yR，那么称x与y无关系 现设f是X与Y的关系，即fXY，假设x,y，x,zf,必有y

18、=z，那么称f为X到Y的函数在此定义中，已在方式上逃避了“对应的术语，全部运用集合论的言语了 从以上函数概念开展的全过程中，我们领会到，联络实践、联络大量数学素材，研讨、开掘、拓广数学概念的内涵是何等重要八：结论总结 函数function表示每个输入值对应独一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的规范符号为 HYPERLINK baike.baidu/view/2751750.htm t _blank f(x)。包含某个函数一切的输入值的集合被称作这个函数的 HYPERLINK baike.baidu/view/432831.htm t _blank 定义域，包含一切的输出值的集

19、合被称作 HYPERLINK baike.baidu/view/543477.htm t _blank 值域。函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。准确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个 HYPERLINK baike.baidu/view/1084767.htm t _blank 对应法那么 ， 假设对X中的每个x，按对应法那么f，使Y中存在独一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法那么f是X上的一个函数，记作yfx，称X为函数fx的定义域，集合y|y=fx，xR为其值域值域是Y的 HYPERLINK baike.bai

20、du/view/276935.htm t _blank 子集，x叫做自变量，y叫做 HYPERLINK baike.baidu/view/324030.htm t _blank 因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法那么、定义域、值域是函数的三要素。 留意：对应法那么并不等同于函数，由于运算法那么并不依赖于某个定义域，它可以作用于任何一个非空集合，如f( )=2 +1，x=1,2,y=3,5,u=3,4,v=7,9,那么f(x)=y,f(u)=v。由此可见，对应法那么是独立于特定定义域之外的一个运算法那么。运算法那么或者称对应法那么可以作为算子独立存在如微分算子，而函数那么必需有其特定的定义域

21、才有意义，否那么不能称之为函数。 不测收获 丰富视野一：与函数有关的概念在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改动的，我们称他们为常量。 自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固 HYPERLINK baike.baidu/view/2444160.htm t _blank 定值。 因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取独一值时，因变量(函数)有且只需独一值与其相对应。 函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当 二：几何含义函数与不等式和方程存在联络 HYPERLINK baike.baidu/view

22、/46323.htm t _blank 初等函数。令 HYPERLINK baike.baidu/view/276988.htm t _blank 函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的表达式无表达式的函数除外中的“=换成“，再把“Y换成其它 HYPERLINK baike.baidu/view/403779.htm t _blank 代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。 三函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。假设存在数K1，使得f(x)=K1对任一xX都成立，那么称函数f(

23、x)在X上有上界，而K1称为函数f(x)在X上的一个上界。假设存在数K2，使得f(x)=K2对任一xX都成立，那么称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。假设存在正数M，使得|f(x)|=M对任一xX都成立，那么称函数f(x)在X上有界，假设这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。 函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。 四函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。假设对于区间I上恣意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，那么称函数f(x)在区间I上是单调添加的；假设对于区间I上恣意两点x1及x2，当x1

24、f(x2)，那么称函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调添加和单调减少的函数统称为单调函数。 五函数的奇偶性设f(x)为一个实变量 HYPERLINK baike.baidu/view/296926.htm t _blank 实值函数，那么f为奇函数假设以下的方程对一切实数x都成立： f(x) = f( x) 或 f( x) = f(x) 几何上，一个奇函数与 HYPERLINK baike.baidu/view/25440.htm t _blank 原点对称，亦即其 HYPERLINK baike.baidu/view/143347.htm t _blank 图在绕原点做180 HYPER

25、LINK baike.baidu/view/248975.htm t _blank 度 HYPERLINK baike.baidu/view/131763.htm t _blank 旋转后不会改动。 奇函数的例子有x、 HYPERLINK baike.baidu/view/20214.htm t _blank sin(x)、 HYPERLINK baike.baidu/view/814681.htm t _blank sinh(x)和 HYPERLINK baike.baidu/view/582686.htm t _blank erf(x)。 设f(x)为一实变量实值函数，那么f为偶函数假设以下的方程对一切实数x都成立： f(x) =