-量子力学中的力学量 lt

1、第三章例题剖析1一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是HL22I，L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。（1）转子绕一固定轴转动（2）转子绕一固定点转动解：（1）L i z能量的本征方程：H （ ） E （ ），or引入2IE22由波函数的单值性 （2）()n2 22F，Aein其中1L2一 2I，在球极坐标系中体系的能量算符本征方程：H其中 空，以上方程在02（,）E （,）的区域内存在有限解的条件是必须取l（l 1），(l 0,1,2,)，即 l(l 1) l 0,1,2,于是方程的形式又可写成此方程是球面方程，其解为由 l(l 1)及2IE，可解得体系的

2、的能量本征值132氢原子处于r,r,r,43214211状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值;（4）角动量的z分量有无确定值？如果有，求其确定值。解：（1）求归一化波函数（2） 能量无确定值e4Ee4,s-18疽 n28七2 n1C 2310210|2ESE217 e4s3I 3144 七 2 n概率：C3|2平均值：E |C可能取值：E3(3)角动量平方无确定值力2概率:q2310lCJ2 2力2%2L2 C2I2 6力 2(4)有确定值。其值为

3、3.求粒子处在态Y时角动量的X分量和角动量y分量的平均值L ,L ；并证明:平均值:一lm”-解方法一)：(1)先证明两个普遍的关系： 可以用两种方法来证明。(a)从角动量算符L所满足的对易关系出发:可能取值:L LLLLzxxzLLLLi LyzzyxLLLLi Lyzy xX y由一式与二式乘i后相加减可得：或 L (L iL ) (L iL ) L ) z xyxy z用算符L (L iL )对丫运算得： z xyIm另外，注意到L2和l ,l ,l均可对易，故有：xyz所以L2 (L iL )Y (L iL )L2Yl(l 1) 2 (L iL )Yx y Im x y Imx y I

4、m TOC o 1-5 h z 从上面二式可见(L iL )Y既是L的本征函数，本征值为(m 1),又是的本征函数, x y lmz本征值为l(l 1) 2,亦即(L iL )Y，具有Y的形式。x y lml,m 1令 (L iL )Y C Yx y lml,m 1它的共轭复式是(LiL )*Y * C*Y*1x y lmlm二式相乘，对，积分，再注意到Y的正交性，得：l,m(b)用直接求微分的方法证明而Ylm：(l m)!(2l 1) 口 /、4 (l m)! Pim (C0S )eim ；其中pm (cos )1同样其中(LiL )yy lmsirssin p (cos )d (cos )

5、m l.dmm s in 1 cos d (c o s)miL也有ydm 1p (c o S)dmd(cos)m1pl(cos) 2mcos d (cos )mp (cos )可证明如下：因为勒襄德多项式p：(cos ) pl对上式求微商m 1次后得到dm 12) pd m 11dm 12) pd m 1 l()满足方程2m故有12mdm p1dmdm p1dmm (m 1) m 1 dm(l m) l mdm 1l(l 1) 一 pl 0m1现在来求L和Lx注意到丫血的正交性Y： (LITy0令 Lx同理可知故iLyLxLxy亦即iL )Y sin d dlmL2Y x lmLy2(liL

6、)Y1 (Ly lm2iL )Yy lm2 r:r-一 . (l m) l m 1)2 2.万伸m)l m 1)(l m 2) l m 1)Y 2 v/ (l m ) l m_1)Ylml,m- (l m) l m 1)Y2lm(l m 1) l m 2)Y2、lm意到Ylm的正交性，得：2同理可证：L2y(l2 l m2)y 2故 (L )2 L2 L2 (l2 l m2)方法二)：在固定z轴不变的情况下，进行坐标旋转，把原来的y轴变为x轴，仍然保持右旋坐标，这时 角不变，唯一的改变是 变为，注意到x和y的对称性，不难由L , L _ x y在球坐标中的算符表示式看出L2 L2x y而Lx

7、Ly 0讨论：为了证明匚0; Ly 0,我们还可以用下面两种简单方法：(a)设Ylm( , )为Lz的本征态，则有而 L L L L i Ly z z yx故L M _LL -1* L L Y dY*L L Y dx i y z z y iIm y z ImIm z y Im同理，因为L L L L i L ,可以证明L 0 z x x zyy(b)利用测不准来证明Lx 0, Ly 0 令 A L , B L , C L yyx则显然A, B都是厄密算符，A, B的对易关系为：就是角动量分量之间所必须满足的对易关系-勇利用(A)2 ( B)2才得出由于态Ylm(,)是1,的本征态，在本征态中测量力学量Lz有确定值，即力学量Lz在 TOC o 1-5 h z Y (,)态在平均平方偏差(L )2必须为零。故有(L )2 0 lmzz 丁 2 (L )2L、要保证不等式(L )2 ( L )2 成立，考虑到(L )2为非负的数，所以必须是 yz4xL 0。x同理，只须利用LLL L iL，也可以证明L 0z x x zyy在方法二)中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容易证明L2 L2x y 注意到 i L L L L Lx y z z y即 L -(L L L L )x i y z z y左乘 L 得：L2 -1 (L L L L L L )xx