带位移偶次方项非线性随机振子在位移参数激励下的概率解

1、带位移偶次方项非线性随机振子在位移参数鼓励下的概率解论文导读:：本文用指数多项式闭合或EPCExponentialPolynomial Closure法分析了具非零均值响应的带位移偶次方项非线性随机振子在参数鼓励下响应的概率密度函数解。给出了求解过程并通过算例分析验证了指数多项式闭合法在此情况下的有效性。数值结果显示，指数多项式闭合法得到的响应概率密度结果与蒙特卡洛模拟的结果符合较好，尤其是在对系统可靠性分析起主要作用的概率密度函数尾部区域符合很好。论文关键词：指数多项式闭合(EPC)法，Fokker-Planck方程，非零均值，位移偶次方非线性，参数鼓励0 引言科学和工程领域经常遇到非线性随

2、机动力系统，所以关于非线性随机动力系统的概率求解问题在过去的几十年里一直受到人们的关注和研究。通常人们只研究带零均值响应的系统。但是在系统含有位移偶次方非线性项时，系统响应的均值非零。众所周知，当非线性振子受到白噪声鼓励时，系统响应的概率密度由Fokker-Planck方程控制。而求解Fokker-Planck方程是一个很具挑战性的问题。只有在非常严格的约束条件下才能得到一些稳态的精确解论文开题报告。目前最常用的方法是等效线性化EQL法【1】【2】。EQL的限制条件是仅适用于弱非线性系统建筑工程论文，因为在弱非线性条件下系统的响应接近于高斯过程。为了提高解的精度，人们提出或采用了数种方法，如随

3、机平均法【3】【4】、Hermit多项式闭合法【5】、摄动法【6】、等效非线性法、最大熵法、有限差分法【12】，有限元法【13】，指数多项式闭合法EPC等。随机平均法适于带弱阻尼和弱鼓励的系统；摄动法适于被摄动系统的解的情况；等效非线性法要求系统在一定统计意义下接近某一精确解的系统；最大熵法需要求解一复杂的非线性方程组；有限差分法和有限元法会带来概率密度函数尾部为负值的情况；Monte Carlo模拟法是适用性最广的方法，但对小概率的求解问题，它所需的计算量很大。指数多项式闭合法被提出之后，其有效性得到了一定程度的验证【14-18】。本文用指数多项式闭合法分析具非零均值响应的带位移偶次方项的非

4、线性随机振子概率密度函数解，从而验证指数多项式闭合法在求解此类系统时的有效性。1 指数多项式闭合法求解过程考虑如下带参数鼓励的随机非线性振子：(1)式中和是系统响应的分量；和是和的非线性函数，其形式是确定的；是零均值高斯白噪声，它的自相关函数为： (2) 这里表示的期望值；是Dirac函数；是相关谱密度。置建筑工程论文，式 (1) 可以表示为如下形式：(3)(4)系统响应和是马尔科夫过程，式(4)中的第二项是Wong-ZaiKai修正项。其概率密度函数解由下面的Fokker-Planck 方程控制【21】：(5)其中这里只考虑Fokker-Planck 方程的稳态解，此时方程(5)退化为： (

5、6) 这里假设振子 (1) 的概率密度函数解在中是连续的且满足以下要求：(7)将方程 (6) 的解表示为：(8)其中是归一化常数，a 是有个参数的未知向量。而且(9)这是一个关于和的n阶多项式。为了满足条件 (7)，令(10)其中，和i=1,2是系统响应的均值和标准差，是通过等效线性化法得到的；和i=1,2是常数，通常设置为4。一般来说，由于式 (8) 只是方程 (6) 的近似解，而且a中的未知参数数量有限建筑工程论文，所以Fokker-Planck方程不能得到精确满足。把式(8) 代人方程 (6) 后产生的误差为：(11)由于，所以满足方程 (11)解的唯一可能性就是，但是由于只是近似解，所

6、以通常论文开题报告。在这种情况下，引入一组空间的基函数，使得在上的投影为零，即(12)这意味着如果在空间上可积且方程组 (12) 可解，那么在弱意义上满足了Fokker-Planck方程。的表达式可以取为(13)式中和。这样就得到个包含个未知参数的二次非线性代数方程组。数值经验说明， 可以取为等效线性化法或高斯闭合法求解得到的系统响应概率密度函数，即 (14) 2 算例考虑如下带位移偶次方项的非线性随机振子：(15)式中是零均值高斯白噪声，其中和是相互独立的建筑工程论文，相关函数为。该系统的参数值设为。同时为了验证以上求解过程的有效性，对该系统进行了蒙特卡洛模拟，模拟产生了个样本来计算系统响应

7、的概率密度函数。图3.1位移响应的概率密度函数比拟图3.2位移响应的对数概率密度函数比拟图3.4速度响应的对数概率密度函数比拟用EPC法且多项式的阶数分别为2(EPC n=2和6(EPC n=6)时求得的位移概率密度函数值由图3.1所示，同时用EPC法得到的结果与蒙特卡洛模拟MCS的结果进行了比拟。从图3.1中可以看出，当用EPC法n=6时，两种方法得到的结果符合较好。但是当用EPC法且n=2时，EPC法得到的结果与模拟的结果偏离较大，此时的EPC结果与等效线性化结果一致。为了考察EPC所得位移概率密度函数值在尾部的情况，图3.2中列出了位移概率密度函数的对数值。可以看出用EPC法n=6所得结

8、果比EPC法且n=2所得结果改善很多。图3.3给出了速度的概率密度函数值及其比拟。可以看出，当n=6时EPC法得到的结果与模拟的结果同样符合较好，尤其在如图3.4所示的尾部区域论文开题报告。从图中也可以看出位移和速度的概率密度函数均是关于均值不对称的。3 结论对于响应均值非零的带位移偶次项和参数鼓励的非线性随机振子建筑工程论文，给出了EPC法求解Fokker-Planck方程的过程。同时用EPC法得到的结果与蒙特卡洛模拟结果进行了比拟。当用EPC法且取二阶多项式时，EPC方法得到的结果与等效线性化法得到的结果一致，但是与模拟的结果有着明显的不同。当用EPC法取六阶多项式时，EPC方法得到的结果

9、与模拟的结果符合较好，尤其是在系统响应概率密度函数的尾部区域。数值结果同时显示，在此情况下，位移和速度的概率密度函数均是关于均值不对称的。这说明EPC法同样适用于响应均值非零的带位移偶次项的非线性随机振子在参数鼓励下的响应概率密度函数求解问题。参考文献【1】Booton R C. Nonlinear control systems with random inputs. IRE Trans. CircuitTheory, 1954, CT1. 1: 9-19.【2】Roberts J B,Spanos P D. Stochastic averaging: an approximate meth

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